ESCOMPTE

Pour chaque billet dont Téchéance est postérieure à Téchéance commune, on calculera la valeur escomptée de ce billet à Tépoque de Téchéance com-* mune; pour chaque billet dont Téchéance est antérieure à Téchéance commune, on calculera sa valeur acquise en le supposant placé pendant le temps compris entre son échéance vraie etTéchéance commune; on conservera, s'il y en a, les valeurs nominales des billets dont l'échéance coïnciderait avec réchéance commune ; on fera la somme de toutes ces valeurs, ce sera la valeur nominale cherchée de TefTet unique.

Le lecteur habitué à l'usage des nombres négatifs n'aura aucune peine à réunir ces différents cas dans une seule formule.

387. Échéance moyenne. — On a plusieurs effets de commerce payables à des échéances diverses; on connaît ces échéances ainsi que les valeurs nominales de ces effets, on veut les remplacer par un effet unique, dont la valeur nominale soit la somme des valeui^ nominales des effets et qui ait même valeur au comptant; on demande quelle échéance on devra prendre pour ce billet : celte échéance (cherchée) est dite échéance moyenne.

Soient Al, A2, ..., A^ les valeurs nominales des efTels payables respectivement dans nj, nj, ..., n^ jours; soit N le nombre de jours au bout desquels doit avoir lieu l'échéance moyenne; on calculera ce nombre N de manière que l'escompte d'un billet dont la valeur nominale serait Aj + Aj +... + A^, payable au bout de N jours, soit égal à la somme des escomptes des billets dont les valeurs nominales sont Aj, A2) ...^ A^ et qui sont payables au bout de n^, 712, •••« ^p jours. En désignant par d le diviseur relatif au taux de l'intérêt, on devra donc avoir :

N «1 nj ?ip

+ ■" + Kh = ^ir + AjT + - + ^T'

(A, 4- A2 + ... + Ap)^ — A|^ + Aj j- , ... , ^^p^

et, par conséquent, en multipliant les deux membres par d,

(Al + A2 + ... A^)N = AiMi + A2n2+ ... + A^n^, d'où l'on tire finalement

A^ni + A,n2 + *«. + A^n^

Le nombre N ainsi obtenu peut se calculer en divisant par la somme

Ajnj

de leurs dénominateurs la somme des numérateurs des fractions

AjUj A,,w

^, qui sont respectivement égales à «i, «2» •» Wp : N est donc

(n* 212) compris entre le plus petit et le plus grand des nombres Wi,n2, ...,n

356 LEÇONS D*ÀR1THMËTIQUE.

§ 3. — Intérêts composés.

388. Supposons qu'un négociant dépose une somme A chez un banquier, sans jamais y toucher, à cette condition qu'elle soit placée à intérêt, au taux r (par franc), et que Ton règle son compte chaque année, comme il a été expliqué au n** 381 : quel sera lavoir du négociant au bout de n années?

Au bout d'un an, la valeur acquise par la somme A est la somme du capital A augmenté de l'intérêt Ar, c'est-à-dire A + A.r = A ( 1 + »") ; au premier règlement de compte, Tavoir du négociant sera A (1 -f-r), il s'obtient en multipliant par i -\-r\di. somme placée au commencement de Tannée; l'avoir du négociant à chaque règlement de compte s'obtient de même en multipliant par 1 -j-»" l'avoir tel qu'il était au

précédentrèglement de compte; il sera donc A(1+0(l+0 = ^(^+'";* au bout du second règlement de compte, A(l -J- r)' au bout du troisième, et A(l-f-r)" au bout du n**™*' règlement de compte, c'està-dire au bout de la n**™* année. La valeur acquise A', dans ces conditions, par la somme A, sera donc

A' = A(l-}-ry*

Placer de l'argent dans ces conditions, c'est ce qu'on appelle placer à intérêts composés.

Une somme est placée à intérêts composés lorsqu'elle est regardée comme placée à intérêt simple pendant chaque année^ et quau bout de chaque année on lui ajoute les intérêts produits dans cette supposition^ lesquels porteront eux-mêmes intérêt pendant Vannée suivante^ comme le capital,