Voir l'exercice
en effet, est un nombre de n chiffres, que l'on doit placer à droite de a ; il peut commencer par des zéros, dont il importe de tenir compte.
Dans la division de R' par Sa ou par 2a + I, le dernier chiffre du quotient (chiffre des unités simples) provient d'un dividende partiel terminé par le dernier chiffre de R\ le précédent provient du dividende partiel terminé par Favant-dernier chiffre de R', etc. ; en remontant ainsi de proche en proche, on est amené à prendre comme premier dividende partiel le nombre obtenu en supprimant les n — 1 derniers chiffres à droite de R, ou, ce qui revient au même, le nombre obtenu en faisant suivre A' — a* du premier chiffre de B. A la vérité, dans le cas exceptionnel où A' — a» serait égal à 2a, et dans ce cas seulement, le premier dividende partiel ainsi formé contiendrait dix fois 2a; le quotient de R' par 2a comporterait donc n + i chiffres et non n ; dans ce cas le quotient ne pourrait êlre égal à 6, qui ne peut avoir que n chiffres.
Les remarques du n- 112 relatives à la division d'un nombre par deux entiers consécutifs trouvent ici leur application. Supposons d'abord que 2a soit égal ou supérieur à 10**; on va montrer que le quotient entier de la division deR' par 2a est inférieur ou égal à 2a, il en résultera (n* 112) que ce quotient est égal ou supérieur d'une unité au quotient entier do la division de R' par 2a -|- i et que, par conséquent, il est égal à 6 ou à 6 -4- I.
Si l'on n'est pas dans le cas exceptionnel où A' — a' est égal à 2rt, le quotient entier de la division de R' par 2a n'a que n chiffres; il est donc inférieur à 2a. Si l'on a A' — a^ = 2a, ce quotient est égal à iO"; en effet R' s'obtient en faisant suivre A' — a^ ou 2a de n chiffres, c'est-à-dire en multipliant 2a par tO** et en ajoutant un nombre moindre que 10", et a fortiori que 2a; en divisant le résultat par 2a on trouvera donc bien 10** comme quotient : et, dans ce cas encore, le quotient est inférieur ou égal à 2a. On observera que, dans le cas exceptionnel, b est certainement égal à 10'* — 1, puisqu'il ne peut avoir que n chiffres. D'où la règle suivante :
293. Soit A un nombre entier dont on veut extraire la racine carrée : supposons que, en employant la méthode ordinaire, on ail déterminé plus de la moitié des chiffres de la racine, ou que, si celle-ci commence par un 5 ou un chiffre plus fort, on en ail déterminé au moins la moitié ; soit a le nombre écrit à la racine; à la suite du reste partiel correspondant, on place les n dernières tranches de A ; on forme ainsi le nombre R = A — a X 10 "; on sépare à la droite du nombre ainsi formé n chiffres et l'on divise par 2a le nombre R' situé à gauche du signe de séparation ; le quotient (entier) q fournit, sauf peut-être une erreur d'une unité en trop, l'ensemble des chiffres restants.
Pour essayer ce nombre q, par un procédé tout pareil à celui du n"* 285, et calculer le reste flnal, on pourra profiter de la division de R' par 2a, et en particulier du reste de cette division, qui est égal à R' — 2a X 9 ; en replaçant à droite de ce reste les n derniers chiffres de R, on forme le nombre
R'' = R— 2aX^X 10" = A~a'x 10*" — 2a XqX 10",
et il sufOl de voir si q^ peut se retrancher de ce nombre. S'il en est ainsi, on pourra retrancher de A le carré de a X 10" + q ei Ton aura
q sera donc égal à 6, non k b-}- i, ei ]e reste de Topération sera R" — q^ ; si la soustraction ne peut s'effectuer, 6 sera égal h q — 1 et le reste de ropération sera R" — (g — if.
Supposons, par exemple, qu'on veuille avoir la racine carrée de 639n23578946702 ; nous avons déjà calculé (n* 287) la racine de 63917235, ot comme le premier chitfre de celte racine est un 7, qu elle a quatre chilFres et que la racine cherchée en a huit, nous sommes dans le cas où la règle précédente s'applique. On devra à la suite du reste 13199 placer les huit derniers chiffres du nombre proposé, ce qui donne I3199789i6702; puis séparer quatre chiffres à droite, ce qui donne 131997894, et diviser ce nombre par 2 X 7994 = 15988 ; la division est effectuée ci-dessous:
79940 fifi048
La racine cherchée est 79948256 ou 79948255. Pour avoir un résultat certain, on fera le carré de 8256 ; il a été effectué à droite de la division ; il est 68161536, et ne peut être retranché du nombre 9666702 obtenu on replaçant à la droite du reste 966 de la division les quatre chiffres précédemment négligés ; la racine est 79948255 et le reste 101401677.
294. Revenons au cas général et supposons toujours qu'on ait calculé a: nous ne supposons plus que 2a soit égal ou supérieur à 10". Si les parties
enlières de ;r- et de -~ ; — r coïncidaient, chacune d'elles serait égale a
2tf 2 a H- 1
6; si ces parties entières coïncident dans leurs premiers chiffres, on aura
ainsi, sans ambiguïté, les premiers chiffres de 6. 11 en est ainsi tant que,
en divisant R' par 2a, les restes partiels se trouvent ô(re supérieurs au
nombre écrit au quotient (n* 112). On poussera donc la division de R' par
2a tant que cette condition sera vérifiée ; on l'arrêtera avant qu'elle ne le
soit plus('); on trouvera les k premiei-s chiffres de 6, que l'on placera à la
I. Elle ne le sera jamais dans le cas exceptionnel où A' — a* serait égal à ta, puisque, aiors, le premier reste partiel est nul : il r<^sulte aist^ment des remarques précédentes que, dans ce cas, si l'on ata^ \0^, b commence» par dc<» 0 en nombre au moins égal à p
LEÇOxNS D'ARITHMÉTIQUE.
droîle de a pour former un nombre a^ qui sera la racine du nombre Al que Ton obtiendrait en prenant autant de tranches à gauche de A qu*il y a de chitTres dans a,, ou en plaçant à droite de A' les 2k chiiïres de A qui suivent A' ; dans le calcul des k chifTres du quotient, les k derniers chiffres de A, n'ont pas servi; les A chiffres qui les précèdent ont été abaissés successivement pour former les dividendes partiels. A la suite du dernier reste de la division, on abaissera d'un coup les k derniers chiffres de A„ c'est-à-dire autant de chiffres qu'on en a calculé au quotient Du nombre ainsi formé on retranchera le carré du nombre calculé au quotient et l'on obtiendra ainsi le reste Aj — a\ de l'extraction de la racine carrée de A,; on continuera en faisant jouer à A, A|, aj le même rôle qu'ont joué A, A', a dans les raisonnements précédents, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait obtenu tous les chiffres de la racine. Ce procédé est très rapide. On Ta appliqué ci-dessous a deux exemples.
Pour extraire la racine carrée de 6391723578946702, on a pris dans la table des carrés les deux premiers chiffres de la racine, dont on a calculé ensuite, par la règle précédente, d'abord un chiffre, puis trois, puis deux. Pour la racine carrée de 980313476587, on a pris encore les deux premiers chiffres dans la table des carrés, une seule division a permis d'obtenir les quatre autres.
§ 3. — Racine carrée approchée.
295. Désormais je minterdirai de dire la racine carrée d*un nombre pour la racme carrée à une unité près par défaut : si Ton parle de la racine carrée d'un nombre, il s^agira toujours de la racine carrée exacte, que Ton supposera exister, c'est-à-dire d'un nombre dont le carré reproduit le nombre proposé.
Ëtant donné un nombre entier A, il est clair que ses racines carrées à une unité près, par défaut et par excès, sont les deux nombres entiers dont les carrés difiFèrent de A le moins possible; mais on peut se proposer de chercher des fractions dont le carré approche davantage de A; le problème que nous posons pour les nombres entiers se pose aussi pour les fractions.
Ëtant donné un nombre entier ou fractionnaire A, on appelle racine carrée à une unité près par défaut de A le plus grand nombre entier dont le carré soit contenu dans A. La racine carrée à une unité près, par excès, est le plus petit nombre entier dont le carré soit supérieur à A: elle s'obtient en ajoutant une unité à la racine carrée à une unité près par défaut.
296. Pour avoir la racine carrée à une unité près par défaut de A, il suffit d'extraire la racine carrée, à une unité près par défaut, du plus grand nombre entier contenu dans A.
Le raisonnement est le même qu'aux n°' 284 et 290.
Si 13 est la racine carrée à une unité près par défaut de A, c'est que A contient 13* et ne contient pasl4*; 13* et 14^ sont deji nombres entiers dont le premier est donc contenu dans la partie entière de A, sans que le second le soit. C'est-à-dire que 13 est la racine carrée de la partie entière de A, à une unité près, par défaut.
297. En désignant par a un nombre entier ou une fraction, on appelle racine carrée de A à a près, par défaut, le plus grand multiple de a dont le carré soit contenu dans A. On obtient la racine
carrée de A à a près par défaut en extrayant la racine carrée
à une unité près par défaut de la partie entière de — et en mulli-
pliant le résultat par a.
En effet, soit na la racine carrée à a près par défaut de A, n étant un nombre entier inconnu; on devra avoir, diaprés la définition,
(iia)*^A<r(n+l)a]«, ou, successivement,
Ces dernières inégalités montrent que n est la racine carrée, à une unité près par défaut, de ~ et par conséquent la racine carrée, à une
unité près par défaut, de la partie entière de ^-^'
Ce théorème, quand A est entier et quand on suppose successivement a =z 10, 100, 1000, ..., fournit comme cas particuliers les théorèmes des n»* 284, 290.
Si au contraire a est une fraction de la forme -i w étant un nombre
entier, — sera alors égal à \p^^ et l'on voit que la racine carrée de A.
à - près par défaut, s'obtient en extrayant la racine carrée de la
partie entière de A;;*, à une unité près par défaut, et en en divisant le résultat par p.
Par exemple, la racine carrée de 2, à - près par défaut, s'obtiendra
en extrayant la racine carrée de 50, à une unité près par défaut, ce
qui donne 7 ; le nombre cherché est -; on trouvera de même que 1 1
racine carrée de 2, à - près par défaut, est — = - .
298. La recherche de la racine carrée d'un nombre A à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près, par défaut, offre un grand intérêt tant au point de \\w théorique qu'au point de vue pratique : pour Teffecluer, d'après la règle générale qu'on vient de donner, on multipliera A par 100, 10000, 1000000,... ; on extraira la racine carrée de la partie entière à une unité près pardéfautetrondiviseralerésullatparl0,100,1000,...
Supposons que A soit écrit sous forme décimale ; on peut obtenir de suite les parties entières de A X 100, A X lOOOl), A X 1000000, ...; il suffira d^avancer la virgule de deux, quatre, six, ... rangs vers la droite, en complétant au besoin par des zéros la partie décimale de A. On ne conservera que la partie à gauche de la virgule : on en extraira la racine carrée à une unité près par défaut, puis on divisera cette racine par 10, 100, 1000, ..., ce qui se fait en séparant 1, 2, 3, ... chiflFres décimaux.
Imaginons qu'on ait séparé la partie décimale de A en tranches de deux chiffres à partir de la virgule; désignons ces tranches, en allant de la gauche vers la droite, sous le nom de première, seconde, troisième, ... tranche décimale: chacun des nombres que Ton forme en plaçant à droite de la partie entière de A la première, puis la seconde, puisla troisième,... tranche décimale contient, au commencement, les mêmes chiffres que le précédent, et le nombre de dizaines de sa racine est précisément la racine carrée, à une unité près par défaut, du précédent, en sorte que si Ton veut calculer successivement la racine carrée de A à 1 ; 0,1 ; 0,01; 0,001; ... près par défaut, chaque opération servira à la suivante, et, pour cette dernière, on n*aura qu'un chiffre de plus à déterminer, ce qui se fera exactement comme on Ta expliqué au n° 285. Il semble inutile d'insister sur la disposition des calculs, qui sera suffisamment expliquée par les exemples
suivants, où Ton a calculé à — près les racines carrées de 2 et de la
fraction =r— dont la valeur approchée à j--^^ près, par défaut,
est 0,0001428571. On voit que pour 2, on s'est contenté d'écrire les zéros à mesure qu'on en avait besoin. Les racines ont été calculées par la règle du n** 288.
Quand le nombre A est plus grand que un, on place, à la racine, la virgule après le dernier chiffre de la racine carrée à une unité près de la partie entière; les chiffres qui suivent sont fournis par les tranches décimales successives. Quand le nombre A est plus petit que un, on écrit d'abord un zéro h la place de la racine, puis une virgule, puis, s'il y a lieu, autant de zéros qu'il y a de tranches décimales composées de zéros; le premier chiffre significatif, à la racine, est la racine carrée à une unité près, par défaut, de la première tranche décimale qui contient au moins un chiffre significatif.
Il est à peine utile de dire que l'on peut appliquer la méthode abrégée du n* 292; par exemple, ayant la racine carrée de 2 à — j près, nous pouvons
l'avoir à j-jj près (par défaut ou par excès) au moyen d'une seule division, qui est cffecluce en haut de la page suivante :
On est dans le cas où les chiffres ne comportent aucun doute, puisque le reste de la division est supérieur au quotient. Si l'on voulait avoir le reste, dans l'extraction de la racine carrée, il faudrait former la quantité
On trouve 20674401871 : ce serait le reste dans l'extraction de la racine carrée de 2 X 10*^ opération dont le résultat est 1,4142135623; la racine
carrée de 2 ù ■r--^^ près est 1,4142135623 et en la désignant par a, le calcul
précédent montre que Ton a :
2 — rt« = 0,00000000020674401871
299. Les racines carrées de 2 à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; 0,00001; ... près, par défaut, sont donc
les racines carrées de 2 à 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001; ... ')rès, par excès, seront
On voit manifestement que les nombres que l'on obtient en extrayant la racine carrée d'un nombre quelconque A à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001; ... près, par défaut, vont en augmentant, ou plutôt ne vont jamais en diminuant. Au contraire, les nombres que l'on obtient en extrayant la racine carrée de A à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près, par excès, vont en diminuant, ou plutôt n'augmentent jamais; le raisonnement est le m -me qu'au n« 230.
Tansery. l^
Les deux suites correspondantes
peuvent être poursuivies indéOnimeni; tous les termes de la première suite, qui vont en augmentant à mesure qu'on s'avance davantage, sont plus petits qu'un terme quelconque de la seconde suite; tous les termes de la seconde suite, qui vont en diminuant à mesure qu'on s'avance davantage, sont plus grands que les termes de la première suite; la différence entre deux termes de même rang, qui est successivement 1; 0,1; 0,01; 0,001 ; ..., va en diminuant, et celte différence diminue indéûniment quand on s'avance indéfîniment dans les deux suites.
On touche ici à la déBnilion de la racine carrée exacte de 2; mais je réserve pour un autre chapitre cette déOnilion, qui n'est pas sans difOcullé. Je me contenterai de remarquer que la considération de ces deux suites résout le problème posé au n^ 295 : trouver des nombres dont le carré diffère de 2 aussi peu qu*on le veut ; d'après les opérations du n^ 298, les différences entre 2 et les carrés des nombres 1 ; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421 sont respectivement! ;0,04; 0,0119; 0,000604; 0,00003836; 0,0000100759; elles diminuent assez rapidement; les racines carrées à 1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;... près, par excès, donneraient lieu à des observations analogues. Ce résultat est général.
300. En effet, les racines carrées de A à a près, par défaut et par excès, sont des nombres wa, {n-{-i)a tels que rentier n satisfasse aux inégalités
le nombre A étant compris entre (na)' et [(w + 1) a]', sa différence avec Tun ou l'autre de ces deux nombres est moindre que (n + l)«a* — n*a»=:[(n + l)* — n«]a« = {2n + l)a»=:(2«a + a)a. Si l'on désigne par B un nombre fixe quelconque, dont le carré soit supérieur à A, on aura
wV<A<BS
et, par suite,
wa<B:
si donc a est plus petit que un, on aura
2/ia + a<2B + l,
et la différence entre A et le carré de Tune ou de l'autre de ses
racines carrées à a près, par défaut ou par excès, sera moindre que
(2B + i)a, quantité qui peut être rendue aussi petite qu*on le veut,
en prenant a suffisamment petit. Il existe donc des nombres dont
les carrés sont respectivement plus petits et plus grands que A et
qui diffèrent de A aussi peu qu'on le voudra. On trouvera en parti-
culier de tels nombres en prenant a = — et it suffisamment
grand. C'est ce que Ton exprime en disant que la différence entre A et le carré de sa racine carrée à a près, par défaut ou par excès, a pour limite zéro quand a diminue indéfiniment. En particulier, si Ton forme la suite indéfinie des racines carrées de A, approchées par défaut à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près, puis la suite des carrés de ces nombres, on pourra dire que les termes de cette dernière suite ont pour limite A quand leur rang augmente indéfiniment (n^ 238). 301. Quoique la différence entre A et le carré de sa racine carrée par défaut n a, à après, diminue indéfiniment quand a diminue indéfiniment, cette différence ne décroît pas toujours quand a décroît. Ainsi
1 1 les racines carrées de 2 à - et à - près, par défaut, sont respective-
7 4 21 20 ment ^ ^*' ô' ^^ lïï ®*^ Tk» ^^ seconde est plus petite que la première, D o 15 lo
et par conséquent on a
Celle circonstance ne peut se présenter (n<> 299) quand on prend
1 1 1 les racines carrées de A à une unité, j-r, j-^r, 777:,. •• près, par défaut:
iU 10 10^
les nombres ainsi formés ne vont jamais en diminuant : plus généralement on pourrait démontrer que si Ton a, en désignant par p un nombre entier, plus grand que un,
la racine carrée de A à p près, par défaut, est an moins égale k la racine carrée de A à « près, par défaut.
§ 4. — Racine carrée approchée d'on nombre dont on ne connaît qu'une valeur approchée.
302. Dans ce qui précède, on a donné un moyen de trouver des nombres dont le carré approche autant qu'on veut d'un nombre A, et Ton a défini la racine carrée de A à a près, par défaut ou par excès. Il est tout naturel d'étendre un peu cette notion : cette extension, il est vrai, se présenterait d'elle-même si Ton avait défini la racine carrée exacte d'un nombre A dans tous les cas.
Les indications suivantes, qui suffisent pour les calculs pratiques, sont légitimes sans cette définition.
On dit qu'un nombre a est une valeur approchée de la racine carrée de A, par défaut, avec une erreur moindre que a, si Ton a
les mots « valeur approchée de la racine » signifient seulement ici solution du problème qui consiste à trouver des nombres dont le carré approche de A.
On dit de même qu'un nombre b est une valeur approchée de la racine carrée de A, par excès, avec une erreur moindre que a, si Ion a
Si l'on a
on pourra donc dire que a et b sont des valeurs approchées de la racine carrée de A, avec une erreur moindre que b — a.
Si a est une valeur approchée de la racine carrée de A, par défaut, avec une erreur moindre que a, tout nombre a — p, plus petit que a, sera une valeur approchée par défaut de cette racine, avec une erreur moindre quea + p, puisque l'on aura
tout nombre a + y plus grand que a sepa une valeur approchée par défaut, avec une erreur moindre que a — y, si son carré est inférieur à A, ou une valeur approchée par excès, avec une erreur moindre que y, si son carré est supérieur à A ; car on a, dans le premier cas.
KACINE CARRÉE APPROCHÉE. 9T7
et, dans le second,
Dans tous les cas, a-[~T^^^ ^^^ valeur approchée de la racine Je A avec une erreur moindre que le plus grand des nombres a, y. Des remarques analogues s'appliquent aux valeurs approchées par excès.
303. Si a est une valeur approchée de A, par défaut, avec uni» erreur moindre que a, on a
A— a«<2aa + a*;
ainsi, le carré de a diflFère de A d'une quantité moindre quea(2a-}-a). Cette quantité est une limite de l'approximation avec laquelle on a résolu le problème « trouver des nombres dont le carré approche de A ». On a souvent besoin d'évaluer grossièrement cette limite; pour cela, on remplace 2a + a par un nombre simple qui lui soit notoirement supérieur, par exemple par le nombre obtenu en forçant le premier chifiFre de 2a + a et en le faisant suivre d'assez de zéros pour lui conserver sa valeur relative. Si a est petit par rapport à a, on n'aura pas, habituellement, à tenir compte de a pour trouver ce premier chiffre.
Ainsi, on sait que 1,414 est une valeur approchée de la racine
carrée de 2 avec une erreur moindre que 777;; ladifférence2 — (1,414)*
est moindre que — x (3 + 1 ) = — •
De même si b est une valeur approchée de la racine carrée de A, par excès, avec une erreur moindre que a, on aura
d'où une règle analogue.
304. Inversement, supposons que le carré d'un nombre a soit inférieur à A et en diffère d'une quantité moindre que c; il est aisé de trouver une limite de l'erreur avec laquelle a approche de la racine carrée de A. On a en effet
puisque, par hypothèse, a* + c est déjà plus grand que A; donc a est une valeur approchée de la racine carrée de A avec une erreur
moindre que — . Des observations analogues s'appliqueraient aux
278 LEÇONS lyARITHMÉTlQLE.
valeurs approchées par excès. Ce qui précède montre comment les nombres dont les carrés approchent beaucoup de A sont très voisins les uns des autres.
305. Supposons enfin que le nombre A ne soit pas exactement connu et que Ton en ait seulement une valeur approchée A', par défaut, avec une erreur moindre que c : A est compris entre A' et A' -f e.
Imaginons qu*on ait calculé une valeur approchée a de la racine carrée de A', par défaut, avec une erreur moindre que a, a sera une valeur approchée de la racine carrée de A avec une erreur moindre
que a + t;— ; on a en effet 2a
et le second membre est plus grand que A' + «» puisque (a + a)* est plus grand que A' et que — ' — « est plus grand que «; ce second membre est donc, a fortioii, plus grand que A. Comme A est compris entre a* et ( a + « + s~) i ^^ P^^^ affirmer que a est une valeur approchée par défaut de la racine carrée de A avec une erreur moindre que « + 5- ; si Ton n'a besoin que d'une évaluation grossière
de celte erreur, on pourra remplacer dans l'expression « + — , a
par tel nombre plus petit que a que Ton voudra, par exemple par son premier chifi're significatif, en lui conservant sa valeur relative. Cette formule permet de résoudre la question suivante :
306. Supposons que le nombre A ne soit pas donné directement, mais doive résulter de calculs qui permettent de l'obtenir avec telle approximation que Ton veut : jusqu'où de vra-t-on pousser l'approximation pour obtenir une valeur approchée de sa racine carrée avec une erreur moindre qu'un nombre donné rj?
Supposons qu'on ail calculé une valeur A' approchée par défaut de A, avec une erreur moindre que c, puis une valeur approchée a, •par défaut, de la racine carrée de A' avec une erreur moindre que a; a pourra être regardé comme une valeur approchée par défaut de la racine carrée de A, avec une erreur moindre que rj, si l'on a
On commencera par calcaler grossièrement un nombre qui soit certainement moindre que a (il suffira, par exemple, de connaître le premier chifiFre de a), et Ton remplacera dans Tinégalité précédente a par ce nombre, puis on déterminera a et c de manière à yérifier rinégalité. Il est clair qu'il suflira de prendre « << 2arj; on déterminera ensuite a par la condition a <^ri — —, ce qui est toujours
possible puisque Ton peut prendre a aussi petit qu'on le veut.
Une discussion assez facile permettrait de déduire de là le résultat suivant, qui peut être utile dans la pratique : quand on connaît un nombre avec n chiffres exacts, on peut calculer sa racine avec n — 1 chiffres exacts, sauf une erreur possible de 2 unités du dernier ordre.
§ 5. — Gobes; racine cobiqoe. Puissance tM'^"*;
racine tM'^'"".
307. Les détails dans lesquels nous sommes entrés pour les carrés, la racine carrée, nous permettront d'aller plus vite pour ce qui concerne les cubes, la racine cubique, les m'*"'** puissances, la recherche de racine m'*"* d'un nombre.
I-a puissance m**"* d'un nombre est le produit de m facteurs égaux à ce nombre. La puissance m'*'"« d'une fraction est une fraction dont h»s termes sont les m'*"*" puissances des termes de la fraction proposée : si cette dernière est irréductible, il en est de même de sa m*^* puissance, formée par la règle précédente. Celle-ci, en particulier, ne peut être un nombre entier.
Si l'on a A > B, on a A"* > B*"; en effet, A"* est le produit de m facteurs respectivement plus grands que les m facteurs dont se
compose B*"; réciproquement, si l'on a A*" > B*", on a certainemeat A>B.
La racine m'*"** (exacte) d'un nombre A est un nombre dont la ^jUnw puissance est égale à A. Si ce nombre existe, il est unique. Si A est entier et s'il n'est pas la puissance m**'"* d'un nombre entier, il n'est pas non plus la puissance m**"'*» d'une. fraction; il n'admet pas de racine m**'"" exacte. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fraction irréductible admette une racine m'*'"® exacte est que ses termes soient les puissances m'*^" de nombres entiers.
La puissance m'*""' d'un nombre terminé par p zéros s'obtient en faisant suivre de mp zéros la puissance m'*"" de ce nombre, abstraction faite de ses zéros.
ÔflO LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.
308. La racine m'*"« d*un nombre entier ou fractionnaire A, à une unité près par défaut, est le plus grand nombre entier dont la puissance m'*^"'* soit égale ou inférieure à A. La racine m*^* d'un nombre A, à une unité près par excès, est le plus petit nombre entier dont la puissance m'*"** soit supérieure à A.
11 suffit, pour obtenir la racine m'^« à une unité près par défaut de A, d'extraire la racine m'*"»', k une unité près par défaut, de la partie entière de A. S'il s'agit, par exemple, de la racine cubique cl si la racine cubique de A, k une unité près par défaut, est 13, c'est que A contient 13' et ne contient pas 14'; donc la partie entière de A contient 13' et ne contient pas 14'; donc 13 est la racine cubique, à une unité prés, de la partie entière de A.
La racine m'*"'* d'un nombre entier ou fractionnaire à a près, par défaut, est le plus grand multiple de a dont la m'^'"*^ puissance soil inférieure ou égale à A :
Si l'on désigne par na cette racine, elle est déterminée par les inégalités
(nay"^A<[(H + l)ar ou
qui montrent que n est la racine m'^'"% à une unité près par défaut,
de —, ou, si l'on veut, de la partie entière de — . La recherche de a a'"
la racine m'**"* d'un nombre avec une approximation donnée est
donc ramenée à la recherche de la racine m'*"'*^ d'un nombre entier,
à une unité près par défaut.
309. Cubes et racines cubiques. — Entrons dans quelques détails pour ce qui concerne les cubes et les racines cubiques de nombres entiers. Jusqu'au numéro 317, je dirai racine cubique d'un nombre entier pour désigner soit sa racine cubique exacte si elle existe, soit sa racine cubique à une unité près par défaut.
Le cube d'une somme a-\-b s'obtient en multipliant le carré a* + 2 rt 6 + 6* par a + 6, ce qui se fait en multipliant successivement ce carré par a et par 6, et en ajoutant; on trouve ainsi
fl»-|.2a*6+ ab^ + a^b+2ab^ + b^
CUBES; lUaNES CUBIQUES. iiS\
el par conséquent
(1) ia + bY=Q*+'ia'b + iab*-^b^;
on trouve de même
En supposant 6 = 1 dans régalilé (i), on trouve (a+l)»=:a»+3a* + 3a+l ou
310. Cette dernière égalité permet de construire aisément une table des cubes des nombres entiers, de 1 à 99 par exemple : en effet, la table II permet, au moyen de calculs très simples, de former les valeurs de 3a*-|-3û + ^ quand on y remplace successivement a par 1, 2, 3, 4, ... . On a inscrit dans la ligne suivante les valeurs de 3a*4-3a+ ^ P^^r les neuf premiers nombres :
au-dessous on a écrit les neuf premiers nombres en les avançant d'un rang, de façon que chacune des valeurs de 3a*+3a + l corresponde, non au terme de la suite naturelle qui est écrit audessous de lui, mais au terme qui le précède immédiatement.
Le cube de 1 est 1 ; le cube du nombre suivant 2 s'obtiendra en ajoutant àl la valeur de 3a* + 3a-j-l pour a =1, c'est-à-dire 7; le cube de 2 est 8. Le cube du nombre suivant 3 s'obtient en ajoutant à 8 la valeur de 3a* -f 3a + 1 pour a = 2, c'est-à-dire 19; le cube de 3 est 27: le cube de 4 s'obtient en ajoutant 37 à 27; c'est 64, etc.... On pourra ainsi former successivement une table des cubes allant de 1 à n, n étant un entier quelconque.
311. Le procédé suivant nous fournit en passant une expression remarquable de la somme des carrés des n premiers nombres. Il met en effet en évidence la proposition suivante : le cube de n-|- 1 peut s'obtenir en ajoutant à 1 successivement les valeurs que prend l'expression 3a'-|-3a-|- 1 quand on remplace a par 1, 2, 3, ... n : or cette somme est manifestement égale à 38^-1- 3 S, -fw, en désignant par S, la somme des n premiers nombres et par S^ la somme de leurs
carrés; en se rappelant (n^ 70) que S, est égal à -^-5 — -, on en conclut
d'oi'i l'on tire en multipliant par 2
ou
et finalement
Par exemple, la somme des carrés des 99 premiers nombres est égale à
99X100X199 ^ 33 >< 50 ^ ^gg ^ 328350,
ce qui donnerait un moyen de vérifier la table II.
Le lecteur pourra étendre ce procédé : il verra comment de la table des cubes on pourrait passer à la table des quatrièmes puissances, et comment la construction de cette table permettrait de trouver une expression simple de la somme des cubes des n pre-
miers nombres (*), à savoir — -^ 1 •
Quoi qu'il en soit, la table III, que Ton trouvera à la fin du volume, donne les cubes des 99 premiers nombres; elle met en évidence la faron très rapide dont croissent ces cubes.
i. L'égaliUi signalée dans l'exercice 55 fournit un* autre moyen, un peu plus rapide, d<' parvenir à ces résultats ; en y supposant, par exemple, p = 3 et en y remplaçant it par h — I, elle donne
n(«-f I) (» + 2) = 3 [I.S 4-2.3 4-... + »(« + !)]; or la quantité entre crochets, dans le second membre, nest autre chose que
c'est-à-dire St -h S|, d'oU un moyen pour calculer St: do même, en supposant p<= (, oo obtiendrait la somme des cubes des n premiers nombres.
312. Arrivons à la recherche de la racine cubique d*un nombre entier.
Si ce nombre entier est inférieur à 100' = 1000000, la table III permettra de l'obtenir immédiatement. Toutefois, il est aisé de montrer que, connaissant seulement les cubes des neuf premiers nombres, on peut obtenir successivement, par une suite d'opérations régulières, tous les chiffres de la racine cubique d'un nombre, quelque grand qu'il soit.
313. Pour obtexiir le nombre de dizaines, de centaines, de mille, ... de la racine cubique d'un nombre entier A, il suffit de séparer 3, 6, 9, ... chiffres à la droite de A et d'extraire la racine cubique du nombre placé à gauche du signe do séparation.
Chercher en général combien de fois la racinecubique de A contient 10", c'est chercher la racine cubique de A à 10** près, par défaut ; pour cela, il faut (n® 308) diviser A par (10**/= 10''\ et chercher la racine cubique de la partie entière du quotient à une unité prés par défaut. Or cette partie entière du quotient s'obtient en supprimant 3>i chiffres à la gauche de A. Le théorème est donc démontré.
314. En supposant qu'on ait séparé ainsi 3n chiffres à gauche de A, désignons par B la partie de A qui est à droite du signe de séparation, par A' le nombre qui est à gauche, on aura
A = A'xlO''*-f B;
désignons par a la racine cubique de A' ; la racine cubique de A pourra se mettre sous la forme
flXlO" + *.
f) étant un nombre entier moindre que 10", et l'on aura
(aXlO" + *;'^A<(aXlO" + 6 + lf.
En retranchant a' x 10'"des trois membres de cette inégalité et en désignant par R la différence A — a'x 10*", on trouve successivement
Sa'éxlO'^ + SaA^XlO^ + A'^R, d'où .
3a'6xlO'''^R(*),
