Tout nombre peut s'écrire sous la forme

les nombres ««, «i, «,, ..., ai,^ étant chacun égal à 0 ou à 1. Un nombre ne peut être écrit ainsi que d*une seule manière.

9. a étant un nombre donné plus grand que 1, tout nombre peut être mis, et cela d'une seule façon, sous la forme.

a«i «f, «s, ..., a^ étant des nombres plus petits que a.

Écrire ainsi un nombre, c'est, au fond, récrire dans le système de numération dont la base est a ; si on imagine a chiff'res représentant tous les nombres inférieurs à a, y compris 0, les nombres a«, «i, ..., a,^ doivent être pris parmi ces chiff'res, et

le nombre «, -f a x «i + «* X ««+•••+«** X «„ pourrait être écrit sous la forme *R*n-i *" *< ^« ^'^ supposant que chaque chiffre placé à gauche d'un autre représente des unités composées a fois plus fortes que ce dernier. Cette notation ne sera pas employée dans ces Leçons^ d'autant qu'une notation pareille, avec un sens tout différent, sera introduite pour la multiplication.

Si l'on supposait que la base de la numération fût 2, la numération serait dite binaire.

10. n personnes reçoivent chacune un des numéros 0, 1, 2, ..., n— 1. Elles ont devant elles n objets portant aussi les numéros 0, 1, 2, ..., n~l ; chacune doit choisir un de ces objets; elles ont à leur disposition des jetons et une corbeille. La personne qui a le numéro 0 mettra dans la corbeille un nombre de jetons égal au numéro de l'objet qu'elle a choisi ; celle qui a le numéro 1 mettra dans la corbeille un nombre de jetons égal au produit de n par le numéro de l'objet qu'elle a choisi. En général, la personne qui a le numéro k et qui a choisi l'objet portant le numéro ?i mettra dans la corbeille un nombre de jetons égal à n* x A. On demande de dire, d'après le nombre de jetons qui se trouvent dans la corbeille, quel objet chaque personne a choisi.

il. On donne une suite infinie de nombres

«lï (hf «Ji --î û

I . Cette façon d*écrire donne lieu à quelques observations que nous faisons ici, une fois pour toutes.

Au lieu de représenter par des lettres différentes a, 6, c..., ou a, 6, f .., dos nombres que l'on veut distinguer les uns des autres, on peut représenter ces nombres par une même lettre affectée àHndieet placés en bas : c'est ce que l'on a fait id en écrivant a^), ai, o^,... que l'on énonce alpba indice séro, alpha indice un, alpha indice deux,..., ou, plus brièvement, quand on n*a pas à craindre de confusion avec les puissances, alpha léro, alpha un, alpha deux, otc... Les indices se placent en bas pour éviter la confusion avec les exposants. Au Ueu d'employer des indices en bas, on place aussi souvent des accents en haut : ainsi on emploie, pour désigner des nombres distincts, les notations a, a', a'', a"',... que l'on énonce alpha, alpha prime, alpha seconde, alpha tierce,... Ces notations conviennent on particulier quand les nombres qu'on représente ainsi se trouvent jouer un rôle analogue. Enfln, les points suspensifs... remplacent des termes analogues à ceux qui les précèdent et qui suivraient la même loi, jusqu'au dernier terme écrit.

Ta:cnbat. 3

tous plus grands que 1 ; démontrer que tout nombre peut être mis, et cela d'une seule façon, sous la forme

o^^ + fli X «1 + fli X fli X «« -f «1 X fl| X ûr, X »j + ... 4-aiXa,xasX...Xa„X«,,

en désignant par a«, «t» ««i •••» «„des nombres tels que Ton ait

quel que soit Tindice p.

12. On écrit la suite des nombres naturels sans les séparer : 12345678910111213... Quel est, dans cette suite, le lOOOOO*"»* chiffre ?