CONVERSION EN FRACTION DÉCIMALE. Ï
seulement dans le second cas, la partie entière comporte deux chiffres de plus que dans le premier. La proposition est donc démontrée.
233. L^opération que nous avons décrite au n"* 230, et qui permet
d'obtenir, au moyen d'une division poursuivie aussi loin qu'on le
veut, les chiffres successifs des fractions décimales qui approchent
a 1 1 1 d'une fraction ordinaire t à rrr, —, ttttttt» ••• près, est ce que nous
appellerons, d'une façon un peu impropre, la conversion de cette fraction ordinaire en fraction décimale : cette expression n'est vraiment correcte que dans le cas, sur lequel nous insisterons tout à l'heure, où l'on parvient ainsi à une fraction décimale égale à la fraction proposée ; nous la conserverons, même quand il n'en est pas ainsi, pour la commodité du langage.
234. Supposons que la fraction ordinaire -r se trouve être égale à
une fraction décimale, et que cette fraction décimale ait n chiffres déci-
maux ; en calculant les valeurs approchées de -, par défaut, à — ;; près,
comme il a été expliqué, on tombera nécessairement sur la fraction
décimale égale à j, et l'on en sera prévenu par ce fait que le reste
de la division partielle qui correspond au n**"* chiffre décimal est nul. L'opération, comme on dit, est terminée; si on voulait la continuer, on ne trouverait désormais, comme chiffres du quotient,
et comme restes partiels, que des zéros. Si la fraction - n'est égale à
aucune fraction décimale, l'opération pourra se continuer indéfiniment, on ne trouvera jamais un reste nul.
235. 11 convient de savoir reconnaître sur la fraction -r elle-même s'il existe ou non une fraction décimale qui lui soit égale.
Supposons la fraction ^ irréductible, et supposons que cette fraction soit égale à une fraction décimale de n chiffres décimaux, dont le dernier ne soit pas un zéro; alors, en vertu même de la façon dont on fait l'opération, le nombre a, quand on a placé à sa droite n zéros, doit être divisible par b et les nombres obtenus en plaçant à la droite de a moins de n zéros ne doivent pas être divisibles par A ; en d'autres termes, 10** est la plus petite puissance de 10 telle que a xlU" soit divisible par 6. Pour que a X 10" soit divisible par 6, comme
b est premier à a, il faut et il suffit que b divise 10" ou 2* X 5" ; ou encore que 6, décomposé en facteurs premiers, ne contienne pas d'autre facteur premier que 2 et 5 et que le plus grand des exposants dont sont affectés ces facteurs premiers soit au plus égal à n.
Inversement, la plus petite puissance de 10 telle que son produit par a soit divisible par b aura un exposant n égal au plus haut exposant des facteurs 2 et 5 dans 6, décomposé en facteurs premiers.
La condition nécessaire et suffisante pour que la fraction irréductible -: soit égale à une fraction décimale^ est que le dénominateur b
de cette fraction, décomposé en facteurs premiers , n'admette pas d^ autre facteur que 2 ^^ 5 ; le nombre des chiffres décimaux du nombre décimal
égal à ^ est égal au plus haut des exposants dont sont affectés ces
facteurs 2 et 5 dans b.
La même proposition s'établit directement. Trouver un nombre a décimal égal à la fraction -, c'est trouver un nombre entier A et un
exposant w, tels que Ton ait
ou
Pour que cela soit possible, il faut et il suffit qu'il y ait une puissance de 10 telle que son produit par a soit divisible par b. Chaque puissance de 10 qur jouit de cette propriété fournit un
nombre décimal égal à 7, nombre qui a autant de chiffres décimaux
ciu'il y a d'unités dans l'exposant de cette puissance. Ces nombres
décimaux, égaux entre eux, ne peuvent différer que par les zéros qui
les terminent; celui d'entre eux qui n'est terminé par aucun zéro
provient donc de la plus petite puissance de 10 qui, multipliée
par a, soit divisible par b. Si b est premier à a, les conclusions sont
les mêmes que tout à l'heure.
On trouve ainsi
