BA, H
A^îî, -f A^n, + A3W3
BA,y?,
A,nj + A,n, + A3n3'
BA3 yig
Aittj + Aj?i, + A3IÎ3*
Il pourrait se faire qu'un associé engageât à des époques successives plusieurs capitaux. On le remplacerait par autant d'associés fictifs qu'il a engagé de capitaux, et on lui attribuerait comme part la somme des parts qui reviendraient à chacun des associés fictifs.
393. Mélanges et alliages; valeur moyenne; titre moyen, — On a des volumes de vins, Aj, Aj, ..., A^,, de qualités différentes; les prix de l'unité de volume sont respectivement «j, n„ ..., 71^. On les mélange ensemble; quel sera le prix de l'unité de volume du mélange?
362 LEÇONS D^ARITHMÉTIQUB-
Divers morceaux d'alliages contenant le même métal précieux ont des poids représentés par les nombres Aj, A,, ..., A^ et des titres représentés par les nombres n^, n,, ..., n^,. On fond tous ces morceaux en un seul alliage ; quel sera son titre ?
Les deux problèmes sont au fond identiques.
1** Rappelons que le prix d'un certain volume de vin s'obtient en multipliant le nombre qui exprime le volume de ee vin (n« 357) par le nombre qui exprime le prix de Tunité de volume. Inversement, le prix de l'unité de volume, pour un vin dont un volume donné coûte un prix donné, s'obtient en divisant le second nombre, celui qui exprime le prix, par le premier, celui qui exprime le volume.
Les prix des volumes A,, A,, ..., A^ seront donc respectivement AjWj, AjWj, ..., A^,w^/, le prix de tout le vin mélangé sera donc A,n| + Ajtîj + ••• + \";i î comme le volume du mélange est mesuré par le nombre A, + A^ + '-' + ^/i» ^^ P^*'^ ^® Tunité de volume sera donné par le nombre
Aj -f- Aj-)- ... A
c'est, si l'on veut, le prix moyen du vin. On pourrait constater, comme au h^ 387, que N est compris entre le plus petit et le plus grand des nombres r?j,fîj, ...,n^. Le prix moyen ne changerait pas si l'on remplaçait les nombres A,, A,, ..., A^, par des nombres proportionnels. Le lecteur n'aura aucune peine à établir la même règle, en passant par les intermédiaires de la méthode de réduction à l'unité; il supposera pour cela que les nombres A,,Aj, ...,A^ soient entiers, et représentent, par exemple, des litres.
2** De même, le poids d'un métal précieux, de /fn, contenu dans un alliage s'obtient en multipliant le titre de cet alliage par le nombre qui mesure le poids du morceau d'alliage. Le poids de fîn contenu dans les morceaux dont les poids sont respectivement mesurés par les nombres Aj, A,, ..., A^ seront respectivement A,nj, AjWj, ..., A^,n^,. Le poids de fin contenu dans l'alliage final sera mesuré par le nombre A,w, -f- AjUj-f- ... + ^p%\ 1^ poids du morceau de cet alliage sera Aj + A^-j- ... -j- A^ ; son titre sera donc
'est, si l'on veut, le titre moyen. Ici encore» le titre moyen ne
change pas si l'on remplace les nombres Aj, A,, ..., \, P^i* <^6s nombres qui leur soient proportionnels.
394. Dans le cas où Ton ne mélange que deux espèces de liquides, où Ton ne fond ensemble que deux morceaux d'alliages différents, le prix par unité de volume du mélange, ou le titre de Talliage résultant, est donné par la formule
ou
(A| + A,)N = A,ii, +Ajn„"
en désignant toujours par Aj, A, les nombres qui mesurent le volume des liquides que Ton mélange, ou le poids des morceaux d'alliages que Ton fond ensemble, et par n^, n^ les prix par unité de volume de ces liquides, ou les titres de ces alliages. N est le prix par unité de volume, ou le titre, du mélange, ou de Talliage résultant. Cette formule conduit à quelques conclusions intéressantes, qui seront utilisées plus tard.
Si Ton a w, =^ n^, il est clair que Ton a aussi ^ = n^= n^, et ce résultat était évident a prioH,
Si Ton a Wj < w^, on a (n*» 212),
D'ailleurs, l'égalité
AjN + AjN = Aj», + Ajtt, peut s'écrire
A,N — A,«i = A^n, — AjN
ou, successivement,
N — w^Aa
Ainsi, les différences entre le prix, par unité de volume, du mélange et le prix, par unité de volume, des liquides qui constituent le mélange sont inversement proportionnelles aux volumes de ces mélanges, ou bien les différences entre le titre de l'alliage résultant et le titre de chacun des alliages composants sont inversement proportionnelles aux poids des alliages composants.
364 LEÇONS D'ARlTHMÉTiQLE.
395. L'égalité (N-r-n,)Aj == (n^ — N)A„ que qous avons déduite de la formule qui donne N, peut recevoir une interprétation concrète, qui permet de rétablir a priori. Plaçons-nous dans le cas des mélanges ; supposons que les nombres A,, A^ soient entiers, que Tunité de volume soit le litre et, pour rendre Tinterprélation plus claire» imaginons que le mélange soit l'ait par un marchand de vin qui a acheté A, litres de vin à w, fr., A^ litres de vin à «j fr. et qui veut vendre le mélange au prix coûtant. Continuons de désigner par N le prix coûtant d'un litre du mélange : si le marchand vend tout le mélange à N fr. le litre, il gagnera par litre de la première qualité une somme égale à N — n^, soit, en tout, (N — «Jx A,, et il perdra par litre de la seconde qualité une somme égale à w^ — N, soit, en tout, (n^ — N) X Aj ; s'il veut que sa perle et son bénéûce se compensent, il faut donc que Ton ait
Cette remarque donne l'explication des règles dites de mélange ou d alliage.
Dans ces problèmes, qui concernent le mélange de deux espèces de liquides, ou le titre de l'alliage résultant de la fonte de deux alliages, on se donne habituellement le prix du mélange par unité de volume, ou le titre de l'alliage résultant; on connaît d'ailleurs le prix par unité de volume, ou le titre des éléments composants. On peut se donner la quantité (volume ou poids) du mélange ou de l'alliage résultant, et chercher alors les quantités des éléments composants ; on pourra aussi donner l'une de ces dernières quantités et chercher l'autre, ainsi que le volume du mélange ou le poids de l'alliage résultant.
En d'autres termes, en conservant les notations du numéro précédent, on connaît les nombres «„ w,, N et le nombre Ai + Aj = B et l'on veut avoir A, et A^; ou bien encore on connaît Wj, Wj, N et l'un des nombres Aj, A^, et on veut avoir l'autre et la somme des deux.
Le premier problème revient à partager le nombre B en parties inversement proportionnelles à N — Wj, Wj — N, ou, ce qui revient au même, en parties directement proportionnelles à n, — N, N — «,; ces parties seront :
(n,-N) + (N-«,)~ «3-n, ' B(N — f>^) B(N — wQ
Le second problème revient à calculer un terme d^une proportion dont on conàaft trois termes.
Exemples. — 4* On a du vin à CSO le lilre, du vin à (y^lb le litre : quelle quantité devra-l-on prendre de chacun pour avoir 200 litres de vin à 0^,60 le litre?
Prenons le centime pour unité de monnaie. On devra partager 200 en parties inversement proportionnelles aux deux nombres 60-^50 = 10 et 75 50 =15^ ou en parties directement proportionnelles aux nombres 15 et iO ; ces parties seront :
2a zj
ainsi on devra prendre 120 litres de vin à 0^,50 le litre et 80 litres de vin à 0^,75.
2* On a 1000 grammes d'argent pur et un lingot d*argent au titre de 0,835. Quel poids devra-t-on fondre de ce lingot avec les 1000 grammes d'argent pur, pour avoir un alliage au titre de 0,900?
Le titre de Targent pur doit être regardé comme égala i ; les différences des titres sont respectivement 0,900 — 0,835 = 0,065 et 1 —0,900 = 0,100; les poids d*alliages employés doivent être inversement proportionnels à ces nombres, ou aux nombres 65, 100; on doit donc avoir, en désignant par x le nombre qui mesure -le poids du lingot d'argent à 0,835 qu'il faut prendre,
X i00 lOOÔ " 65 *
d'où
^"- 65 "" ~nr" ~" ^^'*^»^- •
En écrivant la dernière égalité , on entend simplement que si Ton
20000 convertit la fraction ^ en fraction décimale, les premiers chiffres que
Ton trouve sont 1538,5... .
H faut donc prendre environ 1538",5 du lingot à 0,835 et Ton aura un lingot à 0,900 pesant 2538<^,5.
396. Dans les problèmes de cette sorte on dispose Souvent les calculs comme il suit : sur une ligne horizontale on place (en supposant qu'il s'agisse d'alliages] les nombres qui représentent les titres ni, n^ des alliages donnés; puis entre ces deux nombres, un peu au-dessous, le titre N de l'alliage que Ton veut obtenir; sur une seconde ligne horizontale, les différences N — rij, n^ — N, de façon que chacune soit sur le prolongement de la ligne oblique qui contient les deux nombres dont elle est la différence; c'est ce qu*on appelle faire les différences en croix : les poids des deux alliages que Ton emploie doivent être directement proportionnels à ces
difTérences, en faisant correspondre chacune à Talliage dont le tilre est au-dessus d'elle. La disposition décrite est figurée ci-dessous :
N iij — N N — nj
Les poids 7t2 — ^? ^ — ^i d'alliages aux titres rii et n^ fournissent un alliage au titre N; il en sera de même de poids proportionnels. De même pour les mélanges.
Dans les deux exemples traités, on aurait les dispositions qui suivent :
0,yO 0,75
Dans le premier cas on a à partager 200 proportionnellement à 0,15 et 0,10, ce qui donne 120 et 80; dans le second, on a déterminer x par la proportion :
§ 5. — Rentes perpétaelles.
397. C'est rim;>d^qui fournit èi TËtat les sommes nécessaires pour doternormalement les différents services; des circonstances peuvent se produire où il a besoin de capitaux considérables que Timpôt ne peut lui fournir immédiatement ; alors, il emprunte. Il emprunte, eo fait, sous différentes formes ; nous ne nous occuperons ici que de Tune de ces formes, rémission de Rentes perpétuelles.
En 1872, par exemple, TËtat français a fait un emprunt de 3 milliards de francs. Cet emprunt a été fait en rentes 3*/o au cours de 84',50. Cela veut dire que, en échange de 84',50 donnés le jour de rémission, TËtat garantissait à celui qui lui apportait cette somme une rente de 3 francs par an.
Il garantissait de même à tous ceux dont il recevait les capitaux une rente proportionnelle à la somme versée, dans la proportion de 3 francs pour 84^50, de façon toutefois que la rente fût égale à un nombre entier de francs, au moins égal à 3.
La garantie de TÉtat est représentée par un titre de rente. Un titre de rente est un morceau de papier sur lequel est inscrit le montant de la rente annuelle que le possesseur de ce titre peut toucher dans les caisses de TËtat. Il porte l'indication du type de la
rente, 3 Vo dans Texemple choisi, et diverses autres indications, en particulier un numéro d'ordre qui permet de le distinguer des autres titres analogues. La valeur nominale d'un titre de rente de 3 francs, du type 3'/o, est 100 francs, c'est-à-dire que TÉtat se réserve le droit de cesser le paiement des 3 francs de rente, sous la condition de rembourser 100 francs au possesseur du titre de 3 francs de rente.
La valeur nominale d'un litre de rente de a francs, du même type,
A « X 100 sera de même — ^
398. Les titres de rente sont d'ailleurs de diverses espèces : ils sont nominatifs, au porteur, ou mixtes. Dans le premier cas, ils portent le nom du possesseur, qui touche sa rente dans les caisses de TËtat en montrant son titre; les titres au porteur sont regardés comme appartenant à celui qui les détient; ils contiennent des coupons, dont chacun porte une date ; à partir de cette date, le porteur du titre peut détacher le coupon et toucher le prix inscrit sur le coupon. Les titres mixtes portent le nom du possesseur et contiennent des coupons pareils à ceux des titres au porteur. 11 y a, dans les titres au porteur et dans les titres mixtes, quatre coupons par an, qui correspondent aux quatre trimestres de l'année. Les titres nominatifs ou mixtes offrent au possesseur une grande sécurité : les titres au porteur sont plus facilement échangeables.
11 y a actuellement (1894) deux sortes de rentes perpétuelles, les renies 3Vo, que Ton vient de prendre pour exemple, et les renies 3|V«»<Iui proviennent des rentes 5"/., converties en 1883 en rentes ij^/o, puis, au commencement de 1894, en rentes 3^V«i par une opération dont je parlerai bientôt : les coupons des rentes 3 V» se touchent le 1" janvier, le l"*" avril, le 1*"* juillet, le 1" octobre; les coupons de rente 3;7o se touchent le 16 février, le 16 mai, le 16 août, le 16 novembre.
399. Les titres de rente sont l'objet d'une spéculation continuelle. La Bou7*se est le marché où ils se vendent ; leur prix varie chaque jour, selon l'offre et la demande, c'est-à-dire qu'il faut donner, suivant les jours, des sommes différentes pour avoir 3 francs de rente. Ces prix sont publiés dans la Cote officielle ffe la Bourse, reproduite par la plupart des journaux. Ces indications de prix sont suivies de la date à laquelle a été payé le dernier coupon : ainsi, la mention « jouissance 1" juillet » veut dire que le coupon du 1" juillet de l'année courante a été détaché.
Par exemple, le 9 février 1894, le 3V<, était coté 98',1S, c'est-à-
dire qu'il fallait, en dehars de quelques frais accessoires dont je parlerai plus tard, payer 98',18 pour avoir 3 francs de rente. Le taux de Tintérôt de ce placement était donc (^) :
pour un franc.
Si l'on désigne par a le nombre 3 ou 3,5 suivant qu'il s'agit du
type 3Vo ou du type 3,57», par c le cours de la rente du type
considéré, par A le capital avec lequel on veut acheter de la rente,
par a la rente annuelle que produira ce capital, on a en général
Axa
et cette formule pourra faire connaître l'un des quatre nombres a, a, A, c quand on connaît les trois autres. Il convient toutefois d'observer que a doit être un nombre entier; on verra plus tard comment on doit tenir compte de cette condition, ainsi que des frais accessoires.
400. Avant 1894, les deux types de rente qui existaient étaient le 3 V. et le 4J^V.; par exemple, le 20 octobre 1893, le 3V# valait 98^30, c'est-à-dire qu'il fallait payer 98',30 pour se procurer 3 francs de rente ; de même, le 4f V* valait 105 francs : par conséquent, le taux, l'intérêt d'un franc, était pour la première valeur
i. Pour calculer le quotient d'une division par un nombre aussi voisin de iOO qu^ost 98,15, il est commode de se servir de règalité (£z. 188)
I J ji j^ «»* «» + '
100 — « ~" 100 100» "*" 100» ■*' 100'»+* iuo»+*x(*oo — «)'
les termes successifs du second membre se calculent très aisément: si l'on prend, par ezemplei pour valeur approchée du premier membre
î on voit que l'crrenr sera
100 "^ lOOt + 100»'
ioo»x(ioo — «)
et si « est moindre que 3, elle sera moindre que
10« X 98 ÎÔ' '
dans bien des cas U suffira de prendre --- -^ r--r- comme valeur approchée.
et pour la seconde
Cette différence entre les deux taux semble considérable; elle apparaîtra peut-être mieux encore en remarquant que, pour la première valeur, 1 franc de rente annuelle valait
et pour la seconde
c'est-à-dire qu'un franc de rente coûtait environ 9 francs de plus avec la première valeur qu'avec la seconde. On peut encore présenter les choses autrement. Si les deux valeurs avaient correspondu au même taux d'intérêt, en prenant toujours 98,30 pour le coûtas du 3 V«, le 4 j'/o aurait valu
98,30 X 4,8 ^ gg 3 x 1 ,5 = 147,45.
La raison de cet écart, qui ne peut manquer de frapper le lecteur, est dans le droit qu'avait l'État français de rembourser à 100 francs le4 jV«, c'est-à-dire de ne plus payer la rente, en remboursant le capital nominal. Devant cette menace, le cours du 4jV- ne pouvait beaucoup s'élever au-dessus de cette valeur nominale, que le rentier pouvait être mis en demeure de recevoir du jour au lendemain.
En réalité, le remboursement pur et simple n'est guère praticable. La totalité des rentes qui provenaient du 4y% s'élevait à 305540276 francs. La valeur correspondante était donc
^»^^^?f»QQ = 6789783911
Pour se procurer une pareille somme, il faudrait un nouvel emprunt, plus considérable qu'aucun de ceux qui aient été effectués en une seule fois. La combinaison la plus simple consiste à offrir aux possesseurs de titres l'alternative entre les deux solutions suivantes, en s'arrangeant de façon que la seconde soit plus avantageuse pour eux que la première, en sorte qu'on puisse compter qu ils s'arrêteront à cette seconde solution : ou bien accepter le
tannbht. 24
remboursement pur et simple, ou bien recevoir à la place de leurs titres d'autres titres rapportant moins.
401. C'est à ce procédé qu'on s'est arrêté en 1883 pour convertir le 57o en 4}Vo, puis en 1894 pour convertir le 4} en 3 j. Bornons-nous, pour en expliquer le principe, à cette dernière opération. Pour simplifier les explications, nous laisserons de côté la petite difHculté résultant de ce que la rente inscrite sur chaque titre est toujours un nombre entier de francs, nous raisonnerons comme s'il y avait des titres pour une quotité de rente quelconque.
Les possesseurs de titres de rente 4 jV» ont eu le choix entre ces deux solutions : ou recevoir 100 francs pour un titre de 4',50, ou ne plus recevoir désormais que 3^50 à la place de 4',50. Dans la seconde solution, la diminution de leur revenu, diminution qui s'élevait à 1 franc pour 4',50, était considérable ; cette seconde solution était cependant plus avantageuse pour eux. En effet, s'ils acceptaient les 100 francs, pour en tirer un nouveau revenu, il leur fallait placer ces 100 francs, acheter d'autres valeurs avec cette somme ; au prix où étaient les autres valeurs, ou du moins celles qui présentaient autant de sécurité que les rentes sur l'État, ils ne pouvaient tirer de ces 100 francs qu'un revenu inférieur à 3^50.
Au moment où la conversion a été annoncée (janvier 1894), l'autre type de rentes sur l'État, le 37*, était au cours de 98 francs. Le taux de l'intérêt, pour cette valeur, était donc, pour 1 franc,
c'est-à-dire qu'avec les 100 francs qu'on lui aurait remboursés, le rentier ne pouvait se procurer que 3',06 de rente, au lieu de 3^S0 qu'on lui offrait : si on lui avait remboursé, par exemple, la valeur nominale de 4500 francs de rente 4jVo, c'est-à-dire 100000 francs, il ne pouvait se procurer, avec ces 100000 francs, qu'un revenu de 3062^49, au lieu du revenu de 3500 francs qu'il conservait en acceptant la conversion.
Plaçons-nous à un autre point de vue ; une fois créé et mis en circulation, le nouveau type de rente devait acquérir et a acquis un certain prix : supposons, pour fixer les idées, que le 3 V« soit resté à 98 francs, cours dont il s'est très peu écarté aux environs de la conversion : à ce cours, une rente de 3',50 correspondait à un capital
de^
le cours du 3^V», en supposant la parité entre les deux valeurs, c'est-à-dire en supposant qu'une même somme placée, soit en 3V«, soit en 3 5^ •/•>, rapportât la même rente, aurait donc dû être 114^33. En fait, le 3^7» n*a pas atteint ce cours, à cause de la menace d une nouvelle conversion que l'État se réserve le droit de faire à partir de 1902, mais il devait évidemment dépasser le cours de 100 francs ; il Ta dépassé en fait : peu après sa création, le cours du 3JV<» a oscillé aux environs de 105 francs et le 18 août 1894, il atteignait 108^22. Dès lors, le rentier, au moment de la conversion, avait tout intérêt, au lieu de se faire rembourser, à accepter le nouveau titre, quitte à le revendre. Au moment de la conversion, sur les trois cents millions de rente, on a demandé le remboursement pour environ 40000 francs de rente; c'est-à-dire que sur les six milliards de capital nominal, TËtat a dû rembourser moins d'un million de francs.
Le bénéfice de l'État à la conversion est évident. Lorsqu'il payait 4',5, il n'a plus à payer que 3', 5 : il a donc à payer, par année, 1 franc de moins pour une valeur nominale de 100 francs ; il a donc eu, à partir de la conversion, à payer à ses créanciers environ 67 millions de moins par an qu'auparavant. Ce bénéfice aurait été encore plus coDsidérable si la nouvelle valeur avait rapporté moins ; mais en dehors de l'intérêt des rentiers, dont l'État est obligé de tenir compte, on doit observer qu'une opération aussi considérable ae va pas sans dangers : elle doit être faite de manière que le rentier préfère sûrement le nouveau titre au remboursement. Or nous avons supposé, dans les raisonnements précédents, que le 3 7» gardait toujours le même cours ; il suffirait d'une baisse un peu considérable sur cette valeur, pour tout troubler. Il est aisé de calculer une valeur du 3V» au-dessous de laquelle la conversion n'aurait pas réussi. Elle serait déterminée par l'égalité
qui exprime que le cours du 3 7o étant a?, on peut, avec un capital de 100 francs acheter 3',50 de rente ; on en tire x = 85,71 ... Si le 3 "/o était descendu à cette valeur, à l'époque de la conversion, les rentiers n'auraient rien perdu à exiger le remboursement et à acheter du 3V. avec leur capital; si le 3 V« était descendu au-dessous de ce cours, ils auraient eu bénéfice à le faire ; ils auraient donc exigé le remboursement.
402. On a vu au n<> 399 que le capital A, la rente a de ce capital, le
cours c de la rente et le nombre a égal à 3 ou à 3,50, suivant qu'il s'agit d'un type de rente ou d*un autre, étaient liés par la relation
Aa
La solution des problèmes relatifs à la négociation (vente ou achat des titres de rente dépendrait uniquement de cette relation si, d une part, le nombre a ne devait pas être entier ; si, d'autre part, k négociateur n'avait pas à acquitter quelques frais accessoires dont il me reste à parler.
La négociation des rentes se fait par le ministère des agents de change. L'agent de change qui fait une opération pour le compte
d'un client prélève, comme commission, un droit de courtage de -" »
du capital brut qui forme le montant de l'opération; TËtat prélève
de même un droit der^rVo*, en outre le bordereau d'achat ou de
vente, c'est-à-dire la facture qui constate cette opération, doit porter un timbre de 0^60 si le capital négocié ne dépasse pas 10000 francs, et un timbre de 1^80 s'il dépasse 10000: ce bordereau, comme toute facture, doit d'ailleurs porter un timbre de 0',10. Lorsque l'opération est double, qu'elle consiste en une vente suivie à la même heure d'un achat, ou inversement, les frais sont les mêmes que pour une opération simple.
Exemples. — Quel serait le prix d achat de 572 francs de rente 3 ' ., y compris les frais accessoires, au taux de 98 fr. 15 (*)? Si l'on ne tient pas compte des frais accessoires, le prix d'achat serait
572X98,15 ,«-,.on.
La somme à débourser se composera des éléments qui suivent :
Prix d'achat 18713,93
Courtage - 7« 23,39
Impôt -i V. 18,71
Timbres 1,90
Total 18757,93.
t. On a dit plae haut qu'on ne pouvait acheter qu'un nombre entier de francs do rente : eo fait, il n'y a pas de titres de rente de moins de 3 francs ; mais l'existence de titres de 4, S, 6, 7, ... francs, que Ton peut réunir ensemble, permet de raisonner comme s'il y avait dos titres de rente do 1 franc, pourvu qu'on ne prétende point acheter i ou 2 francs de rente.
Combien, au même cours, pourrait-on acheter de rente 3 ""/o avec un capital de 10000 francs?
f.e capital doit contenir le prix d'achat brut, les frais accessoires ; en ne tenant pas compte de ces derniers, on aurait pour la rente annuelle de 10000 francs
On divise 30000 par 98,15 en s'arrôlant aux unitéssimpies etl'on calcule le reste : on trouve ainsi
30000 = 98,15 X 305 +64,25, d'où
La dernière égalité n'est qu'approchée : il faut entendre que les deux membres diffèrent de moins de 0,01.
On voit qu'on ne pourra acheter plus de 305 francs de rente; si on ne les
payait que le prix brut, on n'aurait à débourser que —-^ — X 305, c*esl-à-
dire, à un centime près, 10000 — 21,41 = 9978,59, et il resterait ainsi 21,41 ; mais sur cette somme il faudrait payer, en dehors du timbre, le huitième et le dixième de 99,7859, c'est-à-dire 12,46 + 9,97; ce qui donne une somme supérieure à 21,41 ; si donc on ne veut rien ajouter, on devra se contenter d'acheter 304 francs de rente, au prix de 9945 fr. 87 auquel il faudra ajouter l'impôt, le courtage et le timbre, soit 23,08; le prix de revient sera donc 9968,95.
Un autre procédé (M de calcul consiste à réunir en quelque sorte l'impôt et le courtage au cours. Soit c Je cours indiqué par la cote de la Bourse; 3 francs de rente coûtent
c' =C+ HKA +
en sorte qu'on pourrait ne pas tenir compte de l'impôt et du courtage, si
Ton remplaçait c par &. Du capital que l'on veut placer, on retranchera le
c' prix du timbre; on divisera le résultat par —, en s'arrètant aux unités
simples, et le nombre entier ainsi obtenu sera le nombre de francs de rente
que l'on peut acheter. En d'autres termes, ce nombre est la partie entière
3A' de la fraction — j- où A' est le capital diminué des frais de timbre.
1. V. Brasilier, Traité tT Arithmétique commerciale^ 1<^ éd., p. 415.
Dans rexemple choisi on a A'= 10000 — 0,70; c' = 98,3708375 ; en calculant comme on l'a indiqué dans la note du n* 299, on trouve rapidement
•^ = 0,0304966..., puis
en s'arrétant aux millièmes dans Tévaluation des deux parties de la différence, on trouve 304,966 — 0,02i = 304,945, avec une erreur moindre que
jTTj- On voit donc qu'on pourra acheter 304 francs de rente. Pour arriver
à ce résultat, il n*était pas nécessaire de pousser les calculs si loin; on la
fait pour arriver à la conclusion que voici : Le prix d*achat de 304 francs
c' de rente est, en tenant compte de l'impôt et du courtage, 304 X ^; il res-
tera donc à Tacheteur, après avoir tout soldé,
A'-304xf=|x(-^-30*); or on a, à 0,001 près,
en effectuant le produit, on voit qu'il pourra être affecté d'une erreur cer-
tainement moindre que r—r; et l'on trouve qu'il est égal à 30,986...; en
forçant le chiffre des centièmes, on trouve 31, avec une erreur manifestement moindre que 0,10; il restera donc environ 31 francs à l'acheteur.
D'ordinaire, on se borne à calculer approximativement le courtage et l'impôt sur la somme à placer; on obtient ainsi un résultat trop fort, auquel on ajoute le timbre ; on retranche de la somme à placer, on multiplie par 3 et l'on divise par le cours; on obtient ainsi le nombre de francs de rente que l'on cherche, ou plutôt une limite inférieure de ce nombre.
Dans l'exemple précédent l'impôt et le courtage calculés sur 10000 fr.
donneraient une somme égale à 10000 X 0,00225 = 22,50; en y ajoutant 0,70
de timbre, on trouve 23,20, résultat qui diffère à peine de celui qu'on a
trouvé précédemment, et l'on aura ensuite à diviser 10000 — 23,20 = 9976,80
98 15 par — ^ — , en se bornant à la partie entière, ce qui donnera encore 304 fr.
Il est manifeste que ce procédé suffira à moins qu'il ne s'agisse de très grosses sommes.
On a 600 francs de rente 37»; on les vend pour acheter immédiatemeol du 3^7»; le 3V, est à 98,i:); le 3 i, à 104,90. Combien de rente pourra-t-on avoir?
Le prix brut de 600 francs de rente 3 Vo est
d'où il faut déduire Timpôt, le courtage et le timbre» soit 56,06; la diflférence est 19573,94; pour la seconde opération, si elle suit immédiatement la première, on n'a pas de frais accessoires à payer et il reste à diviser
19373,94 par !. , en ne gardant que la partie entière. On trouve ainsi
633 francs de rente 3 4- dont le prix est 19571,34; l'opération sera évidemment avantageuse pour le rentier.
403. 11 existe un autre type de rentes sur TËtat : le 3 •/o amortis* sable, il diffère de la rente perpétuelle en ce que, chaque année, un certain nombre de titres sont remboursés d'après leur valeur nominale. En outre, les titres correspondent tous à 15 francs de rente ou à des multiples de 15 francs. Pour le reste, les calculs d'échange relatifs au 3 •/« sont les mêmes pour le 3 "/• amortissable que pour les rentes perpétuelles. Ainsi, le 15 janvier 1894, le 3V« amortissable était coté 98',45 ; cela voulait dire qu'un titre fictif de 3 francs de rente valait 98^45, indépendamment des frais accessoires. Le môme jour, le 3Ve ordinaire valait 98^20 : lamortissable était alors plus cher parce que la chance du remboursement à 100 francs était avantageuse, tant que le cours du 3V« amortissable était inférieur à 100 francs. Le cours du 3 V» ordinaire ayant depuis dépassé 100 francs, il en a été de même du 3V« amortissable, mais cette valeur a naturellement été cotée au-dessous du 3 V» ordinaire, parce que, alors, la chance de remboursement est devenue désavantageuse. Ainsi, le 18 août 1894, le 3V- ordinaire valait 103',20 et le 3 Vo amortissable 10l',70.
404. Enfîn les rentes sur TËtat ne sont pas les seules qui se négocient à la Bourse et qui donnent lieu à des calculs analogues.
Les compagnies et sociétés fmancières se constituent au moyen d'un capital social fourni par les membres desdites compagnies ou sociétés, membres qui prennent le nom d'actionnaires. Ces membres reçoivent des actions qui représentent leur part dans le capital social. Chaque action a une valeur nominale : elle est libérée si le capital égal à la valeur nominale a été versé ; elle est libérée de la moitié, du quart, etc., si la moitié, le quart, etc., de la valeur nominale a été versé. Celui qui la possède, l'actionnaire, a droit à un dividende Bunuel, variable suivant les bénéfices réalisés.
Les actions des grandes sociétés financières et industrielles se
négocient à la Bourse comme les fonds d'État : elles sont cotées suivant les bénéfices présumés. La cote de la Bourse fait d'ailleurs mention de la valeur nominale, de la somme effectivement versée sur cette valeur nominale et du montant du dernier dividende.
Les obligations sont des titres qui représentent les emprunts contractés par les sociétés, elles sont ainsi l'analogue des fonds d'État et plus particulièrement de la rente amortissable. L'obligation donne droit à un revenu fixe et à un prix de remboursement déterminé: par exemple, les obligations de chemins de fer du type 500 francs 3 "A sont des titres remboursables à 500 francs, par voie de tirage au sort, et rapportant, jusqu'à l'époque du remboursement, un intérêt annuel de 15 francs, payable par semestre. Chaque obligation porte un numéro d'ordre ; chaque année, un certain nombre d'obligations déterminé par un tableau d'amortissement fixé au moment de l'émission doivent être remboursées. Certaines obligations comportent en outre des lots, c'est-à-dire que, chaque année, un certain nombre, parmi celles qui doivent être remboursées, le sont à un prix beaucoup plus élevé que leur valeur nominale. Le nombre et la quotité des lots, pour chaque année, sont fixés au moment de l'émission. Les obligations se négocient aussi à la Bourse.
Les titres autres que les titres d'État supportent divers impôts, qui sont actuellement (février 1894) les suivants :
Une taxe de 3V« sur le revenu, frappant les coupons d'intérêt, les dividendes ;
Une taxe de 0,20 V« sur le capital, calculée chaque année sur le cours moyen de l'année précédente ;
Une taxe de 3V« sur le prix de remboursement quand il s'agit d'un titre remboursé ; il va sans dire que cette taxe frappe les hts^ s'il y a lieu.
Exercices (*).
267. Le gouvernement français a contracté en 1871 et 1872 des emprunts s'élevant au capital nominal de 6800000000 (nombre rond). Quel a été le total des intérêts payés pendant onze ans ?
268. Un négociant a déposé chez son banquier une somme de 3640 francs qui doit porter intérêt d'après le taux de 2yVo par an. Quels sont les intérêts après
7 mois -?
269. Un négociant achète des marchandises pour la somme de 573896^25. Il doit
1. Les exercices de ce chapitre ont été, sauf les deux derniers, extraits du Traité dfÂrilhmétigiie commerciale do M. Brasilior.
payer en outre une commisssion de - •/• î les frais de transport augmentent ces
premiers déboursés de S*/.- H se propose de vendre les marchandises avec un l)énéflce net de 15 •/.. Quel doit être le prix de vente ?
270. Une minoterie reçoit une commande de 20000 quintaux de farine : combien coûtera la provision de froment nécessaire pour l'exécution de cette commande, si 312 hectolitres de froment donnent 157 quintaux de farine et si le froment coûte 28 francs les 100 kilogrammes, Thectolitre pesant 75 kilogrammes?
271. Au bout de combien de jours un capital placé à 4V» a-t-il rapporté en intérêts le soixantième de sa valeur ?
272. Un capital placé à intérêts simples depuis 48 jours a rapporté — -; ^^ sa
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propre valeur. Quel est le taux?
273. Un capitaliste place sa fortune à 4*/*; deux ans après, il retire - du capital
et laisse le reste porter intérêt pendant 7 mois; après ce temps il retire encore -
du capital qui restait alors placé et laisse le capital ainsi diminué pendant 13 mois.
Le total des intérêts simples s'est élevé depuis l'origine du placement ù 24375 francs.
Quel était le capital primitif?
274. Déterminer l'échéance moyenne de 12 effets de commerce dont les valeurs nominales sont 1000, 2000, 3000, ..., 12000 et dont les échéances se succèdent de 15 jours en 15 jours, le premier étant payable le 3 février 1894. Calculer la valeur escomptée des 12 effets à la date du 19 janvier 1894, d'après le taux de 6 */• par an.
275. Quatre né^^ociants se sont associés pour l'exploitation d'un brevet. Le premier, qui est propriétaire du brevet, en a cédé la jouissance pour 5 ans, à la condition d'avoir 30*/« dans les bénéfices. Le deuxième a mis 36000 francs et a, de plus, rempli les fonctions de gérant, moyennant une part de 4 */, dans les bénéfices ; le troisième a mis 30000 francs; le quatrième a versé à la société 15000 francs au commencement de chaque année. A la fin de la cinquième année, le capital net à l'actif de la société est 328000 francs. On en demande la répartition entre les 4 associés.
276. On veut frapper à la Monnaie des pièces d'or de 20 fr. Quels poids faut-il prendre sur deux lingots aux litres de 0,916 et 0,875 pour faire 1860 pièces?
277. Un épicier a trois sortes de cafés, dont les prix sont de 5',25, 4',50, 3',70 le kilogramme. Il mélange 20 kilogrammes de la première qualité avec 13 kilogrammes de la seconde. Quel poids doit-il prendre de la troisième qualité pour former un mélange au prix moyen de 4 fr. le kilogramme?
278. On sait que l'on peut faire la longueur du mètre en plaçant en ligne, les unes à la suite des autres, 40 pièces d'or de 100 fr. et de 10 fr., dont les diamètres sont respectivement de 35 millimètres et de 19 millimètres. Combien faut-il prendre de pièces de chaque espèce ?
279. Combien faut-il mettre d'eau dans 224 litres de vin à 1^20 pour abaisser le prix du litre à O',70?
280. Quel poids de cuivre faut-il retirer d'un lingot d'argent, pesant 12 kilogrammes, au titre de 0,900, pour élever le titre à 0,925?
281. Le 13 décembre 1893, avant que le coupon de janvier ne soit détaché, un capitaliste a acheté de la rente 3 •/• au cours de 98^75 autant qu'il lui a été possible avec une somme de 100000 fr., en acquittant les divers droits. Chaque jour d'échéance il place chez un banquier la valeur des coupons : le banquier lui paie un intérêt de 2 •/•• Quelle somme le banquier lui doit-il le 1" juillet 1895? A quel taux le capitaliste aurait-il dû placer la somme qu'il a déboursée pour recevoir, pendant le même temps, le même intérêt?
282. Annuités, — On place à intérêts composés, au taux r, une somme «, puis un an après, la même somme a, puis un an après, encore la même somme a, etc... Quelle
378 LEÇONS D'ARlTHiMÉTlQUE.
sera la valeur acquise C, par l'ensemble fie toutes ces sommes, le jour du n'*«« versement, n — 1 années après le premier?
Ce jour-là, la dernière somme placée le jour même, vaut a; en ajoutant les valeurs acquises par les autres sommes ; on trouve (Ex. 188) :
On a ainsi constitué au moyen de n annuités égales à a un capital C. Inversement, au lieu de payer C au bout de n -- 1 années, on peut payer aujourd'hui, et
d'année en année, l'annuité a =
(1 4- rf - 1 On doit un capital dont la valeur actuelle est A, on veut s acquitter au moyen de 71 annuités égales, en commençant aujourd'hui même, quelle sera la valeur de chaque annuités?
Rép. a = .
(1 + rf - 1
On trouvera dans V Annuaire du Bureau des toîigitudes des tables qui donnent les
valeurs de et de son mverse.
283. Calculer approximativement la valeur acquise par 1 fr. au bout de 240 ans, de 2400 ans, en supposant ce franc placé à intérêts composés, au taux de 3*/«, et en admettant dans ces limites la légitimité de la formule A = a (1 + '')"•
On trouve par un calcul direct ou dans les tables de VAnntiaire du Bureau des longitudes : (l + 0,03)** = 2,032.... Ainsi au bout de 24 ans, la valeur du capital est plus que doublée; admettons qu'elle soit simplement doublée: au bout de 240 ans la valeur du capital sera multipliée par 2*» = 1024, c'est-à-dire par un nombre plus grand que 1000; admettons qu'elle soit multipliée par 1000 seulement : au bout de 2400 ans, elle serait multipliée par 1000»» = 10".
