ÉGAUTÉ, INÉGALITÉ; VALEURS APPROCHÉES

petit que c et de chercher les valeurs approchées de A à « près, par défaut et par excès.

417. La considération des valeurs approchées par défaut de A à 1; 0,1; 0,01 ; 0,001 ; ... près offre un intérêt particulier. Désignons la suite de ces valeurs, écrites dans la notation décimale, par Oq, a^, a^, a^, ... . Des circonstances toutes pareilles à celles que Ton a signalées au n** 236 se présentent ici. La connaissance d*un terme de cette suite implique la connaissance de tons les termes qui précèdent, lesquels se déduiront du terme que Ton connaît par la suppression d'un ou plusieurs chiffres décimaux, k droite. Si, par exemple, 3,141 est la valeur approchée du nombre irrationnel A à 0,001 près par défaut, la valeur approchée par défaut du nombre A à 0,01 près sera 3,14; on a en effet

et, par suite, a fortiori,

<A< ou <A<

Chacun des nombres a^, aj, a^y a^j ... se déduisant du précédent par Tadjonction d*un chiffre décimal, qui, à la vérité, peut être un zéro, les termes de cette suite ne vont jamais en décroissant; mais il y a plus, ils finissent toujours par croître; en d'autres termes, dans la suite a^, aj, a^, ..., chaque terme est suivi d*un terme plus grand que lui ; en effet, si Ton considère, par exemple, le terme ^4, il y a certainement des nombres rationnels « plus grands que a^ et plus petits que A; il y a d'ailleurs (n* 406) des nombres décimaux compris entre 04 et a ; il y a donc des nombres décimaux plus grands que a^ et plus petits que A; si p est un tel nombre et si son dernier chiffre représente des unités du n'*™« ordre décimal, la valeur approchée de

A à — ^ près est au moins p ; elle est donc plus grande que 04. Les nombres

sont les valeurs approchées de A, par excès, à 1, — > j^» ... , — -, ...

près; on verrait, comme au n* 236, que ces nombres ne croissent jamais et, comme précédemment, qu'ils finissent toujours par décroître.

Si deux nombres irrationnels sont égaux, il est clair que les deux suites qui fournissent leurs valeurs approchées à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; ... près, par défaut, sont identiques. Mais si A et B sont des nombres irrationnels ou non qui ne sont pas égaux, les deux suites ne peuvent être identiques. Supposons en effet B > A ; il y aura des nombres rationnels compris entre A et B ; entre

deux de ces nombres, il y a certainement des nombres décimaux; il y a donc des nombres décimaux compris entre A et B; soit « un tel nombre el

supposons que son dernier chiffre décimal exprime des unités du n*^"^« ordre

décimal; la valeur approchée de A par défaut à — ^ près sera sûrement

moindre que «, la valeur approchée de B, par défaut, au même ordre, sera au moins égale à « ; ainsi, les deux valeurs approchées ne peuvent être égales. Si donc on désigne par ao, ai,a2, ... et par6o,6|, 62, ... les valeurs approchées par défaut de A et de B, à. 1 ; 0,1 ; 0,01 ; ... près, el si Ton a B > A, on aura nécessairement, pour une valeur de n assez grande, &„ > a,; on aura de môme &,» |. 1 > û» 4. 1 , puisque a^^i et 6„^i se déduisent respectivement de a„ et de 6. par l'adjonction d'un chiffre décimal; on aura de même bn^% > <*n + 1» ^^' ^^ sait aussi que Tinégalité 6„ > a,^ entraîne les inégalités 6« 1 ^ On - 1 ♦ ^n - 1 ^ ^n - 1 > ^Ic, puisquo Ics nombrcs 6„ „ a,^ , se déduisent respectivement de &„, a,i parla suppression d'un chiffre décimal.

Réciproquement si Ton a, pour une certaine valeur de l'indice n, b^ > a^, on peut affirmer que le nombre B est plus grand que le nombre A, puisque si A était égal ou supérieur à B, on aurait, quel que fût l'indice n, a„ > 6„ .

Ainsi, la connaissance de la suite des valeurs approchées par défaut -à 1; 0,1; 0,01;... près d'un nombre rationnel ou irrationnel caractérise entièrement ce nombre. Si l'on connaît ces suites pour deux nombres, on pourra, théoriquement du moins, reconnaître quel en est le plus grand, quel en est le plus petit. La restriction qui vient d'être indiquée se rapporte à ce qu'on ne sait pas jusqu'à quel rang il faut aller dans ces suites pour reconnaître le plus grand des deux nombres. Observons encore, à celte occasion, qu'une suite d'un nombre infini de termes, Oq, aj, o^, ..., ne peut être effectivement connue; on ne peut aller jusqu'au bout de cette suite. Tout ce que l'on peut connaître, c'est la loi d'après laquelle se suivent les termes qui la composent.

D'ordinaire on ne sépare pas en quelque sorte les divers termes de Ja suite ao, a^ a^, .., des valeurs approchées par défaut d'un nombre A à 1 ; 0,1 ; 0,01; ... près. On écrit un symbole comme un nombre décimal, auquel on imaginerait une infinité de chiffres décimaux, et de telle sorte que, en conservant seulement la partie entière et les n premières décimales de ce symbole, on obtienne précisément le nombre décimal a„; on ne peut écrire qu'un certain nombre déchiffres décimaux au symbole; on supplée, en faisant suivre ces chiffres décimaux de quelques points, à J*infinité de ceux qui manquent. Par exemple, on a défini plus haut ce qu'il faut entendre par v/3; les valeurs approchées de v^ à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; ... près par défaut ne sont autre chose que ce qu'on a appelé précédemment les racines carrées de 3 à 1; 0,1 ; 0,01 ; ..« près par défaut ; en écrivant

on entend dire seulement que les nombres

sont les valeurs approchées de V^ par défaut à 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001; ...près.

Ce symbole ainsi formé, je rappellerai la représentation décimale du nombre considéré; le connattre, ce n'estpas, bien entendu, autre chose que connaître la loi suivant laquelle se succèdent les chiffres qui le composent. Un pareil symbole, par exemple, est connu pour ce que Ton a appelé une fraction décimale périodique. Observons de suite, à ce propos, que la représentation décimale d'un nombre irrationnel ne peut être une fraction décimale périodique, puisque celle-ci est la représentation décimale de sa fraction génératrice, laquelle est un nombre rationne!, nécessairement plus petit ou plus grand que le nombre irrationnel que Ton considère.

La connaissance des représentations décimales des nombres irrationnels permettra, comme on le verra bientôt, de calculer sur ces nombres avec telle approximation qu'on voudra ; nous verrons en effet comment toute la théorie des calculs approchés, développée dans le chapitre VIII, peut être transportée aux nombres irrationnels ; mais il est nécessaire d'expliquer tout d'abord ce que sont les opérations sur ces nombres.

§ 3. — Opérations.

418. Pour ce qui concerne les défînitions des opérations, j'adopterai les notations suivantes : une grande lettre, A par exemple, servira à désigner un nombre qui pourra être rationnel ou irrationnel ; une petite lettre désignera toujours un nombre rationnel : je représenterai les nombres rationnels plus petits que A par a, a^, as,..., au contraire les nombres rationnels plus grands que A par a', a[, a^y ,,. ,

419. Addition, — La somme de deux nombres rationnels ou irrationnels A et B autres que zéro est un nombre plus grand que tout nombre formé en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus petits que A et B, et plus petit que tout nombre formé en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus grands que A et B.

420. Démontrons d'abord que si un tel nombre existe, il n'en existe qu'un.

Supposons en effet que deux nombres G, D rationnels ou irrationnels soient tels que l'on ait

quels que soient les nombres rationnels a, 6 respectivement plus petits que A, B et les nombres rationnels a', b' reipéctivement plus grands que

A, B. Quelque petit que soit le nombre rationnel «, on peut supposer que la différence a' + fe' — (a + 6) = (a' — a) + (6' — 6) entre les deux nombres qui comprennent G et D soit plus petite que «; il sufïlt pour cela de prendre des nombres a et a', d'une part, b et 6', de Tautre, tels que Ton ait

les nombres G et D, compris entre a+ 6eta'+ 6', sont donc égaux (n* 41n).

42i. Il reste à montrer qu'il existe un nombre qui satisfait à la définition précédente. Gonsidérons un nombre rationnel quelconque; nous le rangerons dans la première catégorie s'il est égal ou inférieur à la somme d<' deux nombres rationnels a, 6 respectivement plus petits que A et B, et dans la seconde catégorie s'il est égal ou supérieur à la somme de deux nombres rationnels a', 6^ respectivement plus grands que A et B.

Il est clair que chaque nombre compris dans la première catégorie est plus petit que chaque nombre compris dans la seconde catégorie. Il est clair aussi que, dans la première catégorie, il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres : si, en effet, on considère un nombre quelconque € de cette catégorie, il est inférieur ou égal à la somme a + 6 de deux nombres rationnels respectivement plus petits que A et B; dans les deux cas, il existe certainement des nombres a^, &| respectivement plus grands que a, b et plus petits que A, B, et le nombre aj + ^i« qu'on doit ranger dans la première catégorie, est plus grand que c. On voit de même que, dans la seconde catégorie, il n'existe pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres.

S'il existe un nombre rationnel G qui n'appartienne ni à la première ni à la seconde catégorie, c'est qu'il est plus grand que toute somme obtenue en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus petits que A et B, et qu'il est plus petit que toute somme obtenue en ajoutant deux nombres rationnels respectivement plus grands que A, B, c'est donc qu'il est la somme des deux nombres A, B telle qu*elle a été définie, et, par cela même, on voit qu'il est unique.

S'il n'y a pas de nombre rationnel qui échappe à la fois aux deux catégories, c'est que le mode de classification précédemment expliqué définit un nombre irrationnel plus grand que tout nombre de la première catégorie, c'est-à-dire plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques a, b respectivement plus petits que A, B, et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques a', 6' respectivement plus grands que A, B. Ge nombre irrationnel C est la somme des deux nombres A, B, et l'on écrit dans tous les cas

Exemple : le nombre irrationnel \/2 se définit comme on a fait le nombre

^ ; et Ton a d'ailleurs, eu adoptant la façon d'écrire expliquée au n* 4i 7,

la somme \2 + v's^ des deux nombres y^, v^ est ainsi plus grande que 1,414 + 1,729 =3,143; elle est plus petite que 1,415 + 1,730 = 3,145; elle est donc comprise entre 3,14 et 3,15 ; 3,14 est sa valeur approchée, à 0,01 près, par défaut.

422. Il convient de remarquer que tout nombre rationnel c < G peut être regardé comme la somme de deux nombres rationnels respectivement plus petits que A et B ; il n'y a lieu à démonstr^ftion que dans le cas où c a été rangé dans la première catégorie comme inférieur (non égal) à la somme a+ b de deux nombres rationnels plus petits respectivement que A et B ; or si Ton a

et si Tun des deux nombres a, b, le nombre a par exemple, est plus petit que /.*, on aura

et le nombre c pourra être regardé comme la somme des deux nombres rationnels o < A et c — a < 6 < B : si les deux nombres a, b sont supérieurs ou égaux à c, il suffira de prendre deux nombres rationnels quelconques «1, 6j, dont c soit la somme; on aura aj < c < a < A, et de même 6, < B. De même tout nombre rationnel c' > C peut être regardé comme la somme de deux nombres rationnels respectivement plus grands que A, B : car si Ton a par exemple

on aura c' — a' > &' > B ; or c' est la somme de a' > A et de c' — a'.

Ainsi l'ensemble des nombres rationnels plus petits que A -f- B est composé de tous les nombres que l'on peut obtenir en faisant la somme de deux nombres rationnels respectivement plus petits que A, B, et seulement des nombres que l'on peut obtenir de cette façon ; l'ensemble des nombres rationnels plus grands que A + B est composé de tous les nombres que l'on peut obtenir en faisant la somme de deux nombres rationnels respectivement plus grands que A, B, et seulement des nombres que l'on peut obtenir de celte façon.

423. Par définition, la somme de deux nombres dont l'un est zéro est l'autre nombre; en d'autres termes, on a par défmition,

que le nombre A soit rationnel ou non.

Si l'on considère maintenant des nombres rationnels ou irrationnels, A, B, G, D, E, ..., en nombre fini, rangés dans un ordre déterminé, pour

définir leur somme A + B4-C+D + E+ .••, on définira la somme A + B des deux premiers, puis le nombre oblenu en ajoutant G à cette somme, nombre que Ton écrit A -f B + G, puis le nombre oblenu en ajoutant D à A + B + C, nombre que Ton écrit A + B + C -f- D, etc.

424. Considérons trois nombres A, B, G; d'après ce qu'on vient de dire, les nombres rationnels plus petits que A + B + G sont les mêmes que les nombres que Ton peut obtenir en ajoutant un nombre rationnel c plus petit que C à un nombre rationnel plus petit que A + B; mais tout nombre rationnel plus petit que A 4- B peut s'obtenir en ajoutant deux nombres rationnels a, 6 respectivement plus petits que A, B; donc les nombres rationnels plus petits que A + B -f G sont les mêmes que les nombres que Ton peut obtenir en ajoutant trois nombres rationnels a, b, c respectivement plus petits que A, B, G. De même les nombres rationnels plus grands que A + B -f G sont les mêmes que ceux que Ton obtient en ajoutant trois nombres rationnels respectivement plus grands que A, B, G. On passe du cas de trois nombres au cas de quatre nombres, comme on a passé du cas de deux nombres au cas de trois nombres, et il est clair que les nombres rationnels plus petits que la somme A+B + G + D+E + .-, des nombres A, B, G, D, E, ... sont les mêmes que les nombres que Ton obtient en ajoutant des nombres rationnels a, 6, c, d, e, ... respectivement plus petits que A, B, G, D, E, ..., et que les nombres rationnels plus grands que la somme A+B + G + D + E+ — sont les mêmes que les nombres que Ton obtient en ajoutant des nombres rationnels a\ &', c', d', e', ... respectivement plus grands que A, B, G, D, E, ... .

Gomme dans une somme de nombres rationnels Tordre des termes n'influe pas sur le résultat, on voit que l'ordre des nombres A, B, G, D, E, ... n'intervient pas dans la détermination des nombres rationnels plus petits ou plus grands que leur somme. Ainsi :

Dans une somme de nombres quelconques, on peut intervertir l'ordre des termes,

Gette proposition subsiste évidemment lorsque quelques-uns des nombres à ajouter sont nuls, puisqu'il n'y a pas à tenir compte de ces nombres nuls, pour le résultat.

On voit de même que dans une somme de termes quelconques, on peut remplacer tels termes que l'on veut par leur somme effectuée : au surplus, cette proposition est une conséquence de la précédente.

Les propriétés fondamentales de l'addition sont étendues aux nombres irrationnels.

425. En ajoutant à un nombre A un nombre B différent de zéro, on obtient un nombre A + B plus grand que A.

Pour le démontrer, il suffit (n* 413) de prouver l'existence d'un nombre rationnel a' tel que l'on ait

Soient 6, a, a! des nombres rationnels vérifiant les inégalilés

la somme des nombres a' — o < B eta < A est plus petite que A + B; or celte somme a' est plus grande que A.

426. Soustraction, — Soustraire un nombre B d'un nombre A, c'est trouver un nombre C tel que l'on ait A = B + C.

Le problème n'est possible que si A est égal ou supérieur à B; en effet, eu ajoutant 0 à B, on trouve pour somme B, et en ajoutant à B un nombre autre que 0, on trouve un résultat plus grand que B. Si donc A est plus petit que B, on ne reproduira jamais A en ajoutant à B quelque nombre que ce soit.

Si A est égal à B, on a

0 satisfait à la condition énoncée ; pour la raison qu'on vient de rappeler, c'est le seul nombre qui satisfasse à cette condition.

Si Ton a A > B, on va prouver qu'il existe un nombre C autre que zéro et tel que l'on ait A = B+ C; on prouvera ensuite qu'il n'en existe qu'un.

Rangeons dans une première catégorie tout nombre rationnel c qui est égal ou inférieur à la différence a — 6' entre un nombre rationnel a plus petit que A et un nombre rationnel 6' supérieur à B, mais d'ailleurs moindre que a. Rangeons dans une seconde catégorie tout nombre rationnel c' qui

est égal ou supérieur à la différence a[ — 6|y entre un nombre rationnel «1 > A et un nombre rationnel ôj < B; puisque l'on a

o^ est certainement plus grand que &i.

Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde catégorie ; il suffit pour le démontrer de prouver que l'on a, en vertu des inégalités précédentes,

a — 6' < Cj — 6i,

car, s'il en est ainsi, tout nombre plus petit que a — b' sera certainement inférieur à a[ — 6i, ou à un nombre plus grand ; or l'inégalité précédente équivaut à l'inégalité

a+h,<a[ + b\ qui est évidente, puisque l'on a

Dans la première catégorie il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres ; si c est un nombre de la première catégorie, pour montrer

qu'il existe dans cette catégorie un nombre plus grand que c, il suffit de * le démontrer dans le cas où c a été rangé dans cette catégorie comme égal (non inférieur) à la différence a — 6' ; or, si les nombres rationnels a et 6' sont tels que Ton ait

il est clair qu'il y aura des nombres rationnels a^, b'^ tels que Ton ait

et le nombre a^ — b[^ > a — b' appartiendra à la première catégorie. De même, dans la seconde catégorie, il n'y a pas de nombre plus petit que tous les autres.

On va montrer maintenant que si Ton ajoute un nombre de la première catégorie et un nombre rationnel plus petit que B, on obtient un nombre plus petit que A, et que si Ton ajoute un nombre de la seconde catégorie et un nombre rationnel plus grand que B, on obtient un nombre plus grand que A.

Désignons en effet par p, P' des nombres rationnels tels que Ton ait

et par c un nombre de la première catégorie, qui pourra par conséquent être regardé comme égal ou inférieur à la différence a — 5' entre un nombre rationnel a < A et un nombre rationnel ô' > B ; on aura donc

c + pga — 6' + P;

or, p étant plus petit que B et, par suite, que &',le second membre est plus pelit que a : on a donc

de même, si Ton suppose

'Sa; -6.

on aura

Or p' étant plus grand que &|, le second membre est plus grand queaj: on a donc

Ceci posé, deux cas peuvent se présenter. Ou bien, dans le mode de classification adopté, il y a un nombre rationnel G qui n'appartient ni à une catégorie ni à l'autre ; ou bien tout nombre rationnel trouve sa place dans une catégorie ou dans l'autre, et alors le mode de classification définit u n nombre irrationnel G. Dans les deux cas, le nombre A est plus grand

que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus petits que B et C, et plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que B et G : dans tous les «as, on a

427. Les deux nombres A, B étant donnés, il ne peut y avoir qu'un seul nombre G vérifiant cette égalité; si, en effet, il existait un autre nombre D tel que Ton eût

et si Ton avait, par exemple, G > D, il existerait alors un nombre E tel que l'on eût G=: I) -f E ; on aurait donc, à cause de la première égalité,

mais en ajoutant E à la somme B + D qui, par hypothèse, est égale à A, on obtient un nombre plus grand que B + D et, par conséquent, plus grand -que A. La contradiction est manifeste.