A^XA'' XA«' = A

Voici quel sens il faut attribuer au second membre : la somme (-+—/)

ayant été remplacée par une fraction à termes entiers, on lui ajoute la

P* fraction ^« et l'on obtient ainsi, sous forme d'une fraction à termes g'

entiers, l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever A ; mais il est

clair que cet exposant peut être aussi bien obtenu en calculant comme on

voudra la fraction à termes entiers qui est égale à la somme des trois

fractions -» ^» ^• q q' q"

453. Pour élever à la puissance^ un nombre A élevé déjà à une puis-

sance entière ou fractionnaire -t il suffit de multiplier par ^ l'exposant

de A ; en d'autres termes, on a

Vav =a«'.

On a, en effet, d'après les définitions,

Av =V A^ p'

( .ïf = \/{<Jl?f;

mais on a de même

et la racine g'**">« de cette quantité est égale à y A**^ , ou, en vertu dç la

pp' déûnition des exposants fractionnaires, à Â^^ : la proposition est donc démontrée.

454. Si, en désignant parpyQr,p% q^ des nombres entiers, on a

q q' on aura, en désignant par  an nombre quelconque, autre que zéro,

en entendant que, dans le second membre, la différence ^ — ~ soit rem-

placée par une fraction à termes entiers qui lui soit égale, par exemple par

qq' La démonstration est toujours la même ; on a

455. La notion de différence s'applique encore quand les deux nombres à retrancher sont égaux : si l'on voulait, dans le cas de deux exposants

égaux -, '—,, appliquer la même règle, on serait amené à écrire

et cette égalité qui n'a, non plus que son second membre, aucun seus^ en acquiert un et devient vraie si Ton convient de représenter par le symbole A^ le nombre i. Cette convention est aussi utile, et il convient d'observer, puisqu'on ne change pas un nombre en le multipliant ou en le divisant par un, que, si on Tadopte, les égalités