Exemple : on a

on a donc \^> \^\ on aura d'ailleurs

v/3 — v'2< 1,730—1,413 ou < 0,317, v/3 — v^> 1,729 — 1,415 ou > 0,314,

par conséquent 0,31 est la valeur approchée à 0,01 près par défaut de

429. Obsen'ons maintenant que les démonstrations de toutes les propositions du chapitre II, § 2 (^), relatives à la Aiçon dont on peut ajouter à un nombre, ou en retrancher, soit une somme, soit une différence, etc., reposent uniquement sur les propriétés fondamentales de Taddition et sur ■cette proposition : Étant donnés deux nombres A, B, tels que Ton ait A ^ B, il y a un nombre G et un seul tel que Ton ait A = B + G ; ce nombre est nul ■si A est égal à B, il n'est nul que dans ce cas. Dès lors, il est évident que tontes ces propositions s'étendent immédiatement aux nombres irrationnels, puisque ces propriétés fondamentales subsistent. Il en est de même des propositions relatives aux expressions obtenues en ajoutant ou en retran- •chant successivement certains nombres dans un ordre déterminé (n" 63). 11 en est de même enfin des propositions élémentaires sur les combinaisons des inégalités par addition ou soustraction, par exemple de ces théorèmes « en ajoutant à un même nombre deux nombres différents, on obtient deux

1. Il faudrait excepter la démoQSlration surabondante du n* 6S qai ne s'applique qu'aux nombres entiers.

nombres différents; on peut ajouter membre à membre des inégalités de même sens, etc. ... », théorèmes qui résultent immédiatement des propositions fondamentales relatives à racfdition et a la soustraction.

Il en est de même des règles relatives aux calculs approchés, pour ce qui concerne Taddition et la soustraction, car ces règles reposent uniquement sur les propositions que je viens de rappeler, et Ton voit comment la connaissance, même limitée, de la représentation décimale d*un ou plusieurs nombres irrationnels permet déjà certains calculs approchés sur ces nombres.

430. Multiplication. — La définition de la multiplication et l'extension des propriétés fondamentales de celle opération se fait exactement de la même manière que pour Taddition.

Le produit de deux nombres quelconques A, B dont aucun n'est nul est un nombre plus grand que tous les nombres que Ton obtient eu multipliant deux nombres rationnels respectivement plus petits que A, B, et plus petit que tous les nombres que Ton obtient en multipliant deux nombres rationnels respectivement plus grands que A, B.

Tout d'abord, s'il y a un nombre C satisfaisant à cette définition, il est unique. On devra avoir, en effet, quels que soient les nombres rationnels a, b respectivement plus petits que A, B et les nombres rationnels a', 6' respectivement plus grands que A, B, les inégalités

or si Ton suppose a' — a = «, 6' — 6 = p, on aura

a' 6' — a6 = (a + «) (^ + P) — «& = ûp + ft* + «P,

et il est aisé de voir que, en prenant convenablement les nombres a, 6, a', 6', la quantité ap + 6a + «p peut être supposée plus petite que tel nombre rationnel que Ton voudra; si Ton désigne, en effet, par p un nombre rationnel plus grand que A et que B, et si Ton suppose « et p inférieurs à un nombre rationnel « plus petit que 1, on aura

ap + 6« + «p<p« +pt + «ou (2p+ !)••

Si l'on veut donc que a'b' —ab soit inférieur au nombre rationnel X, il suffira de supposer

2p + l et de choisir les nombres a', 6^, a, b tels que Ton ait

a' — a<tj b^ — b<ê.

Si donc on considère un second nombre D tel que l'on ait, quels que

soient les nombres rationnels a, 6 respectivement plus petits que A, B et les nombres rationnels a', V respectivement plus grands que A, B,

on aura nécessairement D = G (n** 415).

Cela posé, si un nombre rationnel est égal ou inférieur au produit de deux nombres rationnels a, h respectivement plus petits que A, B, on le rangera dans une première calégorie; s*il est égal ou supérieur au produit de deux nombres rationnels a'^ h' respectivement plus grands que A, B, on le rangera dans une seconde catégorie.

Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde catégorie.

Dans la première catégorie il n*y a pas de nombre rationnel plus grand que tous les autres, car si un nombre rationnel c a été rangé dans cette catégorie comme étant le produit de deux nombres rationnels a, 6 respectivement plus petits que A, B, il suffira de faire le produit de deux nombres rationnels dj, b^ tels que Ton ait

pour avoir un nombre afi^ de la première catégorie plus grand que ah=:^c. Dans la seconde calégorie il n'y a pas de nombre plus petit que tous les autres.

S'il existe un nombre rationnel C qui n'appartienne ni à une catégorie ni à Tautre, ce nombre est plus grand que tous les nombres tels que a6, il est plus petit que tous les nombres tels que a'&', il est* le produit des deux nombres donnés A, B; par suite, il est unique.

Si aucun nombre rationnel n*échappe à la fois aux deux catégories, le précédent mode de classification des nombres rationnels définit un nombre irrationnel C; ce nombre est le produit cherché, pour la même raison que tout à Theure, et ron écrit dans tous les cas

C = A X B, ou C = AB.

Il est aisé de voir que tout nombre rationnel plus petit que C peut être obtenu en faisant le produit de deux nombres rationnels a, h respec* tivement plus petits que A, B. En effet, il n'y a lieu à démonstration que dans le cas où le nombre c aurait été rangé dans la première catégorie comme inférieur (et non égal) au produit de deux nombres a, b ; mais de rinégalité

c <iab

on tire alors

a et c est le produit des deux nombres a<A et-<6<B; c*est ce qu'il

fallait déinonlrer. De même les nombres rationnels plus grands que G sont les mêmes que les nombres que Ton obtient en faisant le produit de nombres rationnels respectivement plus grands que A, B.

43i. Le produit de trois nombres quelconques A, B, G rangés dans un certain ordre se définira comme le nombre obtenu en faisant le produit des deux premiers, puis le produit du résultat et du troisième nombre. Il s'écrira A X B X G ou ABG. Les nombres rationnels plus petits que ABG s'obtiennent en faisant le produit d'un nombre rationnel plus petit que G et d'un nombre rationnel plus petit que AB; mais ce dernier nombre est certainement le produit de deux nombres rationnels respectivement plus petits que A, B ; donc les nombres rationnels plus petits que ABG sont les mêmes que les nombres obtenus en faisant le produit de trois nombres rationnels a, 6, e respectivement plus petits que A, B, G. De même, les nombres rationnels plus grands que ABG sont les mômes que les nombres obtenus en faisant le produit de trois nombres rationnels a'j b', & respectivement plus grands que A, B, G.

Si l'on se donne autant de nombres que l'on voudra, A, B, G, D, E, ..., leur produit ABGDE... se définira comme obtenu en faisant le produit des deux premiers A, B, ce qui donne AB, puis le produit de AB et du troisième G, ce qui donne ABG, puis le produit de ABG et du quatrième D, ce qui donne

ABGD, etc.

Eu continuant de proche en proche le raisonnement que l'on vient de faire, on voit que les nombres rationnels plus petits que le produit ABGDE... sont les mêmes que les nombres que l'on obtient en faisant le produit de nombres rationnels (i, 6, c, d, e, ... respectivement plus petits que A,B,G, D, E, ..., et que les nombres rationnels plus grands que ce même produit ABGDE... sont les mêmes que ceux que Ton obtient en faisant le produit de nombres rationnels a', h', c', d', e', ... respectivement plus grands que

A, B, G, D, E, Gomme le produit de nombres rationnels ne dépend pas de

Tordre des facteurs, on voit que la détermination des nombres rationnels plus petits ou plus grands que le produit d'autant de nombres que Ton voudra ne dépend pas de l'ordre de ces nombres. Donc, dans un produit de facteurs quelconques, on peut intervertir l'ordre des facteurs. Les conséquences de ce théorème (n* 78) subsistent aussi.

432. Par définition, le produit de deux facteurs est nul quand l'un de ces facteurs est nul. Il n'est nul que dans ce cas : le théorème précédent et ses conséquences subsistent quand le produit considéré comporte quelque facteur égal à 0, car il est toujours alors égal àO.

Le produit de A par 1 est A; en effet, soient a, 6, a', h' des nombres rationnels qui vérifient les inégalités

on aura

donc