ENSEMBLES

456. Le nombre A ayant été ainsi défini pour tonte valeur rationnelle, même nnlle, du nombre B, il est naturel de chercher à le définir pour une valeur irrationnelle de B. Sans développer ce sujet, qui sortirait du cadre de cet Ouvrage, je me contenterai de dire que le nombre A* se définit alors, si A est plus grand que un, comme étant plus grand que tous les nombres A^ obtenus en élevant A à une puissance rationnelle b plus petite que B, et plus petit que tous les nombres A obtenus en éfevant A à une puissance rationnelle 6' plus grande que B. C'est Tinverse quand A est plus petit que un. Les règles du calcul des exposants entiers s'étendent encore aux exposants irrationnels.

§ 6. — Ensembles.

457. Considérons Tensemble des nombres distincts qui satisfont à une condition déterminée; ils peuvent ôlre en nombre fini ou infini. L'ensemble des diviseurs entiers d'un nombre enlier donné ne comprend qu'un nombre fini de termes; Tensemble des multiples entiers d'un nombre donné en comprend un nombre infini ; de môme Tensemble des nombres premiers, l'ensemble des valeurs dislinctes approchées de v2, par défaut, à 0,1 ; 0,01; 0,001; ... près, Tensemble des nombres rationnels compris entre deux nombres donnés.

En général, on dira qu'un ensemble de nombres ou, plus brièvement, un ensemble est déterminé, lorsqu'on peut décider d*un nombre quelconque s'il appartient ou non à cet ensemble. Tel est le cas des ensembles qui viennent d'être énumérés : étant donné, par exemple, un nombre quelconque, on a le moyen de reconnaître si ce nombre est premier ou non : les nombres premiers forment un ensemble déterminé ; on a le moyen de reconnaître si un nombre est ou n'est pas une valeur approchée de ^2, par

défiiut, à — ;; près, n étant un entier quelconque : ces valeurs approchées

forment un ensemble.

458. Considérons un ensemble quelconque de nombres : de deux choses l'une, ou il existe un certain nombre supérieur à tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble, et je dirai dans ce cas que l'ensemble est limité; ou il n'existe pas de pareil nombre, c'est-à-dire que si l'on nomme un nombre quelconque A, on peut affirmer qu'il existe des nombres appartenant à l'ensemble considéré qui sont supérieurs à A, auquel cas je dirai que l'ensemble est illimité. Lorsqu'un ensemble est composé d'nn nombre fini de termes, il est certainement limité. Il peut toutefois être limité lors même qu'il comprend un nombre infini de termes : tels sont, par exemple, l'ensemble des nombres plus petits que 2, l'ensemble des nombres rationnels plus petits que v'2, l'ensemble des valeurs (différentes) approchées à Q»l; 0,0i; 0,001 ; ... près de v'2, etc.. Au contraire, l'ensemble des nombres entiers, l'ensemble des nombres premiers, Tensemble des multiples d'un

nombre entier donné, l'ensemble des nombres rationnels plus grands que V^2, etc., sont des ensembles illimités.

459. Quand un ensemble est limité, il existe un nombre M qui jouit des propriétés suivantes : 1* il est supérieur ou égal à tout nombre de l'ensemble ; 2* il n'y a pas de nombre plus petit que M qui soit supérieur ou égal à tout nombre de Tensemble; en d'autres termes, si on considère un nombre quelconque M' plus petit que M, on peut affirmer qu'il y a un nombre de l'ensemble qui est plus grand que M' ('). En d'autres termes encore, quelque petit que soit le nombre c, il y a dans l'ensemble au moins un nombre dont la différence avec M est moindre que c.

D'après sa défiuition, le nombre .M, s'il existe, est unique : il s^appelle la limite supéiieure de l'ensemble.

L'existence de la limite supérieure est évidente dans quelques cas. S'il y a parmi les nombres de l'ensemble un nombre M qui soit plus grand que tous les autres nombres de l'ensemble, ce nombre est lui-même la limite supérieure. C'est ce qui arrive nécessairement lorsque l'ensemble ne comprend qu'un nombre fini d'éléments.

Supposons que tous les nombres qui composent l'ensemble soient inférieurs ta P et que parmi ces nombres il n'y en ait aucun qui soit supérieur aux autres.

Rangeons les nombres rationnels en deux catégories : dans la première, nous placerons tout nombre rationnel m qui se trouve être inférieur ou égal à un nombre de l'ensemble; il y aura des nombres m dans celte catégorie, puisqu'on suppose que l'ensemble comporte des nombres autres que zéro; rangeons dans la seconde catégorie tout nombre rationnel m' qui est plus grand que tout nombre appartenant à Tensemble : il y a des nombres dans cette catégorie ; tels sont les nombres rationnels plus grands que P. Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde.

Si A est un nombre quelconque de l'ensemble, il y a, par hypothèse, dans le même ensemble, un nombre B > A; tout nombre rationnel compris entre A et B appartient à la première catégorie ; ainsi il y a dans la première catégorie des nombres rationnels supérieurs à A. Il ne peut y avoir dans la première catégorie un nombre plus grand que tous les autres; car si m est un nombre de cette catégorie, il y a été rangé comme inférieur ou égal à un nombre A de l'ensemble ; mais, puisqu'il y a dans l'ensemble des nombres B plus grands que A, tout nombre rationnel compris entre m et B appartient aussi à la première catégorie.

Dans la seconde catégorie, de deux choses l'une, ou il y a un nombre M plus petit que tous les autres, ou il n'y en a pas. Dans ce second cas, la

1. Si M était nu], il n*y aurait pas de nombre M' plus petit que M. M ne peut être nul que si l'ensemble était composé d'un terme unique égal h 0. Cette remarque, bien entendu, ne subsiste pas en Algèbre, quand on considère des nombres négatif*. Dans la suite, on écartera d'ailleurs ce cas insignifiant.