L'égalité ne peut avoir lieu que si l'on a 6 = 0, R

puis

R<3a*(6 + l)xlO"' + 3a(A + l)^XlO" + (* + l)';

or, puisque b -\-\ est au plus égal à 10'\ on ne peut qu'accentuer rinégalité en remplaçant respectivement (^ + 1)* et (é+l)* par (^ + 1) X 10" et (6 + 1) X 10*'*; on aura donc

Finalement, on parvient aux deux inégalités

qui montrent que les parties entières des deux fractions sont des limites supérieure et inférieure de b.

Si Ton a calculé a, R s'obtient facilement : il suffira de former A' — a*, puis d'écrire à la -suite de cette différence les 3w chiffres de B. Quant aux parties entières des deux fractions, on les obtiendra en divisant R par 10*" (ce qui se fait en supprimant les 2n dernier^ chiffres de R) et en divisant ensuite le nombre restant par 3a* ou 3a* + 3a + l; on obtiendra ainsi des quotients entiers b\ b". La racine cubique de A sera a X 10" + b\ a x 10" + 6" ou un nombre intermédiaire. On essaie habituellement les nombres en commençant par le plus fort, dont on fait le cube : si oe cube peut se retrancher de A, le premier nombre essayé est la racine cherchée : si la soustraclion est impossible, on diminue le nombre à essayer d'une unité et on essaie de la même façon le nouveau nombre, etc.; en procédant de cette façon, il n'est pas nécessaire de calculer la limite inférieure a x 10* + é".

Lorsque Ton essaie au hasard un nombre rrraxlO" -f"P» ^^ P est, par exemple, un nombre compris entre b' et b\ on sera assuré que r est bien la racine cubique cherchée si Ton a à la fois

Enfin, au lieu de comparer (a x 10 " + P)^ à A, on peut profiter de ce que Ton a déjà calculé A — a' x lO'" = R et comparer le nombre R à 3a»p X 10"^ + 3a p»x 10" + p\

Les règles précédentes s'appliquent particulièrement en supposant Il = 1 : elles permettent de calculer le chiffre des unités d'une racine cubique quand on connaît les dizaines de la racine, et Ton peut obtenir successivement les chiffres d'une racine cubique quelconque par le procédé régulier qui suit.

315. On séparera A à partir de la droite en tranches de trois chiffres : la tranche extrême de gauche aura un, deux ou trois chiffres; comptons désormais les tranches, au contraire, en allant de gauche à droite.

On calculera successivement les racines cubiques des nombres formés par la première tranche, par l'ensemble des deux premières tranches, par l'ensemble des trois premières tranches, etc.; on calculera aussi les restes partiels relatifs à chaque opération. La première opération se fera en extrayant la racine cubique d'un nombre moindre que 1000, racine cubique qui n'a qu'un chiffre : celte opération suppose que l'on sache les cubes des neuf premiers nombres; la recherche des racines cubiques des nombres formés par les deux, trois,... premières tranches, revient chaque fois à l'extraction de la racine cubique d'un nombre entier connaissant les dizaines de cette racine; ce nombre de dizaines est fourni par l'opération précédente. Pour obtenir le chiffre des unités, on procède comme il suit : on abaisse à la suite du reste partiel correspondant à l'opération précédente la tranche qui suit celle qu'on vient d'employer; on sépare deux chiffres à droite et Ton divise le nombre à gauche du signe de séparation par trois fois le carré du nombre obtenu à la racine; le chiffre obtenu au quotient est le chiffre cherché ou un chiffre trop fort; on peut, si l'on veut, calculer aussi une limite inférieure. On essaie le nombre trouvé en en comparant directement le cube au nombre partiel dont on veut obtenir la racine, ou par les procédés qui ont été expliqués plus haut ; quand on a le chiffre cherché, on calcule le reste partiel et l'on continue ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les tranches du nombre proposé.

Le nombre des chiffres de la racine est le nombre de tranches du nombre proposé.

Si le nombre proposé n'a pas plus de neuf chiffres, la table 111 permet d'obtenir de suite le nombre de dizaines de la racine et l'on n'a qu'un chiffre à déterminer. Au reste, quand on a à extraire la racine cubique d'un grand nombre, les deux tables II et III peuvent rendre de grands services, et les remarques du n^ 314 permettent d'abréger notablement les calculs : je me contenterai d'expliquer les choses sur un exemple. '

316. Supposons qu'on yeuille extraire la racine cubique du nombre

elle a 7 chiiTres : les deux premiers s'obtiennent en extrayant la racine cubique de 587243, qui est fournie par la table des cubes, elle est 83, et le reste correspondant est

La racine cubique de A est donc de la forme a X 10* + 6, en supposant a = 83 et en désignant par b un nombre inconnu de 5 chiffres. On a d'ailleurs

On doit pour obtenir 6 séparer 10 chififres à droite de ce reste, ce qui donne 1545619875, puis diviser ce nombre par 3a' et 3a' + 3a + l. Ces deux nombres se calculent aisément au moyen de la table II ; on trouve

On fait les deux divisions simultanément, en s'arrétaut dès que les résultats diffèrent : on trouve respectivement 74 et 73 pour les deux premiers chiffres du quotient; l'un des deux nombres 8373, 8374 est la racine cubique de 587243198756. Essayons 8374; en le regardant comme la somme de 8300 et de 74, son cube s'obtient facilement par les tables; on a déjà la différence entre 587243198756 et 83» X 100»; elle est 15456198756; il ne reste plus qu'à en retrancher, s'il est possible, le nombre

la soustraction peut s'effectuer, et le résultat est 25861132; c'est le reste dans l'extraction de la racine cubique de 587243198756, et cette racine cubique est 8374.

La racine cubique de A est donc de la forme a' X 1000 + 6', en représentant 8374 par a' et en désignant par b' un nombre moindre que 1000. Pour déterminer 6', ou formera, d'après les calculs antérieurs :

on supprimera six chiffres à droite et l'on divisera le nombre trouvé : 25861132432 par 3a'« et 3a'« + 3a' + 1. Ces deux nombres se calculent facilement, et l'on trouve

on divise 25861432432 respectivement par ces deux nombres; les deux quotients sont égaux à 122 et la racine cherchée est 9374122. En somme, la

recherche de la racine cubique d*un ti->s grand nombre, tel qu'on n'en rencontre assurément pas dans la pratique, n'est pas une opération aussi longue qu'on pourrait le croire.

317. En raison de la façon très rapide dont les cubes des nombres entiers croissent, les derniers chiffres d'un nombre influent peu sur la racine cubique; ainsi, en prenant à la vérité des exemples très favorables, la table III montre qu'il sufflt de savoir que le premier chiffre d'un nombre de six chiffres est un 9 pour être sûr que sa racine cubique est 97, 98 ou 99 ; la racine cubique d'un nombre de six chiffres dont les premiers chiffres sont 92 ou 93, est certainement 97.

318. Pour extraire la racine cubique d'un nombre A écrit sous la

forme décimale, à — ;; près, par défaut, on le multiplie par lO'**, ce

qui se fait en avançant la virgule de 3« rangs vers la droite ; on extrait la racine cubique à une unité près par défaut, et Ton sépare n chiffres décimaux. Cette opération donnerait lieu à des observations analogues à celles que Ton a faites avec détail pour la racine carrée ; je n'y reviendrai pas, non plus que sur les définitions concernant les valeurs approchées de la racine avec une erreur moindre qu'un nombre donné.

319. La recherche de la racine p'*"* (à une unité près par défaut) d'un nombre entier A se fait par la même méthode que la recherche des racines carrée et cubique.

En séparant pn chiffres à la droite de A, on le met sous la forme

où B est inférieur à iO*"*; si on désigne par a la racine p'*"»« de A', la racine p**"« de A pourra se mettre sous la forme a X 10" 4- 6, 6 étant un nombre moindre que 10", et il est clair que le problème pourra être regardé comme résolu, si l'on sait trouver h connaissant a. La solution de la question analogue pour les racines carrée et cubique a été obtenue en partant de l'expression du carré et du cube d'une somme. L'expression analogue (*), pour la puissance p'^°*'' d'une somme (formule du binôme), qu'il conviendrait d'employer maintenant, n'est pas d'ordre élémentaire; le lecteur, familier avec l'algèbre, verra de suite le parti qu'on peut tirer de cette formule; on peut lui substituer l'identité plus simple (n" 88)

«'-y'=(x-y)(x^-' + »'-'y + «'-V+ ... +/-'), I. Elle rétalto aiiémeni de l'exercice 106.

d'où Ton déduit sans peine, en remplaçant x par « + p et y par «, les inégalités

*" ^P«''"'pê(« + Pfg«' + P(« + pr"'p;

ik* ces dernières inégalilés, il serait aisé de conclure, en reprenant les intîations du commencement de ce numéro, que, si le nombre a X iO" -f 6 rsL la racine p'*"»'' de A = A.' X 10^" + B, on a

-pa'^-'xiO"^''-*^

eu iiésignant par R le nombre A — a!* X 10"'';ces deux formules, qui fourïM<iieiit des limites supérieure et inférieure de 6, permettront, au moyen de quelifues tâtonnements, de calculer ce nombre si l'on a calculé (7.

320. Je me contenterai d'attirer Tattention du lecteur sur le résultai (jtie voici.

Soit M» la racine p'^n>«\ à a près, par défaut, du nombre A; n est un ïnmihre entier défmi par les inégalités

,*''«"< A <{» -ri )V

(I rjue Ton obtient par conséquent, en vertu de raisonnements pareils à 1.^ ux du if 308 en extrayant la racine p'^me^ ^ une unité près, de la partie

iMitirre du nombre —• »

l.a différence entre A et la puissance p'*""™^ de Tune ou l'autre de ses

iMciin^s p'*«»c8^ approchées à « près, par excès ou par défaut, sera

iiiiiiiidre que

(„ .L 1 )^«'' n^'r^^ = «" [ [n + i'f - n''] ; H» Oh a, en vertu d'une inégalité signalée plus haut,

il'MK" la différence considérée est moindre que

ap»^'"'(n + lf-* = «p(na + «f .

^1 l'on désigne par B un nombre fixe quelconque dont la puissance p*'*^"' soit supérieure à A, on aura certainement not < B, et si Ton suppose

CARRÉS, CLBES, ETC. 289

que « soit plus petit que un, on voit que la difTérence considérée sera moindre que

quantité qui, en prenant « assez petit, peut être rendue aussi petite qu'on

le veut. Par exemple, si Ton veut avoir des nombres dont la puissance S'*»"*?

diffère de 2 de moins que tt^, on pourra prendre B = r et déterminer « pa

r inégalité

''<Qh<W'

ou satisfera à cette inégalité en prenant « = - x tt^-

On voit ainsi, d'une part, qu'il existe des nombres dont les puissances pièm^i sont inférieures ou supérieures à A et qui en diffèrent d'aussi peu qu'on le veut; d'autre part, que si l'on forme la suite des racines p'*™*» de A approchées à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près, par défaut, et que l'on imagine que cette suite soit prolongée indéfiniment, puis que l'on forme la suite analogue pour les racines p^*™" approchées par excès, avec les mêmes degrés d'approximation, les termes de la première suite iront en croissant à mesure qu*on s'avance, les termes de la seconde suite en décroissant, chaque terme de la première suite est moindre qu'un terme quelconque de la seconde ; enfin si on forme les puissances p'^^"»*» des termes d'une suite ou de l'autre, les termes de la nouvelle suite ainsi formée auront pour limite A, quand on s'avance indéfiniment.

Exercices.