AÎ"=%'A

p Dans le cas où q est égal à 1, le symbole A' représente la même chose

que A^. Cette convention est conforme à ce qu'on a dit dans le précédent numéro.

Cette notation ne présente aucune difficulté si l'on veut bien se reporter au n" 179 où l'on a dit qu'une fraction devait être regardée comme l'ensemble de deux nombres entiers qui jouent un rôle différent.

Elle est justifiée par ce fait que si les deux fractions - i —^ sont égales,

on a

Si en effet les deux fractions —, —^ sont égales, on a pq' = p^q et, par suite,

AW' = A"'^ ;

410 LEÇONS irARITHMËTIQUE.

extrayons les racines d*iildice qq^ des deux membres, on aura

Va-' = Va''»:

or, en divisant les indices et les exposants par q' dans le premier membre, par q dans le second, on a

ou, en remontant à la définition des exposants fraclionnaires,

Il est à peine utile de faire remarquer que, par cette proposition, la simplification de la racine iy'*™« d'un nombre élevé à une certaine puissance p revient à la simplification d*une fraction, et que la réduction au même indice de plusieurs racines revient à la réduction de plusieurs fractions au même dénominateur.

Mais il y a plus : les rèj^les établies pour le calcul des exposants entiers s^appliquent aux exposants fractionnaires.

452. Pour friire le produit de deux puissances fractionnaires d'un même nombre, il suffit d'élever ce nombre à une puissance dont l'exposant soit une fraction égale à la somme des deux exposants primitifs.

En d'autres termes, on a, en désignant par p, 9, p', q' des nombres entiers, différents de zéro,

On a en effet

l p± «7 — ; A^ = A"'= VA'",

t t!î qq'l

Aï' = A^'ï = V A"'"'

et, par suite.

t ^ 097 — QQ'/ —

Aï"xA^'= Va'^'x VA'''';

mais, en appliquant le théorème du n* 443, on voit que le second membre est égal à la racine (qq^y^"^ du produit A''' X A*^', qui est lui-même égal à A*^ "*"''\ puisque les nombres pq' eip'q sont entiei-s. D'ailleurs on a, en vertu de la définition,

pq' -\-p'9