CARRÉS — CUBES RACINE CARRÉE — RACINE CUBIQUE

§ 1. — Propositions préiiminaires. — Carrés.

278. Rappelons d'abord les définitions et propositions que voici :

Le carré d'un nombre est le produit de ce nombre par lui-même.

Le carré d'une fraction est une fraction dont les deux termes sont

les carrés des termes de la fraction proposée : en particulier, si la

fraction proposée est irréductible, son carré, formé par la règle précédente, sera une fraction irréductible, car, si deux nombres entiers sont premiers entre eux, il en est de même de leurs carrés, et, plus généralement, de leurs puissances, quelles qu'elles soient. Le carré d une fraction irréductible ne peut donc être un nombre entier.

Le carré de la somme ou de la différence de deux nombres a ei b est donné par les formules

... {a+bY = a' + 2ab + b\

^^^ (a—b)' = a' — 2ab + b\

qui s'appliquent, que les nombres a et 6 soient entiers ou fractionnaires.

Si l'on a A > B, on a aussi A* > B*.

Le carré d'un produit de facteurs s'obtient en faisant le produit des carrés des facteurs. Le carré d'une puissance d'un nombre s'obtient en doublant l'exposant de la puissance de ce nombre : en particulier, le carré d'un nombre entier quelconque formé en faisant suivre l'unité d'un nombre quelconque de zéros, c'est-à-dire d'une puissance de 10 dont l'exposant est ce nombre de zéros, s'obtient en faisant suivre l'unité d'un nombre de zéros égal au double du nombre de zéros que contient le nombre proposé : ainsi les carrés des nombres 10, 100, 1000, ... sont respectivement 100, lOOOU, 1000000, .... Le carré d'un nombre terminé par plusieurs zéros s'obtient en faisant le carré de ce nombre, abstraction faite des zéros, et en plaçant à la suite de ce carré deux fois plus de zéros qu'il n'y en avait dans le nombre proposé. Ainsi le carré de 5000 est , 279. La racine carrée [exacte) d*un nombre A est un nombre B, dont

le carré est égal à A ; ainsi 5 est la racine carrée de 25, r est la

racine carrée de - parce que l'on a y

11 ne peut y avoir qu'un seul nombre B dont le carré soit égal au nombre donné A ; car si l'on a B* = A, le carré de tout nombre plus grand ou plus petit que B sera plus grand ou plus petit que B* = A. Mais quand on se donne le nombre A, il n'y a pas toujours un nombre B dont le carré soit égal à A. Ainsi, on voit de suite qu'il n'y

PROPOSITIONS Ï^RÊLIMINAIRES. 255

a pas de nombre entier dont le carré soit égal à 2 ou à 3; il n'y a pas non plus de nombre fractionnaire. D'une façon générale : Quand un nombre entier n'est pas le carré d'un autre nombre entier^ il n'est pas non plus le carré d'une fraction, puisque le carré d'une fraction irréductible ne peut être un nombre entier.

Les nombres entiers qui sont les carrés d'un nombre entier, ou qui ont une racine carrée (exacte), s'appellent des carrés parfaits, ou plus simplement des carrés.

G)nsidérons .de même une fraction irréductible t ; elle ne peut

évidemment être le carré d'un nombre entier ; si elle est le carré

« d'une fraction irréductible -, on aura

et la fraction ^ étant irréductible, il faut que l'on ait a = p^,b = g^.

Ainsi : pour quune fraction it*réductible soit le carré d'une fraction^ il faut et il suffit que ses deux lei^mes soient des carrés parfaits. La fraction dont les termes sont les racines carrées (exactes) des termes de la fraction proposée est la racine carrée (exacte) de cette fraction.

280. Nous allons maintenant nous occuper spécialement du cas où Ton considère des nombres entiers.

Nous appellerons d'abord l'attention sur deux conséquences du théorème qu'exprime la première des égalités (1).

Le carré d'un nombre entier composé de dizaines et d'unités se compose du carré des dizaines, du double produit des dizaines par les unités et du carré des unités.

Ainsi

Si dans la même égalité (1), on suppose 6 = 1, on a

(a + \Y = a^ + 2a+ 1, ou

Le carré d'un nombre entier est égal au carré du nombre entier immédiatement inférieur augmenté de deux fois ce nombre et de l'unité.

256 LEÇONS D'AniTHMÉTIQUE.

Ce dernier théorème permet de former facilement une table de carrés, 281. Les carrés des neuf premiers nombres

se trouvent dans la table de multiplication ; ils sont : 1,4,9,16,25,36,49,64,81.

Au lieu de continuer cette table par une suite de multiplications, on emploiera le procédé suivant qui est beaucoup plus rapide.

Écrivons la suite naturelle des nombres entiers 1, 2, 3, ... et audessus, la suite des nombres impairs, de cette façon :

Si Ton considère un nombre quelconque a + 1, de la suite 1, 2, 3, 4, ..., autre que 1, on voit que le nombre impair écrit au-dessus de lui est précisément 2a -\- i. Le carré de 1 est 1 ; d'après la règle précédente, le carré de 2 = 1 + 1 s'obtiendra en ajoutant à 1 le nombre impair qui est au-dessus de 2, ce qui donne 4 ; le carré de 3 = 2 + 1 s'obtient en ajoutant à 4 le nombre impair 5 qui est au-dessus de 3, ce qui donne 9; le carré de 4 s'obtient en ajoutant 7 à 9 ; le carré de 5 s'obtient en ajoutant 9 à 16; par une suite d'opérations pareilles on formera une table de carrés s'étendant aussi loin qu'on le voudra. — En réfléchissant un peu sur cette règle, le lecteur reconnaîtra sans peine que le carré d'un nombre entier quelconque a est la somme des a premiers nombres impairs.

C'est en appliquant cette règle que l'on a construit la Table II, qui donne les carrés des 99 premiers nombres et que l'on trouvera à la fin du volume.

L'examen de cette table montre que les carrés des nombres entiers vont en augmentant rapidement.

Les nombres inscrits dans celte table sont des carrés parfaits : les nombres compris entre les carrés de deux nombres entiers consécutifs n'ont pas de racine carrée exacte : tel est 8972 qui est compris entre 8836 = 94^ et 9025 i= 95^

§ 2. — Extraction de la racine carrée

282. On appelle racine carrée d'un nombre A à une unité près, par défaut, le pltu grand nombre entier dont le carré soit inférieur ou égal à A. Ainsi 7 est la racine carrée à une unité près, par défaut, de 53, parce que l'on a

on peut dire encore que la racine carrée à une unité près, par défaut, de A est la racme carrée (exacte) du plus grand carré contenu dans A : ainsi 49 = 7* est le plus grand carré contenu dans 53; 7 est la racine carrée à une unité près, par défaut, de 53. La racine carrée à une unité près, par excès, de A est le plus petit nombre entier dont le carré soit supérieur à A. Ainsi 8 est la racine carrée à une unité près, par excès, de 53.

Si a est la racine carrée à une unité près, par défaut, de A, a + 1 est la racine carrée à une unité près, par excès. Dans le présent paragraphe, où il s'agit de nombres entiers, en parlant de la racine carrée d'un nombre, j'entendrai toujours soit la racine carrée exacte, s'il y en a une, soit la racine carrée à une unité près, par défaut : il y a là une ambiguïté analogue à celle que comporte le mot quotient (n<> 202); le lecteur prévenu ne pourra s'y tromper. Par exemple, 29 est compris entre 25 = 5* et 36 = 6* ; 5 est la racine carrée (à une unité près par défaut) de 29. Trouver la racine carrée d'un nombre, c'est extraire la racine carrée de ce nombre.