B = VÂ
Tout nombre rationnel ou irrationnel a donc une racine n'*"'*". 442. Si A est un nombre rationnel ou irrationnel tel que sa racine ii»*"'*^ soit irrationnelle, et si l'on désigne par « un nombre rationnel quelconque, la
valeur approchée de v^A à a près sera le produit de « par un nombre entier K tel que Ton ait
K« < VA < (K 4- i)«.
Or, on conclut de ces inégalités
(K«r <A<[(KX1H";
K« sera donc le plus petit multiple de a dont la n'*"^ puissance soit inférieure à A; c'est ce que nous avons appelé, plus haut, lorsque A est rationnel, la racine n'*'"« de A à « près, par défaut, et celte expression a
donc le même sens que celle-ci : la valeur approchée du nombre v/a à « près, par défaut.
On voit ainsi se justifier entièrement les expressions (n* 302) valeur approchée de la racine n**™« d'un nombre A avec une erreur moindre que t :
ce que Ton a appelé ainsi, c'est une valeur approchée du nombre '\l\ avec une erreur moindre que t. Les règles que Ton a données alors pour le calcul approché de la racine d'un nombre connu avec une certaine approximation , s'appliquent manifestement au calcul numérique des racines des nombres irrationnels. Il serait d'ailleurs maintenant très aisé de retrouver ces règles ou d'autres équivalentes.
Pour nous borner par exemple à la racine carrée, on pourra se servir de l'égalité (n- 87)
où A et B sont des nombres quelconques dont on suppose toutefois que A est supérieur à B. On tire de cette égalité
VA — VB=-7= =< -r'
VA + VB 2VB
Supposons que A soit un nombre inconnu et B une valeur approchée par défaut de ce nombre avec une erreur moindre que «; on pourra écrire
en désignant par t' un nombre plus petit que t; on aura donc, en vertu de rinégaiité précédente,
2VB 2VB
par conséquent, yB pourra être regardée comme une valeur approchée de
y A, par défaut, avec une erreur moindre que — ^ , et si l'on calcule une
2VB
valeur approchée b de ^B avec une erreur en moins inférieureà «j,
le nombre b pourra être regardé comme une valeur approchée de v^A avec
une erreur moindre que t, H r=r •
§ 4. — Opérations sur les radicaux.
443. Pour prouver qu'un nombre est la racine n**"»® de A, il suffit de prouver que la puissance n»*"* de cenombreestégaleà A. Cette remarque suffit à établir les propositions qui suivent.
Le produit des racines n**«"«» de plusieurs nombres A, B, C, D est égal à la racine n**"™* du produit de ces nombres. En d'autres termes, on a
(1) VÂxVbx v'gxVd=Vâbcd.
Pour élever à la puissance n'*™« le produit Va X Vb X v'C X Vd» il suffit, en effet, d'élever à la puissance n chacun de ses facteurs, et l'on obtient ainsi le produit ABCD.
Dans le cas de deux facteurs, le théorème s'exprime par l'égalité
VaxVb="n/âb:
Un cas particulier intéressant est celui où l'un des nombres A, B, le nombre A, par exemple, est la puissance n'*'™« d'un nombre rationnel :
supposons A = a'*; on aura
yVi = a X Vb ;
remplacer ainsi y a"B par aVB , c'est ce qu'on appelle faire sortir a du
radical, remplacer de même aVB par y a"B c'est faire entrer a sous le radical. On a, par exemple.
VsT = y¥yâ = 3V3!
406 LEÇONS D'AHITHMËTIQUE.
Un autre cas particulier intéressant est celui où tous les nombres A, B, G, ... qui figurent dans l'égalité (i) sont égaux. On n'a écrit dans cette égalité que quatre facteurs, mais il est clair qu'on aurait pu en écrire autant qu'on aurait voulu, p par exemple. En les supposant tous égaux, l'égalité prendrait la forme
En d'autres termes, pour élever à la puissance p la racine n**"® d'un nombre A, on peut extraire la racine n}^^^ de la puissance p de ce nombre. Inversement, la racine n**™« de la puissance p**"« d'un nombre est la puissauce p**"« de la racine n'*"® de ce nombre. On observera que dans le cas où p est égal à n, cette proposition est évidente.
4U. La racine n}^* du quotient de deux nombres A, B est égal au quotient des racines n}^^* de ces nombres ; en d'autres termes, on a
Vb Vb'
Cette proposition pourrait se déduire de la précédente ; on peut aussi l'établir directement. Pour élever la fraction —=r à la puissance n*^™«, on
Vb
peut élever ces deux termes à la puissance n, ce qui donne ^ ' elle est donc bien la racine n'*"»* de r^- En particulier, on a
V B Va
Vb
a 445. Etant donnée une fraction zr^ dans laquelle le dénominateur est la
racine n'^"*<^d'un nombre rationnel 6, on peut la remplacer par une fraction égale dont le dénominateur soit 6 ; il suffît de multiplier les deux termes
de la fraction par (V^) ou y 6** ~ *, on a ainsi
par exemple on a
V2 V^2XV'2 ^' il est clair que, pour le calcul numérique, il est plus avantageux de calculer
Vzavec une certaine approximation, de diviser ensuite le résultat par 2, que de diviser 1 par la racine carrée de 2 ; on pourrait d'ailleurs aussi bien
calculer
Va
Si Ton applique la transformation précédente à la fraction --=. du
Vb
numéro précédent, on voit qu'on peut récrire
\/ax\/b""'\/axb'^-'
On a par exemple
446. Si l'indice de la racine d'un nombre A est le produit de deux nombres entiers n, p, on peut, pour extraire cette racine, extraire la racine n**™*' de A, puis la racine p**"**^ du résultat: en d'autres termes, on a
