Étant données phisieurs fractions

rangées par ordre de grandeur croissante^ c'est-à-dire dans un ordre tel que chaque fraction soit au moins égale à celle qui la précède^ la fraction

dont le numérateur est la somme des numérateurs et le dénominateur la somme des dénominateurs^ est compile entre la plus petite et la plus grande des fractions proposées, à moins que celles-ci ne soient toutes égales; dans ce dernier cas^ elle leur est égale.

Désignons, en effet, par q, q\ y" les valeurs des fractions proposées, on a

az=bq, a' = d'q\ a^^=^b"q"\ on a d'ailleurs, par hypothèse,

a a' fl''

et, par conséquent,

a = bq a'>b'q a">b"q\

il n'y a partout le signe = que dans le cas où toutes les fractions proposées auraient la même valeur q. En ajoutant, on obtient

et Ton ne peut avoir le signe = que dans le cas où toutes les fraclions proposées auraient la même valeur q. Cette inégalité entraîne la suivante :

On démontrerait de même Tinégalité

bJ^b' + b" = ^

Observons qu'avant d'ajouter les numérateurs et les dénominateurs, on aurait pu multiplier les deux termes de chaque fraction par un même nombre différent de zéro; ainsi en supposant les nombres w, m', m" différents de zéro, on peut dire que la fraction

ma + m'a' + m"a"

mb + m'b' + m"b"

a i^* est comprise entre les fractions ^»^, à moins que celles-ci ne

soient égales; dans ce dernier cas, elle est égale aux trois fractions proposées.

Si on considère par exemple les deux fractions^. " dont la première est égale à l'unité, on voit que la fraction 7-^ — est comprise entre ^ et un, en d'autres termes elle est plus voisine

de un que ne Test - : donc, si le numérateur d'une fraction est plus

petit que son dénominateur, on augmente cette fraction en ajoutant un même nombre à ses deux termes; on la diminue au contraire, si le numérateur est plus grand que le dénominateur; on ne la change pas si le numérateur est égal au dénominateur.

§ 5. — Proportions. — Nombres proportionnels.

213. On appelle proportion Tégalilé de deux rapports, ou, si l'on veut, de deux fractions ordinaires ou composées. Les égalités

(fo) "

sont

des proportions

entre les nombres 3, 2,

une

part,

entre

5 7 les nombres 5, —, 25, 28 de Tautre. Nous supposerons essentielle-

ment dans ce qui suit qu'aucun des rapports considérés et, par conséquent, aucun de leurs termes n'est nul. Dans la proportion

les teftnes de la proportion sont les nombres a, 6, a', 6' : le numérateur de la première fraction et le dénominateur de la deuxième fraction s'appellent souvent les extrêmes, le dénominateur de la première fraction et le numérateur de la deuxième fraction s'appellent souvent les moyens. Ces dénominations proviennent d'une façon d'écrire qui a été longtemps usitée, à savoir :

qui s'énonçait ainsi : a est à b, comme a' est à b'. Dans l'expression est â, il faut faire entrer l'idée de rapport.

214. Dans toute proportion le produit des extrêmes est égal à celui des moyens. •

C'est-à-dire que, si l'on a

on a aussi

C'est en effet la condition d'égalité des fractions. Réciproquement étant donnés quatre nombres différents de zéro tels que le produit de deux d'entre eux soit égal au produit des deux autres, ces quatre nombres forment une proportion, que l'on peut écrire de diverses manières, en s'arrangeant toujours pour que les deux facteurs qui entrent dans un des produits soient les extrêmes, et les deux facteurs qui entrent dans le produit égal soient les moyens.

Si, par exemple, entre les quatre nombres non nuls a, b, a\ V on on a la relation

aV = a'é,

ab'

on aura

Inversement, Tune quelconque des quatre proportions qu'on vient d'écrire entraîne les trois autres, puisqu'elle entraîne la relation ab' '= a'b. C'est ce que Ton exprime souvent en disant que dans une proportion on peut intervertir les moyens ou les extrêmes.

Si Ton connaît trois des termes d'une proportion , on peut calculer le quatrième.

Ainsi, si Ton sait que les quatre nombres a, 6, q\ b' doivent former la proportion

et si Ton connaît les nombres 6, a', b' il est aisé d'obtenir a : de la relation

ab' = a'b,

on tire en effet

Considérons les nombres

d'une

part, et d'autre part les nombres

chaque terme de la première suite s'obtient en multipliant par 2 le terme correspondant de la seconde suite; inversement chaque

terme de la seconde suite s'obtient en multipliant par - le terme

correspondant de la première suite.

On peut dire encore que le rapport d'un terme de la première suite au terme correspondant de la seconde suite est toujours 2, ou que le rapport d'un terme de la seconde suite au terme correspon-

dant de la première suite est toujours -• Dans ces conditions, on dit

que les nombres 6, 8, 24, 16, 12 sont proportionnels aux nombres 3,4,12,8,6.

Généralement, considérons une première suite de nombres

£i une seconde suite de nombres correspondants

et supposons qu'il n'y ait pas de nombres nuls parmi eux.

Les nombres a, b,c, d^ .,. sont dits proportionnels aux nombres a', b\ c', d\ ... si Ton a

s41 en est ainsi, on a aussi

car ces dernières fractions sont égales comme inverses des précédentes; on peut donc dire que les nombres a', b', c' d\ ... sont proportionnels aux nombres a^ b,c^ d^ ,„ ,

Si Ton désigne par q la valeur de chacune des fractions égales -7 ,

b c d ^,-,^,..., on aura

a = a'q^ b=^b'q^ c=ic^q, d=d'q^ ....

Ainsi chaque terme de la première suite est égal au terme correspondant de la seconde suite multiplié par q : inversement, chaque terme de la seconde suite est égal au terme correspondant de la

première suite multiplié par -, ou divisé par^.

Réciproquement, étant données deux suites de nombres correspondants, si chaque terme de Tune des suites s'obtient en multipliant le terme correspondant de la seconde suite par un facteur qui soit toujours le même, les termes de Tune des suites seront évidemment proportionnels aux termes de l'autre.

Cette remarque permet, connaissant deux termes correspondants de deux suites, d'écrire dans Tune des suites tels nombres que Ton voudra, et de calculer les termes correspondants de l'autre suite, de manière que les deux suites soient formées de nombres proportionnels.

Supposons, par exemple, que les nombres 3 et 2 doivent se correspondre dans la première suite et dans la seconde ; chaque nombre de la seconde suite devra être égal au nombre correspondant de la

première multiplié par^; si Toû introduit dans la première suite o

les nombres 6, 12, 9, 21, il faudra introduire, comme termes correspondants dans la seconde, les termes 4, 8, 6, 14.

11 est à peine utile de faire remarquer que, dans deux suites de nombres proportionnels, Tordre des termes n*importe pas, pourvu que ce soient toujours les mêmes nombres dans les deux suites qui se correspondent.

Une proportion t = tt montre que les nombres a, a! sont proportionnels aux nombres 6, h' ; de môme aussi, puisque cette proportion peut s'écrire — = p, les nombres û, b sont proportionnels aux

nombres a', 6'.

216. 5i Von considère deux suites de nombres proportionnels^ le rapport de deux termes de la première suite est égal au rapport des deux termes correspondants de la seconde suite.

En effet, si les termes de Tune des suites

sont proportionnels aux termes de l'autre, on aura, par exemple,

d "d'' car cette égalité est une conséquence de Tégalité

Réciproquement y si les deux suites

a, 6, c, rf, ..., a', b\ c\ rf, ...

sont telles que le rapport de deux termes quelconques de l'une soit toujours égal au rapport des termes correspondants de Vautre, les termes de Vune des suites sont proportionnels aux termes de Vautre, Si Ton a, en effet,

on aura aussi,