Lorsque le dénominateur b d*une fraction irréductible

contient d'autres facteurs premiers que 2 ou 5, en effectuant la réduction de cette fraction en fraction décimale, on ne parvient jamais à un reste nul, et l'opération peut être poursuivie indéfiniment. Les remarques qui suivent s'appliquent spécialement à ce cas; elles s'appliquent encore dans le cas où l'opération se termine, en imaginant qu'on la poursuive cependant, ce qui revient à placer successivement des zéros à droite de la fraction décimale exactement égale à la fraction proposée.

Les valeurs approchées d'une fraction ordinaire, par défaut, à 04 ; 0,01 ..., près, se déduisent chacune de la précédente en plaçant k droite un certain chiffre décimai ; chacune est supérieure ou égale à la précédente; elle lui serait égale, si le chiffre placé à droite était un zéro; ces valeurs, qui vont ainsi en augmentant, ou mieux, en ne diminuant jamais, se rapprochent de plus en plus de la fraction considérée; elles finissent par lui devenir égales, si cette fraction est égale à une fraction décimale, auquel cas, comme on vient de le rappeler, en continuant les opérations, on fmira par rencontrer cette fraction décimale elle-même et, dès qu'on l'aura rencontrée, toutes les valeurs approchées qui suivent lui restent toujours égales.

Quant aux valeurs approchées par excès à 0,1 ; 0,01; 0,001; ... près,

elles ne vont jamais en diminuant. Reprenons, en effet, l'exemple

traité plus haut. Les valeurs approchées de — à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...

près sont respectivement

Le dernier chiffre de chaque valeur approchée par excès est généralement plus fort d'une unité que l'avant-dernier chiffre de la valeur approchée par excès qui suit; il n'y a d'exception que dans le cas où cette dernière valeur approchée par excès proviendrait d'une valeur approchée par défaut dont le dernier chiffre serait un 9; en général, une valeur approchée par excès est plus petite que la précédente; dans le cas d'exception qu'on vient de signaler, les deux valeurs approchées par excès qui se suivent seraient égales. Si, par exemple, la valeur approchée, par défaut, à 0,0001 près était 4,4289 au lieu d'être 4,4285, les deux valeurs approchées par excès à 0,001 et 0,0001 près, seraient 4,429 et 4,4290.

T.VNXKBV. 14

237. Soil 7 une fraction quelconque; soient, en général a^ et p^^ ses valeurs approchées par défaut et par excès à — - près ; on aura

la différence entre | et Tun ou Tautre des nombres a ,, p^ est au plus

égale à — ^; ou peut prendre n assez grand (n" 189) pour que cette

fraction soit plus petite que tel nombre que Ton voudra, car n peut être pris assez grand pour que 10" dépasse tel nombre que Ton veut; c'est ce qu'on exprime en disant qu'on peut approcher autant que l'on veut d'une fraction quelconque, soit en moins, soit en plus, au moyen d'une fraction décimale. Ces valeurs approchées suffisent dans les calculs pratiques; c'est un point sur lequel nous reviendrons plus tard.

Si l'on se donne un nombre aussi petit qu'on le veut «, on peut lui faire correspondre un nombre entier n tel que, pour ce nombre

et les nombres plus grands, la différence entre -r et a^, et celle

entre -r et p^ soient moindres que e. C'est ce qu'on exprime en disant

que a^ et p,, ont pour limite - quand n grandit indéfiniment.

Quand n grandit, a ^ tend vers sa limite en augmentant, il finit par

l'atteindre si la fraction - est égale à une fraction décimale ; il ne

l'atteint jamais dans le cas contraire. Dans les mêmes conditions, p^ tend vers sa limite en diminuant; il ne l'atteint jamais.

On s'exprime aussi quelquefois de la façon suivante :

La suite indéfinie (*)

des valeurs approchées par excès d'une fraction ordinaire 7 1 ^ tt: $

1. Indéfinie veut dire qu'après chaque terme do la suite il y en a un autre.