CHAPITRE XI
§ 1. — Règles de trois.
372. La considération des grandeurs directement ou inversement proportionnelles, donne lieu à des questions connues sous le nom de règles de trois, dont je vais d'abord donner quelques exemples.
On sait que !f5 litres de vin coûtent 32^25 ; on demande combien coûteront 37 litres du même vin.
Le prix est proportionnel à la quantité de vin ; si donc on désigne par x le prix de 37 litres de vin, on devra avoir
Tannkrt. 22
On en déduit
Le prix cherché est 47,25.
On aurait pu raisonner de la façon suivante : le prix de 25 litres est
32 ^o 32,25 ; le prix d'un litre sera 25 fois moindre ou -^ ; le prix de 37 lilres
-,. . I r . 32,25 X 37 sera 37 fois plus fort ou ^g '
11 a fallu 18 jours à 8 ouvriers pour exécuter un certain travail; combien aurait-il fallu de temps à 12 ouvriers pour exécuter le même travail ?
Les temps nécessaires à des nombres différents d'ouvriers pour faire uu même travail sont inversement proportionnels à ces nombres, en supposant que, dans le même temps, chaque ouvrier fasse le même travail.
Si donc on désigne par x le nombre de joui*s quMl faudra à 12 ouvriers pour faire le travail exécuté en 18 jours par 8 ouvriers, on aura
d'où
On aurait pu raisonner delà façon suivante : pour faire le travail, il a
fallu 18 jours à 8 ouvriers ; pour faire le travail il aurait fallu à un seul
ouvrier 8 fois plus de temps, soit 18X8 jours ; il faudra à 12 ouvriers 12
18 X 8 fois moins de temps, soit — j^.
Les problèmes que nous venons de traiter sont des règles de trois; dans chacun il y est question de deux espèces de grandeurs ; dans le premier exemple entrent des quantités de vin et des prix. La quantité de vin et le prix sont des grandeurs directement proportionnelles ; on considérait deux quantités de vin connues, 25 litres et 37 litres ; quant aux prix correspondants un seul était connu, Fautre était la quantité cherchée. Le second exemple est analogue, mais les deux quantités que l'on y considérait, les nombres d'ouvriers et les nombres de jours nécessaires pour exécuter un certain travail, étaient inversement proportionnelles : on connaissait encore deux quantités de la première espèce, une seule quantité de la seconde. Les deux problèmes reviennent à trouver un terme d'une proportion dans laquelle on connaît trois termes (n" 214).
373. Une règle de trois simple est un problème dans lequel entrent deux grandeurs (A), (B) dont on sait qu'elles sont directement ou inversement proportionnelles; on connaît les nombres a^, a, qui
mesurent la première dans deux de ses états A|, À^; on connaît le premier des nombres 6j, 6, qui mesurent la seconde dans les étafts 6p B, qui correspondent àÂp A,; on demande le second nombre. On a, si les grandeurs sont directement proportionnelles, la relation
d'où l'on tire
d'où Ton lire
mp
■t y d oc
ItlC
374. Nous n'avons considéré jusqu'ici que deux espèces de grandeurs liées l'une à l'autre. Mais il peut arriver qu'une grandeur d'espèce (X) soit liée àplusieurs grandeurs d'espèces(A),(B),(C),...;(P),(Q),(R),..., de façon que toutes ces dernières grandeurs étant déterminées la première (X) le soit. C'est ainsi, par exemple, que le volume d'un parallélépipède rectangle est déterminé quand ses trois dimensions sont déterminées. De même, le nombre d'ouvriers (travaillant tous également) qu'il faut pour creuser un fossé d'une certaine longueur, d'une certaine largeur dépend de cette longueur et de cette largeur, de la longueur et de la largeur que creuse un ouvrier en une heure, du temps que l'on veut employer à creuser le fossé.
Supposons ainsi la grandeur (X) liée aux grandeurs (A), (B), (G), ... ; (P)» (Q)? (R)i ••• • Lorsque l'on donne des valeurs fixes à toutes ces dernières grandeurs sauf à l'une d'elles, on peut dire que (X) ne dépend plus que de celle-là. Par exemple, si l'on se donne deux dimensions d'un parallélépipède rectangle, le volume de ce parallélépipède ne dépend plus que de la troisième dimension. Supposons que, dans ces conditions, la grandeur (X) soit directement ou inversement proportionnelle à la grandeur que l'on n'a pas fixée, suivant que celle-ci appartient à l'une des espèces (A), (B), (G), ... ou à Tune des espèceè (P)i(Q)i (R-)»--- ' on dira alors que la grandeur (X) est directement
proportionnelle aux grandeurs (A), (B), (C), ... et inversement proportionnelle aux grandeurs (P), (Q), (R), —
S'il en est ainsi, et si Ton considère deux états Xj, X, de la grandeur (X), qui correspondent respectivement aux états
"•1? ■"!» ^i» •••» *l» Ui» "'tJ "M
Aj, Bj, Lj, .,,\ r^j, Vjp itj, ...
des grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... , en sorte que chacune de ces grandeurs, sauf (A), ait la même valeur dans les deux états, ou devra avoir
X, Aj
Au contraire, si Ton considérait deux états X^, X, correspondant aux élats
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des grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ..., en sorte que chacune des grandeurs, sauf (P), eût la même valeur dans les deux états, on devrait avoir
Par exemple, le temps T nécessaire à n ouvriers pour creuser un fossé ayant partout la même profondeur, une longueur A, une largeur B, est directement proportionnel à A et à B, inversement proportionnel à n, en supposant que, dans le même temps, chaque ouvrier creuse toujours la même surface, à la profondeur voulue.
375. Voici maintenant le genre de problèmes, connus sous le nom de règles de trois composées^ auxquels donne lieu la notion d'une grandeur directement ou inversement proportionnelle à plusieurs autres.
On considère deux états différents, X^ et X, , de la première grandeur, auxquels correspondent les états Aj, B,, C,, ... ; Pj, Qj, Rj, ... des grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... , d'une part, et, d'autre part, les états A,, B^, C,, . . . ; P,, Qs, R^ • • • des mêmes grandeurs. Chaque grandeur étant mesurée, dans les deux états où on doit la considérer, avec une même unité, on connaît les nombres Of, 6}, Cj, ...; j>i,9i,r,,... qui mesurent A^, B,, Cj, ...; Pp Qp Rp ... et les nombres a^^è^yC^, ...; p„ ^j, r„ ... qui mesurent Aj, B^, C^, ...; Pg, Qj, Rj, ...; en désignant
par Xp x^ les nombres qui mesurent Xp X^, on connaît l'un de ces nombres x^, on demande l'autre x^,
La méthode de réduction à Tunité, qui a déjà été employée pour les exemples de règles de trois simples, va nous fournir la solulioa de ce problème, en supposant toutefois que tous les nombres ^p ^i» ^i> ••• ; Pu 9i» '*!» ... et ttj, ^j, Cj, ...; /?2, ^j, r,, ... soient entiers.
Cette méthode consiste à trouver le nombre qui mesure la grandeur (X) quand les grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... sont respectivement égales à leurs unités, et cela en partant de ce que Ton connaît le nombre x^ qui mesure (X), quand les grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... ont des valeurs mesurées par les nombres a^, 6,, c„ ... ; pj, ^j, r,, — On calcule ensuite la valeur du nombre x^ qui mesure (X) quand les grandeurs (A), (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... sont mesurées par les nombres a„ èj, c,, . .. ; p„ çf„ r„ .... On raisonne comme il suit :
Quand la grandeur (A) est mesurée par le nombre a^ et que les grandeurs (B), (C), ... ; (P), (Q), (R), ... sont mesurées par les nombres éj, c„ ... ; Pj, q^, t\y ..., la grandeur (X) est mesurée par le nombre Xj. Si (A) devenait égale à Tunité, c'est-à-dire «j fois moins grande, et que les autres grandeurs (B), (C), ...; (P), (Q), (R), ..., restassent les mômes, la grandeur (X) deviendrait aussi a^ fois moins grande, et serait ainsi
mesurée par le nombre —, de même si, la grandeur (A) restant égale
à Tunité, la grandeur (B) devenait égale à Tunité, les autres grandeurs (C), ...; (P), (Q), (R),... restant les mêmes, la grandeur (X) deviendrait, comme la grandeur {B)i, è, fois moins grande, et serait
alors mesurée par le nombre — rî si ensuite la grandeur (C) deve-
nait égale à l'unité, toutes les autres grandeurs conservant les mêmes valeurs que dans la phase précédente, (X) serait mesurée par
le nombre — -—; les choses continueront de la même façon, jusqu'à
«1 ^1 ^1 ce qu'on ait ramené à Vunité chacune des grandeurs (A), (B), (C), ...
auxquelles (X) est directement proportionnelle; quand cela est fait, (P)' (Q)ï (R)i -M ont toujours les mêmes valeurs et (X) est mesurée
par le nombre — j— ^ — ; si maintenant la grandeur (P) devient égale
à l'unité, c'est-à-dire ;>, fois plus petite, la grandeur (X), qui est inversement proportionnelle à Pp devient p^ fois plus grande ; elle
est mesurée par le nombre — . ; si la grandeur (Q) devient
égale à Tunité, (X) est mesurée par le nombre — y^^^ • si la grandi ^1 ^fdeur (R) devient aussi égale à Tunité, la grandeur (X) est mesurée
par le nombre ■ , '; quand toutes les grandeurs sont ramenées
à Tunité, la grandeur (X) est mesurée par le nombre . '"' •
Au numérateur figurent comme facteurs, outre le nombre x^^ tous les nombres qui mesuraient, dans le premier état, les grandeurs (P), (Q), (R), ..., auxquelles la grandeur X est inversement proportionnelle; au dénominateur figurent comme facteurs tous les nombres qui mesuraient, dans le premier état encore, les grandeurs (A), (B), (C), ..., auxquelles la grandeur (X) est directement proportionnelle.
La première partie du problème est résolue ; la seconde se résoudra deméme,ensupposantquelesgrandeurs(A),(B),(C),...;(P),(Q),(R), ..., dont chacune est maintenant égale à Tunité correspondante, prennent successivement les valeurs qui répondent au second état.
Ainsi quand (A), au lieu d'être Tunité, devient égale à a^ unités, pendant que les autres grandeurs restent respectivement égales à Funité, la grandeur (X) devient a^ fois plus grande qu'elle n'était et
se trouve mesurée par le nombre '^'z' ' *î P^^^ quand (B) de-
a, 0^ Cj...
vient égale à è, unités, la grandeur (X) est mesurée par le nombre
X TO O 1* Ou
l '" * *; quand (C) est devenue égale à c, unités, puis que, de
Um Vm C| . . •
même, toutes les grandeurs auxquelles la grandeur (X) est directement proportionnelle ont pris les valeurs qui correspondent au
second état, (X) est mesurée par le nombre ' ' " * * * "; si
maintenant (P) devient égale à p^ unités, (X) devient p^ fois plus
petite et est mesurée par le nombre * "* Vt i-- i a >•". ç^pm^ quand
toutes les grandeurs (Q), (R), ... sont devenues. Tune après Tautre, égales à q^ unités, à r^ unités, etc., la grandeur (X) est dans le second état : elle est mesurée par le nombre
Outre les facteurs déjà énumérés, on a introduit au numérateur.
cette fois, les nombres a^, 6„ c,, ... qui, dans le second état, mesurent les grandeurs (A), (B), (C), ... auxquelles la grandeur (X) est directement proportionnelle, et, au dénominateur, les nombres p^, 9,, r,, ... qui, dans le second état encore, mesurent les grandeurs (P),(Q),(R), ... auxquelles la grandeur (X) est inversement proportionnelle. L'égalité précédente résout le problème posé. On en tire
X, a, ^, Cl ;;, jr, r,
d'où la conclusion suivante : le rapport des nombres qui mesurent la grandeur (X), dans le second état et dans le premier, est égal au produit des rapports des nombres qui mesurent, dans le second et le premier état, les grandeurs auxquelles (X) est directement proportionnelle, multiplié par le produit des inverses -des rapports des nombres qui mesurent, dans le second et le premier état, les grandeurs auxquelles (X) est inversement proportionnelle.
Il est à remarquer que chacun des rapports est indépendant de Vunité choisie pour mesurer la grandeur qu'il regarde : si, dans les deux états de cette grandeur, les nombres qui la mesurent se trouvaient être fractionnaires, on pourrait, en changeant d'unité, s'arranger pour qu'ils fussent entiers ; le rapport ne changerait pas. Cette remarque montre que la formule précédente et la formule (1), qui lui est équivalente, subsistent lors même que les nombres ap A^, Cp ... ; Pi, 9„ r,, ..., ou ttj, 6j, c„ ... ;;;„ y„ r,, ... sont fractionnaires, bien que le raisonnement suppose qu'ils soient entiers.
On observeraque le raisonnement par lequel nous sommes parvenus à l'expression de la mesure d'un parallélépipède rectangle dont on connaît les dimensions, est un cas particulier du précédent.
376. Exemple. — Un manufacturier a dépensé une première fois 1 560 francs pour payer 52 ouvriers dont chacun a travaillé pendant 50 heures ; une antre fois il a dépensé 4158 francs pour payer un certain nombre d'ouvriers dont chacun a travaillé 6 heures. Quel était ce nombre?
n est sous-entendu que, dans tous les cas, chaque ouvrier reçoit la même paye pour une heure de travail.
Reprenons sur cet exemple le raisonnement général, pour signaler une difficulté qui se présente quelquefois.
Si, pour gagner 1560 francs pendant 50 heures, il faut que les ouvriers soient au nombre de 52: pour gagner la même somme pendant 1 heure, il faudra que les ouvriers soient 50 fois plus nombreux, c'est-à-dire soient au nombre de 52 X 50, et pour gagner 1 fr. pendant 1 heure il faudra que les ouvriers soient 1560 fois moins nombreux que les précédents, c'est-à-dire au
52 X 50 nombre de ** ; pour gagner 4158 francs pendant 1 heure, il faut
1 DiMI
que les ouvriers soient en nombre 4158 fois plus grand, c'est-à-dire en
nombre égal à t^tt , et, pour gagner la même somme en
6 heures, il faudra 6 fois moins d'ouvriers, c'est-à-dire un nombre d'ouvriers égal à — ■ -- ^^ . En réduisant cette fraction, on obtient
3X5X7X11 = 1155 ouvriers.
Le raisonnement, bien que conduisant à un résultat exact, contient un intermédiaire absurde ; on a dit, en effet, qu'il fallait pour gagner 1 fr. en 1 heure un nombre d'ouvriers égal à
et il est bien clair que le nombre d'ouvriers doit toujours être un nombre entier. Ici l'unité, pour le nombre d'ouvriers, est imposée parla nature; elle ne peut être subdivisée, comme s'il s'agissait de quantités continues. On s'en tirera en décomposant cependant celte unité naturelle en unités fictives. On imaginera, par exemple, que chaque ouvrier puisse être remplacé par 3 enfants, qui effectueraient, dans le même temps, le même travail que lui. Alors les nombres d'ouvriers auxquels on parvient, exprimés en nombre d'ouvriers enfants, devraient être, à chaque fois, triplés. Il faudrait pour gagner i fr. en 1 heure, 5 ouvriers enfants; puis, pour gagner 4158 fr. en 6 heures, il faudrait un nombre d'ouvriers enfants égal à
et par conséquent un nombre d'ouvriers réels trois fois moindre. On voit que, en somme, l'introduction de cette unité fictive ne trouble pas le résultat et permet de raisonner sur des nombres entiers.
Dans tous les cas analogues, on pourra se tirer d'affaire par des artifices semblables, artiflces dont, à la vérité, on se dispense habituellement dans la pratique.
§ 2. — Intérêts simples.
377. Le prêt à intérêt consiste à prêter une certaine somme d'argent, un capital, à cette condition que, pendant le temps où il jouira de ce capital, l'emprunteur versera au prêteur une certaine somme, dite inté7'êt du capital. Le capital, d'ailleurs, appartient toujours au préteur.
Dans le prêt à intérêt simple, on admet les conditions qui suivent :
L*intérét produit par un capital pendant un certain temps est proportionnel à ce capital, au temps du prêt et au tavtx de Tintérét, qu'il nous reste à définir.
Le taux de l'intérêt, c'est, à proprement parler, l'intérêt rapporté pendant l'unité de temps par l'unité de capital : par exemple, si l'on prend pour unité de temps l'année, pour unité de monnaie le franc, ce sera l'intérêt rapporté par 1 franc prêté, on placé, pendant 1 an.
Le taux est habituellement représenté par une fraction dont le
dénominateur est 100 et le numérateur un nombre simple comme
1, 2,3, 4, 5, 6; il peut être d'ailleurs un nombre fractionnaire
comme 3,5 ou 4,5 (trois et demi, quatre et demi). L'habitude est
d'énoncer d'abord le numérateur en faisant suivre des mots pour
cent, que l'on sous-entend même quelquefois, lorsqu'il n'y a pas
d'ambiguïté possible. En écrivant, au lieu d'employer la notation
habituelle des fractions ordinaires ou décimales, on écrit souvent le
numérateur en faisant suivre du symbole 7o» Q"^ s'énonce pour
cent. Ainsi on dira le taux quatre pour cent, le taux quatre et demi
pour cent, et l'on écrira 4 7o» ^i^U au lieu de 0,04; 0,045. Quand
on n'énonce pas l'unité de temps, c'est Vannée qui est cette unité ;
mais on peut employer les mêmes façons de parler, en se servant
d'autres unités de temps ; ainsi prêter à 2 7o ^^ prenant le semestre
pour unité de temps, c'est la même chose que de prêter à 4 7o ^^
prenant pour unité de temps l'année. L'expression pour cent
s'explique d'elle-même : si le taux est par exemple 5 7oî c'est que
cent francs rapportent cinq francs.
On employait autrefois l'expression : prêter au denier tant, par exemple au denier vingt, au denier douze. Cela revient à représenter le taux par une fraction dont le numérateur est un, et dont le dénominateur est le nombre que l'on fait précéder de l'expression au
5 1 denier; ainsi, puisque l'on a 777: = ^7^' prêter à 5 7o» c'est prêter au
iUU zu
denier 20, et l'on entendait par là qu'un denier était rapporté par vingt deniers.
378. La relation qui existe entre l'intérêt, le capital, le temps du prêt et le taux résulte immédiatement du théorème du n*^ 375. Supposons que, en prenant une certaine unité de monnaie et une certaine unité de temps, le capital, le taux, l'intérêt, le temps du prêt soient représentés par les nombres A, r, a, t; on observera que a et r peuvent être regardés comme des nombres qui représentent les intérêts respectivement rapportés par les capitaux A et 1 pendant les
temps i et 1 ; on doit donc avoir, diaprés les conventions adoptées,
a kxt
r 1 Xl ou
a = Ar/.
Reprenons à nouveau, pour démontrer cette formule, le raisonnement de la réduction à Tunité, en supposant, pour fixer les idées, que les unités de monnaie et de temps soient le franc et Tannée, et en outre que les nombres A et t soient des nombres entiers. On dira : 1 franc placé pendant 1 an rapporte une somme égale à r; A francs placés pendant 1 an rapporteront une somme A fois plus grande, ou r x A, et A francs placés pendant t années rapporteront une somme qui sera encore t fois plus grande, c'est-à-dire r X A X ^ On a donc a = Xri, On observera que lors même que les nombres \ei t seraient fractionnaires, ce raisonnement s'appliquerait encore, avec quelques modifications sur lesquelles il semble inutile d*insister.
Au bout du temps t le préteur possède, outre la somme prêtée A, rintérét kri de cette somme ; il possède donc la somme
k + krt=:k{\+rt);
c'est là la valeur acquise par la somme A au bout du temps t. La relation
a= Arf
entre les quatre quantités a, A, r, t permet, quand trois de ces nombres sont connus, d'en déduire le quatrième. On a ainsi les relations
rt kr kt
qui font connaître le capital qu'il faut placer à un taux donné r, pendant un temps donné ^ pour avoir un intérêt donné a, etc.. Chacune de ces formules peut d'ailleurs s'établir directement par le raisonnement relatif aux règles de trois composées.
379. Si le placement ne s'effectue pas pendant un nombre entier d'années, t est une fraction. Un cas très fréquent est celui où le temps est donné en jours. On regarde alors l'année comme ayant 360 jours; i sera donc donné par une fraction dont le dénominateur sera 360 et
le numérateur le nombre n de jours pendant lesquels l'argent a été prêté, en sorte que la formule fondamentale devient
a = Ar
360* on pourrait aussi bien récrire
et Ton observera que .-r-^ est précisément la somme rapportée par
ooO
un franc pendant un jour, c'est le taux quand on prend le jour pour unité de temps, et alors le temps du prêt est mesuré par le nombre n. La formule ainsi écrite ne diffère donc de la formule générale que par le sens nouveau qu'y prennent les facteurs du second nombre. On verra de même la modification qu'il convient de lui faire subir quand on prend la semaine pour unité de temps : on regarde alors Tannée comme comprenant exactement 52 semaines. C'est le mode employé dans les Caisses d'épargne, où Ton ne tient compte, d'ailleurs, pour le calcul des intérêts, que du nombre entier de semaines pendant lesquelles l'argent a été placé. 380. Dans les maisons de banque, on a à appliquer très fréquem-
ment la formule a = -^--'; on a recours, pour effectuer les calculs, à
quelques artifices qui ne sont pas sans intérêt. Observons que, dans
une suite d'opérations de même nature, ce sont les nombres A et n
qui changent, le taux de l'intérêt r reste le même ; supposons que
r' ce taux r soit donné sous la forme tt^tI en d'autres termes, l'argent
r' est placé au taux r' 7o- On pourra écrire, en remplaçant r par
Ar'n An
le nombre — ;— s'appelle le diviseur relatif au taux r' ; désignons-le
par d; on aura
An
on obtiendra l'intérêt en divisant par d le produit An.
Dans la pratique, le nombre r' a souvent Tune des valeurs 1; 1,S; 2; 2,5; 3; 3,6; 4; 4,5; 5; 6, auxquelles correspondent les diviseurs
qui sont tous des nombres entiers. La division par l'un quelconque de ces nombres, surtout pour ceux qui correspondent aux taux 3,6; 4; 4,5; 6, sera, comme on le voit, extrêmement facile.
On observera, sur la formule générale, que le diviseur est le nombre de jours pendant lesquels il faudrait placer un capital pour que rintérêtfût égal à ce capital; cette formule, si Ton y suppose n = rf, donne, en eflFet, a=k. On voit de même qu'un capital égal au diviseur produit un franc d'intérêt par jour.
Méthode des parties aliquotes, — En posant d = 100^, la formule générale s'écrit
Ah J__
les valeurs du nombre ^ relatives aux taux usuels se déduisent de celles du nombre d en supprimant deux zéros à droite.
Uiî procédé de calcul assez avantageux consistera à mettre n sous la forme
q désignant le quotient à une unité près de la division de n par d et riij n.2, ^3, ... des diviseurs (au sens arithmétique) du nombre entier €, choisis de façon que leur somme soit le reste de la division de n par 9. On a vu au n*" 165 comment on pouvait mettre le reste sous cette forme, et cela de façon que les nombres rij, n^, Hj, ... aillent en décroissant. On aura alors
ou, en désignant par p^, p^, p,, ... les quotients entiers de la division de «par nj, fia, n^, ...,
« Pi Pâ P3
On aura ensuite
-— = AX -r=A^H h-.-,
fi fi Pi P2 P3
et chacune des parties de cette somme se calculera très rapidement si, comme il arrive d'habitude, les nombres p^, p^, Pi, ... sont petits. On aura ensuite, pour avoir a, à prendre le centième du résultat.
Soit à calculer, par exemple, Tintérét de 8649',75 pendant 129 jours à 5 Vo.
Ici le nombre 5 est égal à 72 dont les diviseurs sont
72, 36, 24, 18, 12, 9, 8, 6, 4, 3, 2, 1 et Ton a 129 =72 + 36 + 18 + 3,
on a à ajoutera 8649,75 sa moitié, son quart, son vingt-quatrième; on formera ces deux derniers nombres en calculant la moitié de la moitié de 8649,75 puis le sixième du résultat ; on trouve ainsi en négligeant les centimes
en divisant le résultat par 100 on obtient l'intérêt cherché, 154,97.
Si le taux de l'intérêt n'était pas un des nombres simples que nous avons supposés, on pourrait faire les calculs avec celui de ces nombres qui se rapproche le plu*' du taux donné et ajouter ensuite un terme correctif relatif à ce que l'oa a négligé.
Si, en effet, le '.aux (pour cent) »•' est la somme de deux nombres r,', r^, on a
kr'n __ k.r\ n kr'^n 36000 "■ 36ÔÔÔ 36ÔÔÔ'
en sorte que Ton peut calculer l'intérêt produit par le capital A au taux f ^/q, en faisant la somme des intérêts produits par le même capital placé pendant le même temps aux taux rj<>/o, rj^'/o.
381. On dit qu'un négociant a un compte courant chez un banquier lorsqu'il dépose des capitaux chez ce banquier, qui, de son côté, remet de l'argent au négociant, ou effectue des paiements pour son compte. Ces sommes portent d'ailleurs intérêt à un taux convenu. Le bordereau est le détail des sommes versées par le négociant chez le banquier, ou payées par le banquier au compte du négociant, avec les dates des versements ou paiements.
Le règlement de compte s'effectue à des dates déterminées, dites époques de clôture : c'est une opération dont le résultat est l'avoir du négociant chez le banquier à une telle date. Considérons la
350 LEÇONS D'AKITHMÉTIQUE.
période de temps qui s*écoule entre deux époques de clôture. Si rargent ne portait point intérêt, l'argent du négociant, à chaque instant de cette période, et en particulier à la clôture, serait la différence entre la somme des capitaux versés par lui et la somme de ceux payés par le banquier : cette différence est ce qu*on appelle la balance des capitaux.
Supposons maintenant que Targent porte intérêt, on subdivisera la période entre deux époques de clôture en périodes partielles, pendant chacune desquelles il n'a été fait ni versement ni paiement; imaginons qu'au début de chaque période partielle, c'est-à-dire d'une part après le dernier règlement, d'autre part après chaque versement ou paiement, on ait fait la balance des capitaux ; on calculera rintérêt qu'aurait produit pendant celte période partielle la somme représentée par cette balance ; on fera le total de ces intérêts et ce total, ajouté à la balance des capitaux relative k l'époque de clôture, constituera l'avoir du négociant chez le banquier à ce moment ; son compte sera réglé.
Si l'on suppose que l'intervalle de temps entre deux règlements de compte successifs soit de N jours et que les périodes partielles pendant lesquelles il n'est fait ni versement ni paiement soient de n^ Wg, ... rip jours, on aura
N=n, -f-n,-|-... +nj,.
Pendant la première période partielle de nj jours, c'est la somme résultant du dernier règlement de compte qui porte intérêt; désignons-la par Bp désignons de même par B^ la balance des capitaux au commencement de la seconde période partielle, après un versement ou un paiement, par B3 la balance des capitaux au commencement de la troisième période, après que l'on a fait encore un versement ou un paiement, etc.. : si d est le diviseur relatif au taux de l'intérêt convenu, l'intérêt qu'il faudra ajouter à la balance finale des capitaux sera
«,B, + WjB, -f- . . . -f ripBp d
Les balances Bp B^, ..., Bp se calculent immédiatement, par des additions ou soustractions, d'après le bordereau.
382. On peut d'ailleurs éviter le calcul des balances en suivant une autre méthode, dite rétrograde ou indirecte. La règle qui résume cette méthode résulterait d'une transformation facile de la formule précédente, transformation que j'omets à cause de son
caractère un peu algébrique : cette règle peut être établie directement.
Pour rendre le langage plus uniforme, nous regarderons, dans la formule précédemment établie, la première somme B^ comme une somme versée par le négociant chez le banquier le jour du précédent règlement de compte, ou, si l'on veut, le jour de l'ouverture du compte.
Observons que Tintérét produit, pendant un temps donné, par la somme de deux capitaux étant la somme des intérêts que produirait chacun de ces capitaux, Tintérêt produit par la différence entre deux capitaux devra de même être la différence entre les intérêts que produiraient séparément ces capitaux.
Observons aussi que chaque balance est une pareille différence entre les sommes versées par le négociant et celles payées par le banquier au compte du négociant. On voit dès lors qu'on obtiendra rintérêt cherché en calculant d'une part l'intérêt produit, entre le jour du versement et l'époque de clôture, par chaque somme que verse le négociant, d'autre part l'intérêt produit, entre le jour du paiement et l'époque de clôture, par chaque somme que paie le banquier au compte du négociant, et en retranchant du total des premiers intérêts le total des seconds.
Ainsi, pour calculer l'intérêt cherché, on multipliera par le nombre de jours compris entre l'époque du versement et l'époque de clôture chaque somme versée par le négociant, et on fera le total P de ces produits; on multipliera de même par le nombre de jours compris entre l'époque du paiement et l'époque de clôture chaque somme payée par le banquier pour le compte du négociant, on fera le total Q de ces produits; on fera la différence entre les totaux et l'on divisera la différence par le diviseur d relatif au taux de l'intérêt convenu.
J'ai supposé, dans ce qui précède, que la balance des capitaux était à chaque instant en faveur du négociant. Les conventions peuvent être autres et le banquier peut prêter plus d'argent qu'il n'en reçoit. La règle précédente s'applique dans tous les cas, soit que la balance des capitaux ait toujours été en faveur de l'une ou de l'autre des deux parties, soit qu'elle ait été tantôt en faveur de l'une tantôt en faveur de l'autre. Seulement la différence que l'on doit faire à la fin, si elle ne peut se faire dans le sens indiqué, se fera dans l'autre sens et représentera alors une somme due au banquier par le négociant. La justification complète de cette règle, bien que facile, exigerait quelques développements que je préfère laisser de côté ; elle est immédiate pour le lecteur en possession des règles de calcul relatives aux nombres négatifs.
La règle que Ton vient de décrire serait d*une application très facile si Tépoque de clôture était déterminée à Tavance; chaque jour de versement ou de paiement, rien n'empêche de calculer la partie correspondante des nombres P ou Q. Les calculs étant ainsi
préparés, le calcul du nombre — - — se fera immédiatement, le
jour de la clôture. Mais il importe de pouvoir clore le compte le jour que Ton veut; aussi est-ce d'une façon un peu différente que Ton procède.
Désignons par P' le total des produits obtenus respectivement en multipliant par le nombre de jours écoulés entre la date d'ouverture et la date du versement chaque somme versée par le négociant; désignons de même par Q' le total des produits obtenus respectivement en multipliant par le nombre de jours écoulés entre la date d'ouverture et la date du paiement chaque somme payée par le banquier pour le compte du négociant; il est clair que la quantité
représentera l'intérêt que produirait pendant les N jours écoulés entre l'ouverture et la clôture une somme égale à ia balance
finale B^ des capitaux: en effet, — -z — , par exemple, est l'intérêt,
pei\dant N jours, des sommes versées par le négociant : on a donc
P — Q BpN F— Q^ d d d
et c'est le second membre de cette égalité que l'on calcule, en ayant préparé à l'avance, chaque jour de versement ou de paiement, la partie correspondante du nombre P' ou Q' ; le jour de clôture, on n'aura qu'à calculer le nombre B^,N.
383. Ce qui précède s'applique aux comptes de chèques. Un particulier qui, par exemple, ne veut pas garder de grosses sommes chez lui dépose son argent chez un banquier, qui lui remet un cahier de chèques, c'est-à-dire un livre à souche contenant une série de feuilles qui peuvent en être détachées et dont chacune porte une formule telle que : Payez à à ordre ou au porteur la somme
de . Paris, le
Si le particulier veut effectuer un paiement, au lieu de le faire en monnaie, il détache une feuille (un chèque) du livre à souche et écrit
