VALEURS APPROCHÉES D'UN NOMBRE DONNÉ

au nombre de chiffres irréguliers. Donc le dénominateur d'une fraction ordinaire irréductible qui engendre une fraction décimale périodique mixte, décomposé en facteurs premiers, admettra, parmi ces facteurs, Tun des nombres 2 ou 5 avec un exposant égal au nombre des chiffres irréguliers. Réciproquement, toute fraction irréductible dans laquelle le dénominateur n'est divisible ni par 2 ni par 5 donne naissance à une fraction décimale périodique simple, puisqu'elle ne peut donner naissance ni à une fraction décimale limitée, ni à une fraction périodique mixte. Toute fraction irréductible dans laquelle le dénominateur est divisible par 2 on 5 et par quelque autre nombre premier donne naissance à une fraction décimale périodique mixte, puisqu'elle ne peut donner naissance ni à une fraction décimale limitée, ni à une fraction décimale périodique simple ; le nombre de chiffres irréguliers est égal à l'exposant de celui des facteurs 2 ou 5 qui entre avec le plus grand exposant dans le dénominateur de la fraction proposée, décomposé en facteurs premiers.

§ 4. — Valeur approchée d'an nombre donné, à a près.

249. Les notions qui précèdent sont susceptibles d'être géné- ^ ralisées.

Etant donnés un nombre A quelconque et un nombre entier ou fractionnaire a, la valeur approchée de A à a près, par défaut, est le plus grand multiple (*) de a qui soit inférieur ou égal à A. Ce produit, augmenté de a, est la valeur approchée de A, à a près, par excès.

Soit K le nombre entier par lequel il faut multiplier a pour avoir la .valeur approchée de A, par défaut, à a près; on devra avoir

Ka^A<(K + i)a,

d où Ton déduit, en divisant par a,

et ces dernières inégalités montrent que K est la partie entière du quotient".

1. Jusqu'ici, on n'a employé rexpression « multiple d'un nombre » que lorsque ce nombre ^Uit entier. Il est à peine utile de dire qu'un multiple d'un nombre entier ou fractionnaire a est lo résultat obtenu en multipliant a par un nombre entier quelconque. Dans ce qui suit, on n'exclut mémo pas le cas oU le multiplicateur serait nul, comme on avait fait dans le chapitre relatif au plu» grand commun diviseur et au plus petit commun multiple.

En considérant la suite d js nombres

0, a, 2a, 3a, ..., Ka, (K + l)a, ...

obtenus en multipliant a par les nombres 0, 1, 2, 3, ..., suite dont chaque terme s'obtient en ajoutant a au précédent, et qui, ainsi, forme une progression arithmétique, on voit que A est un terme Ka de cette suite, ou bien qu'il tombe entre deux termes consécutifs Ka, (K -f- 1) « ; dans le premier cas, la différence entre A et Tun quelconque des termes de la suite, autre que Ka,est au moins égale à a; dans le second, la différence entre A et Tun ou Tautre des nombres Ka, (K + 1) a est moindre que a ; avec les autres termes de la suite, la différence est plus grande que a. Dans tous les cas, Ka est, parmi tous les termes de la suite qui ne dépassent pas A, celui qui s'en approche le plus, et (K + ^)« est, de tous les termes de la suite qui dépassent A, celui qui s'en approche le plus. Il arrive souvent qu'on prenne pour a l'inverse d'un nombre

\ entier n: le nombre - doit alors être remplacé par kn: si K est la

partie entière de ce produit, - est la valeur approchée de A, à - près,

par défaut.

Cherchons par exemple les valeurs approchées de ^rr , à « près :

on cherchera la partie entière de — rn: — = -rr-r î ^^ divisant

2483 par 113, on trouve pour quotient 21 et pour reste 112; la

valeur approchée à - près par défaut est — =:3;lavaleurapprochée

par excès est -=- : l'opération montre d'ailleurs que l'on a

355 X 7 = 113 X 21 + 112 irr 113 X 22 — 1, d'où, en divisant par 113 X 7,

Les différences entre -r-pî ^^ ses valeurs approchées sont respecti-

I lu

112 1 1 1 vement — X = et 77^ X =; la dernière est très petite, la première