Si a est un nombre de 7i chiffres, on a

4. Si tous les mots d'une langue avaient neuf lettres prises seulement parmi les lettres a, 6, c, d, e, f, g, /<, A, et si Ton remplaçait ces lettres res|)ectivemcnt par les chiffres 1, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, chaque mot serait écrit comme un nombre de neuf chiffres : si, dans un dictionnaire, on rangeait les mots de cette langue dans Tordre alphabétique, suivant Tusage habituel, les nombres correspondant aux mots seraient rangés par ordre de grandeur.

5. On a neuf poids pesant respectivement 1, 2, 3, . . ., 8, 9 grammes, neuf autres poids pesant respectivement 1 fois, 2 fois, ..., 9 fois 10 grammes; 9 autres poids pesant respectivement 1 fois, 2 fois, ..., 9 fois 100 grammes; 9 autres poids pesant respectivement 1 fois, 2 fois, ..., 9 fois 1000 grammes. Avec ces poids, on peut peser, à 1 gramme près, tout corps pesant moins de 10000 grammes.

1. Les règles de calcul encore employées par les Hiodous sont équivalentes aux nôtres, sans leur être identiques : la différence consiste surtout en ce quo, calculant sur des tablettes recouvertes do sablo fin, ils ne craignent pas d'effacer un chiÂre déjà écrit pour le corriger. Cette facilité leur permet, par exemple, de commencer la multiplication par les chiffres do gauche, en corrigeant ainsi, au fur et à mesure, les chiffres obtenus au produit : de cette façon les calculateurs liindous un peu exercés arrivent à écrire le produit do deux nombres d'autant de chiffres qu'on voudra, sans écrire comme nous les produits partiels du multiplicande par les divers chiffres du multiplicateur. (Voir un article de M. Delbos dans le Bulletin des Sciences mathématiques, V série, t. XVI, p. 93.)

2. Je dois ces divers renseignements historiques à M. Paul Tannery, mon frère.

3. On rappelle, à propos des Exercices^ ce qui a déjà été dit au début. Dans tous les exercices relatifs aux cinq premiers chapitres, le mot nombre est toii^ours pris dans le sens do nombre entier. I^es lettres représentent toujours des nombres entiers, et s'il est question de solutions d'uac équation, on entend toujours parler de solutions en nombres entiers. — Le numérotage des exercices se suivra d'un bout à l'autre du volume.

6. On a 11 poids pesant respectivement 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 grammes ; avec ces poids on peut peser, à 1 gramme près, tout corps qui pèse moins de 1024 grammes.

7. Tout nombre autre que 1 est ou bien une puissance de 2, ou bien une puissance de 2 augmentée de 1, ou bien une somme de puissances de 2 toutes différentes, ou bien une telle somme augmentée de 1.