La formule

A'=A(l + rf

suppose que n est un nombre entier; dans le cas où n serait un nombre fractionnaire, somme d'un nombre entier m et d'une fraction -^ plus petite que un, il serait naturel, d'après les suppositions

précédentes, de regarder la somme A comme placée à intérêts composés pendant m années, au bout desquelles elle aurait acqais une valeur égale à

A(l+r)", et de regarder ensuite cette dernière somme comme placée à intérêt

simple pendant le temps ^: elle rapporterait alors un intérêt égal à

en sorte que la valeur acquise par la somme A, au bout du temps

P m A , évalué en années et fraction d'année, serait

A(i+rr + A(l + rrxÇ = A(l+rr(l+^).

En réalité, ce n^est pas par cette formule que le calcul se fait, mais

bien par la formule A' = A (1 + 'O**^?» laquelle n'a pas actuellement de signification, mais qui en acquerra une plus tard (n** 451, 452). Elle donne des résultats un peu plus faibles. Bornons-nous ici au cas où, le nombre n étant entier, on applique la formule

390. Le calcul de A' quand on connaît A, r, w, ou de A quand on connaît A', r, w, est assez pénible. Le lecteur familier avec l'usage des logarithmes voit de suite la commodité qu'ils permettent dans les calculs. VAnnuai?*e du Bureau des longitudes (*) contient des tables

qui donnent les valeurs de (l + r)"et de pour les taux

r= 0,023; 0,03; 0,035; ...; 0,055; 0,06 et pour les valeurs de n qui s'étendent de 1 à 34. Dans ces limites, le calcul de l'une des quantités A et A' connaissant l'autre se fait, en utilisant ces tables, par une simple multiplication ; il est aisé de voir qu'on peut s*en servir pour des valeurs de n supérieures è. 34.

Exemple. — Quelle somme faudrait-il placer à intérêts composés pour avoir au bout de 63 ans un capital de iOOOO francs, le taux étant r = 0,03 ? On aura

1. Jâ signale coUe publication p«rce qu'elle ost très tèpandae : c'est en quelque sorte Valmanach de tous ceux qui ont une culture scientiAquo; mais ceux qui s'occupent de fçrandos opérations financières ont besoin de tables pluB étendues : on les trouvera par czemplo dans la Théorie dei intérêts composés et dès annuités de Fédor Thoman on dans la Théorie mathé» "M/i^Mtf des opération» financières de M. Charlon (Gauthier-Villars et fils).

on trouve d'ailleurs dans la table

on trouve, pour le produit de ces deux nombres, avec une erreur moindre que rrry , la valeur 0,155330 ; on aura donc :

Le calcul de n, d'après la formule

A' = A(l+rr,

quand on connaît A, A', r, n'est pas du ressort de l'Arithmétique; toutefois, les tables dont je viens de parler permettront d'obtenir approximativement le résultat si r est un des taux contenus dans les tables.

Cherchons, par exemple, au bout de combien de temps un capital placé à intérêts composés au taux r = 0,05 aura obtenu 10 fois sa valeur. Vraisemblablement, ce ne sera pas au bout d'un nombre exact d'années; mais on peut chercher un nombre entier m tel que l'on ait

(1 +rr< 10 <(l + rr+*;

la plus haute valeur de (1 + rf*' qui se trouve dans la table est 5,253348, qui correspond à m = 34. Au bout de trente-quatre ans, 1 franc est devenu 5',253348; au bout de combien de temps cette somme deviendra-t-eile 10 fr.? On est amené à chercher un nombre entier m/ tel que l'on ait

La fraction „ a^ooto convertie en fraction décimale, donne le nombre

5,25od4o

approché 1,903548; les valeurs de (1 + »*)" contenues dans la table qui comprennent 1,903548 sont 1,885649 et 1,979932, qui correspondent à «=13 etn= 14; par conséquent, le temps cherché est compris entre 34-fl3 et 34+ 14, ou entre 47 et 48 années. Quant à la fraction d'année qu'il faudrait ajouter à 47, on pourrait la chercher en appliquant la formule

A' = A{l+rr(l +Ç),

OÙ Ton supposerait -— = 10, r = 0,05, m = 47; mais le résultat ne serait

qu'approximatif, puisque cette formule ne représente qu'approxiraativement la loi des intérêts composés pour les fractions d'année.

Quand n augmente, la quantité (l + f*)" augmente très rapidement, en sorte que la loi des intérêts composés n'est nullement applicable lorsqu'il s'agit de longues périodes d'années, de plusieurs siècles par exemple.

§ 4. — Partages proportionnels.

Régules de société, d'alliage, de mélang-e.

391. Partages proportionnels. — On donne d'une part un nombre B, d'autre part p nombres a^ a,, ..., a^; on se propose de trouver p nombres b^^ 6„ ..,, i^ proportionnels aux nombres a,, a^, ..., a^, et dont la somme soit B.

Les deux suites

^p Oj, ..., 0 % flp ûj, ..., o

doivent être proportionnelles; il en est de même des deux suites

*p*ii •••>*^i *! + *»+ ••• + *p»

a„ ttj, ..., a^, 01+^8 + ... + Op.

Tous les termes sont connus dans la seconde suite; dans la première suite, on ne connaît que le dernier terme, qui est égal à B. D'ailleurs le rapport d'un terme de la première suite au terme correspondant de la seconde doit toujours être le même; on doit donc avoir

«1 ai + ««+-.. + <

et par suite

' ai + «.+ ••• + «,

ai + a«+ ••• + «,

Il convient de remarquer que les résultats resteraient les mêmes si Ton substituait aux nombres o^^.a^^ -",% proportionnellement auxquels le partage doit s'effectuer d'autres nombres a'j, a^, ...,a' qui leur fussent proportionnels. Cela en effet reviendrait àmultiplier par un même nombre tous les nombres a,,rta* •-••j^f» et, par conséquent, à multiplier par un même nombre les deux termes de chacune des fractions qui fournissent les expressions de Aj, 6,, ..., b^.

Réciproquement, si Ton prend pour lès nombres ô,, 6„ ..., ^^ les valeurs précédentes, èes nombres s'obtenant en multipliant fli, flj, ..., ap par un même nombre, à savoir .... .. •

«i + «j+ — + «p sont proportionnels à e/j, flj, ..., a^\ d'autre part, leur somme est

Bfl^ + Bag + .., + Bay B(flt + fl,+ ... + fly) «i + «î +••• + «« .~ «i + «i+ ••• + ««

Ce sont donc bien les nombres cherchés.

Règle. — Pour partager un nombre en parties proportionnelles à des nombi'es donnés, on multiplie par ces derniers nombres le nombre que Ton veut partager, et l'on divise les produits par la somme des nombres proportionnellement auxquels on veut faire le partage.

Exemples, — Diviser 24 proportionnellement à 1, 2, 5; les résultats sont

24 Xi ^ 24X2 • 24X5 .„ . — g- = 3, -g- =: 6, — g- = t.;

les nombres 3, 6, 15 sont proportionnels à 1, 2, 5 ; leur somme est 24. Diviser 32 proportionnellement à 2, 7, 8, 5*; les résultats sont :

392. Règles de société. — Ces règles ont pour but de déterminer le partage des bénéfices (ou des pertes) entre associés qui ont mis en commun des capitaux dans une affaire.

La règle de société est simple si les associés ont placé leurs capitaux pendant le même temps. Alors on partage le bénéfice proportionnellement à ces capitaux*

La règle de société est composée si les associés ont placé leurs capitaux pendant des temps différents. On partage alors le bénéfice

proportionnellement aux produits obtenus en multipliant la mise de chaque associé par le temps pendant lequel il a coopéré à TafTaire. La seconde règle contient, comme cas particulier, la première ; il suffira de la justifier.

Supposons, par exemple, qu'il y ait trois associés dont les mises soient respectivement Ap A,, A,, et que ces capitaux aient été engagés dans T^ffaire pendant des temps n^^ n,, n,. Désignons enfin par B fintérét à partager. Nous supposerons que les nombres Al, Aj, A,, n^, N„ n^ soient entiers; on réalisera cette condition en subdivisant s'il le faut funité de monnaie et celle de temps. Pour fixer le langage nous supposerons que la première soit le franc, la seconde le jour. Nous admettrons que chaque franc, pendant un jour, produit la même parcelle de bénéfice.

Désignons cette parcelle de bénéfice par b ; A^ francs engagés pendant un jour produiraient une part de bénéfice égale àixAj, la même somme engagée pendant 7?, jours produirait une part de bénéfice égale à 6 X Aj X n, = X^n^b ; de même, Aj, A3 francs placés pendant «2, n, jours produiraient des parts de bénéfice égales à X^n^b, A3W36; on voit que les parts des associés sont proportionnelles à AjWj, AjWj, Agfij-, c'est ce qu'il fallait établir. Ce résultat est indépendant des unités choisies, soit pour la monnaie, soit pour le temps, car la modification de ces unités ne fait que multiplier les nombres A,n,, A^Wj, A37Î3 par un même nombre, c'est-à-dire ne fait que remplacer ces nombres par des nombres proportionnels. Les parts des associés seront respectivement