CONVERSION D UNE FRACTION ORDINAIRE
— , .... — , ... nf*è8. a pour itmile celle fraclion; de même aussi la
suite
Pi. Pi, ..m p.. ...
des valeurs approchées par excès^ de la même fraction -, aux mêmes
ordres^ a pour limite cette fraction.
238. En génà^alj si Von considère une suite indéfinie de nombres
«P «il .-.. ««1 •••
tels que fon sache calculer* Vun quelconque d'entre eux connaissant son
rang^ on dira que la suite a pour limite un nombre A, ou mieux que a^^
a pour limite A quand n grandit indéfiniment ^ si à chaque nombre
donnée aussi petit qu'on veut^ e, on peut faire coirespondre un entier* n,
tel que la différence (*) entre A et a^, ou Vun quelconque des termes qui
suivent a , soit moindre que e.
Par exemple \ -\ — , ou — - — , a pour limite 1 quand n grandit tt- n
indéûniment : on dit la même chose en disant que la suite indéfinie,
a pour limite 1 ; il en est de même des suites
Cette notion de limite, que l'on rencontre ici pour la première fois en Arithmétique, est très importante.
239. Remarquons que, si Ton réduit en fractions décimales deux
fractions différentes -, t,, en poursuivant l'opération indéfîniment,
on finira nécessairement par trouver des fractions décimales différentes : en d'autres termes, il est impossible que, en cherchant
I . I^ différence peut être A — a,u on an — A suivant qno a„ est plus petit ou plus grand que A.
2it LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.
pour les deux fractions les valeurs approchées par défaut à j^,
L .,... près, on tombe sur la même suite «j, a,, ..., a^, ....
En effet, si ces deux fractions conduisaient à cette même suite, elles
devraient être comprises toutes deux entre «^ et *« + TTilî ^^^ ^*^-
férence devrait donc être inférieure à -— , quel que fût n, et cela est
impossible, puisqu'on peut prendre n assez grand pour que — soit
a a plus petit que la différence entre j^^"^'
§ 3. — Fractions décimales périodiques.
240. Fractions décimales périodiques, — Nous avons vu que deux cas peuvent se présenter, quand on cherche les fractions décimales
approchées de la fraction ordinaire -r par défaut à 0,1 ; 0,01 ;
0,001; ... près : l'opération peut se terminer; c'est ce qui arrive quand il existe une puissance de 10 telle que, en multipliant a par cette puissance, le produit soit divisible paré; dans le cas contraire, elle peut être poursuivie indéfiniment.
Il nous reste à faire quelques observations sur la façon dont se suivent les chiffres dans les valeurs approchées, observations qui sont d'ailleurs plus curieuses au point de vue théorique qu'elles ne sont utiles dans la pratique.
On peut se borner au cas où le numérateur de la fraction est plus petit que le dénominateur; s'il était plus grand, on substituerait à ce numérateur le reste de sa division (au sens de la théorie des nombres entiers) par le dénominateur; en continuant l'opération, on trouverait évidemment les mêmes chiffres décimaux.
Considérons, par exemple, la fraction — ; on est bien dans le cas
où l'opération ne se termine pas, puisque cette fraction est irréductible et que son dénominateur 14 = 2x7, décomposé en facteurs premiers, contient un facteur premier 7, autre que 2 ou 5; en lui
FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES. èl3
appliquant la règle du n^ 231, on est amené à faire Topéralion figurée ci-dessous :
On a trouvé comme dividendes partiels successifs 130, 40, 120, 80, 100, 20, 60, 40; à partir de ce dernier, qui a été déjà obtenu, il est clair que les opérations vont se reproduire exactement comme elles se sont produites à partir du moment où on a obtenu une première' fois ce dividende partiel, c'est-à-dire qu'on retrouvera dans le même ordre les dividendes partiels 120, 80, 100, 20, 60, 40, et, au quotient, les chiffres 2, 8, 5, 7, 1, 4, et ainsi de suite indéfiniment. Cette circonstance pouvait être prévue, car les dividendes partiels proviennent des restes partiels par Tadjonction d'un zéro : or ces restes sont nécessairement plus petits que 14 et différents de zéro; ils ne peuvent donc être que les nombres 1, 2, 3, ..., 12, 13; au bout de 13 opérations partielles au plus, on devait donc retomber, soit sur un reste déjà obtenu, soit sur le numérateur même de la fraction dont on est parti; à partir de ce moment, les opérations partielles se reproduiront périodiquement toujours les mêmes, et Ton n'aura aucune peine à écrire la fraction décimale approchée par défaut de la fraction donnée, avec autant de chiffres que Ton voudra.
Si, dans Texemple précédent, on veut 12 chiffres décimaux, on écrira :
241. On appelle fraction décimale périodique un symbole écrit comme une fraction décimale ordinaire, mais où Ton imagine une suite indéfmie de chiffres décimaux qui, à partir de Tun d'entre eux, se -reproduisent périodiquement, toujours les mêmes et dans le même ordre.
L'ensemble des chiffres qui se reproduisent est ce qu'on appelle la période de la fraction décimale périodique.
Si Ton considère la fraction décimale périodique
oQ les chiffres 2, 8, 5, 7, 1 , 4 se reproduisent indéfîniment, on dit qu^elle
est engendrée par la fraction —, ou que la fraction jr en est \di fraclion génératrice, c'est-à-dire qu'on est conduit à ce symbole en cherchant les valeurs approchées de — à —, —, î^.,... près, par
défaut, et en imaginant que les opérations soient continuées indéfiniment. La période de cette fraction décimale périodique est le nombre 285714 ; en prenant les n premiers chiffres décimaux, on a la fraction
décimale approchée de — à — ;; près. Cette valeur approchée, quand
w croît indéfiniment, a— pour limite.
Les fractions décimales périodiques se divisent en deux classes : les fractions décimales périodiques *tmp/e«, pour lesquelles la période commence immédiatement après la virgule : telle la fraction périodique
à période 36, et les fractions périodiques mixtes, où la période ne
commence pas de suite après la virgule; telle est la fraction décimale
périodique engendrée par la fraction jy. Dans une fraction périodique
mixte, les chiffres placés entre la virgule et la période sont dits iir^guli'ers. Leur ensemble forme la partie hTégulièrc de la fraction périodique mixte.
Toute fraction décimale périodique a-t-elle une fraction génératrice ?
Si elle en a une, elle n'en a qu'une, puisque (n^ 239) deux fractions
différentes engendrent nécessairement des suites différentes de fractions décimales approchées par défaut à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près. 242. Considérons d^abord le cas d'une fraction décimale périodique simple, dont la partie entière soit nulle, par exemple, la fraction décimale périodique 0,363636, ....
La fraction ordinaire à termes entiers 7 sera sûrement la fraction
génératrice de la fraction décimale périodique 0,363636..., si, en
a réduisant la fraction -, on trouve comme partie entière 0 (ce qui
oblige à supposer a <; 6), comme premiers chiffres décimaux 3 et 6, puis comme reste le nombre a lui-même, de façon à retomber ensuite, au quotient, sur les mêmes chiffres 3 et 6. Puisque, pour calculer deux chiffres décimaux, on a dû ajouter deux zéros à droite de a, cela revient à dire que le quotient, au sens de la théorie des nombres entiers, de la division de a x 100 par b est 36 et le reste a; on a donc, s*il en est ainsi :
en retranchant a des deux membres de cette égalité, on obtient :
aX99zir6x36;
et réciproquement cette dernière égalité ou la suivante
entraîne la première.
Si donc on prend pour - une quelconque des fractions égales
à — , on aura a X 100 = 6 x 36 + a, et comme a est plus petit que
b^ puisque 36 est plus petit que 99, on voit que, en divisant a X 100 par 6, au sens de la théorie des nombres entiers, on aura pour quotient 36 et pour reste a.
Ainsi -z est la fraction génératrice de la fraction décimale pério-
dique simple 0,363636.
Notre raisonnement est en défaut pour la seule fraction décimale périodique simple 0,99999... ; puisque, alors, en essayant de former
une fraction génératrice 7 comme tout à Theure, on aurait a = 6.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Toute fraction décimale pModique simple dans laquelle tous les
chiffres de la période ne sont pas des 9 admet une fraction générattice
dont le numérateur est formé par la période, et le dénominateur composé
d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période.
243. Si l*on appliquait cette régie à la fraction décimale périodique simple 0,999..., on trouverait 1 comme résultat, et il convient de remarquer que 1 est la limite de la suite indéfinie formée par les nombres 0,9; 0,99; 0,999; ..., puisque les différences entre i et les nombres de cette suite sont respectivement 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...
Il est aisé de déduire de là, en répétant le raisonnement du u" 239, que la fraction décimale périodique 0,9999... n'a pas de fraction génératrice. Si cette fraction génératrice existait, elle devrait être comprise entre 0,9 et 0,9 + 0,1 = i, entre 0,99 et 0,99 -f 0,01 = 1, entre 0,999 et 0,999 -\- 0,001 = I, etc.; sa difTérence avec i devrait être moindre que
— , — . el, en cénéral, moindre que — , quel que fûtn; or, cela
iO iOO 1000 iO"
est impossible, puisque l'on peut prendre n assez grand pour que — ^^ soit
moindre que la différence entre i et la fraction génératrice que Ton suppose exister.
244. Laissons de côté ce cas exceptionnel. Nous avons supposé que la partie entière de la fraction décimale périodique simple était 0 ; il est clair que s*il en est autrement, il suffira d'ajouter cette partie entière à la fraction formée par la règle que l'on vient de donner pour avoir la fraction génératrice de la fraction décimale périodique donnée : considérons, par exemple, la fraction décimale périodique
elle sera engendrée par le nombre fractionnaire
car si on réduit cette fraction en fraction décimale, on trouvera pour partie entière 375 et pour reste correspondant 36, en sorte que les chiffres décimaux seront les mêmes que ceux qui proviennent de la
réduction en fraction décimale de la fraction --, c'est-à-dire 3636....
FRACTIONS DÉCIMALES PÉUIODIQUES. 217
245. Considérons maintenant une fraction décimale périodique mixte dont la partie entière soit nulle, par exemple la fraction
dans laquelle la période est 36 et la partie irrégulière 375 ; Içi fraction
engendrerait la fraction décimale 375,363636...; c'est-à-dire que ses valeurs approchées à 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... près, par défaut, seraient respectivement
les valeurs approchées à 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... près, par défaut, de la fraction ordinaire
seraient donc (n- 232)
en d'autres termes, la fraction ordinaire
.375x99 + 36 \^\) X lUUU *
est la fraction génératrice de la fraction décimale périodique mixte 0,375363636... ; on peut récrire
d'où la règle suivante.
Le dénominateur de la fraction génératrice âtune fraction décimale périodique mixte dans laquelle la partie entière est 0 s'obtient en faisant suivre d'autant de zéros guil y a de chiffres irréguliers un nombre fo)*mé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période; son numérateur s'obtient en retranchant la partie irrégulière du nombre formé en faisant suivre cette partie irrégulière de la période, ou^ ce qui revient au méme^ en ajoutant à la période le produit de la partie itrégulière par un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période.
218 LEÇONS D'AHITHMÉTIQUE.
246. Cette règle comporte naturellement la même exception que
la règle relative aux fractions périodiques simples, d'où elle a été
déduite : les chiffres de la période ne doivent pas être tous des 9. Si
on rappliquait dans ce cas, par exemple à la fraction 0,47999..., on
47 X 9 + 9 trouverait comme résultat ^^ : on a utilisé, pour former
le numérateur, la seconde forme indiquée dans la règle; on a d'ailleurs
et Ton voit sans peine que 0,48 est la limile de la suite indéfinie
on en conclut d'ailleurs que la fraction décimale périodique mixte 0,47999... n'a pas de fraction génératrice.
247. Enfin, dans le cas oix l'on aurait affaire à une fraction décimale périodique mixte qui ne rentrerait pas dans le cas d'exception, mais pour laquelle la partie entière ne serait pas 0, il suffirait pour avoir sa fraction génératrice d'ajouter cette partie entière à la fraction formée par la règle précédente.
248. Considérons la fraction génératrice d'une fraction décimale pério-
diqiie simple, par exemple la fraction — qui engendre la fraction déci-
maie périodique 0,363636... Celte fraction génératrice ne sera pas, en général, irréductible. Mais son dénominateur étant premier à 10, l'estera premier à 10 quand on le réduira à sa plus simple expression. Donc une fraction ordinaire irréductible qui engendre une fraction décimale périodique simple a son dénominateur premier à 2 et à 5. Considérons maintenant la fraction génératrice d'une fraction pério-
(iique mixte, par exemple la fraction — "" ^ , qui engendre la frac-
lion périodique mixte
Son numérateur ne peut être terminé par un 0 ; il faudrait pour cela que le dernier chiffre de la période fût égal au dernier chiffre irrégulier; ce dernier chiffre irrégulier aurait donc pu être pris pour le premier chiffre de la période que, ainsi, on aurait dû faire commencer plus tôt. Le numérateur n'étant pas terminé par un 0 est premier à l'un, au moins, des facteurs 2 ou 5 ; mais ce facteur figure au dénominateur, supposé décomposé en facteurs premiei-s, à une puissance égale au nombre de zéros, c'est-à-diie
