= ^VÂ

Il suffit de remarquer qu'en élevant le second nombre à la puissance np ou, ce qui revient au même, d'abord à la puissance p, puis à la puissance n, on trouve A. On observera qu'on aurait pu aussi bien écrire

"^À=N/vi.

D'après cela, on peut se borner, pour le calcul des racines, au cas où rindice est premier. On a, par exemple :

Vi = V^vî, Vi = Vv^i = V/v/i.

Il est à peine utile de dire que, réciproquement, pour extraire la racine n»*™« de la racine p**"« d'un nombre, on peut, si l'on veut, extraire la racine (npY^^^ de ce nombre.

447. On ne change pas la valeur d'une racine en multipliant l'indice de cette racine par un nombre entier et en élevant en même temps la quantité sous le radical à une puissance dont l'exposant soit ce même nombre entier. En d'autres termes, on a

VI = );/a'';

le second nombre, en effet, est égal à y V ^'o" ^ VA. Par exemple, on a

v/7 = Vt"'.

Inversemenl, quand on a à extraire la racine d'un nombre élevé à une certaine puissance, si Tindice de la racine et Texposant sont divisibles par un même facteur, on peut supprimer ce fadeur.

Ce théorème ne diffère pas du précédent.

On a, par exemple :

448. Les propositions précédentes permettent, étant données plusieui*s racines, avec des indices différents, de les ramener à avoir toutes le même indice.

Soient, par exemple, les racines

VI, V5. Vc,

a, 6, c désignant des nombres entiers ; soit m le plus petit multiple commun de a, 6, c et soient a', ^, c' les quotients respectifs de m par a, b, c; on multipliera les indices a, b, c respectivement par a', 6', c', et Ton élèvera en même temps A, B, G aux puissances a\ b% c'; les racines précédentes seront remplacées par

qui leur sont respectivement égales et qui ont même indice.

449. Cette proposition permet d'utiliser les règles des n* 443, 444 pour efTectuer des produits ou des quotients de radicaux.

Soient, par exemple, les quantités

6 est le plus petit commun multiple des indices 2, 3, 6; on aura, en appliquant les règles précédentes,

v/2 X ^2» X 5 X V2 X 5» = V2» X 2* X 5» X 2 X 5« = V2»X5* = v2*X5». De même,

§ 5. — Exposants fractionnaires.

450. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer que les dernières propositions établies ont leurs analogues dans la théorie des fractions. Celte analogie deviendra frappante si Ton adopte la notation des exposants fractionnaires.