RECHERCHE DE LA COMMUNE MESURE

soil égal à aB, on reconnaît immédiatement, en admettant (h° 484, VI) que la grandeur B puisse éire divisée en b parties égales, que la b^^^^ partie de B est contenue a {ojs dans A, .en sorte qu'il y a certainement une commune mesure à A et à B. Ce résultat peut d'ailleurs s'établir sans faire intervenir la possibilité de cette division (*).

L'application du môme algorithme (n" 134) qui nous a servi à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres permet de trouver la plus grande commune mesure des deux grandeurs À, B, si elle existe.

Supposons A < B ; si B est contenu exactement n fois dans A, en sorte que Ton ait

A = nB,

il est clair que toute mesure commune à A et à B sera B ou une partie aliquote de B ; B sera la plus grande commune mesure entre A et B.

1. Je dois cette observation à M. E. Lacour; elle offre assurément quelque intérêt, car elle

permet de déilnir le rapport -^ sans faire intervenir d'autres hypothèses que la supposition V

du n* 484, en dehors dos suppositions relatives à l'égalité, à l'inégalité et à l'addition. Si en

effet on vent comparer la fraction à termes entiers ~ aux {grandeurs A et B, on aura

nécessairement Tune des trois égalité ou inégalités qui suivent

9A>pB, ^A = pB, ffA<;?Bî

on constate sans aucune peine, en se fondant seulement sur ce qu'on peut multiplier par un nombre entier les deux membres d'une égalité ou d'une inégalité entre des grandeurs, que, si l'on se place dan^ l'un de ces cas, l'inégalité ou l'égalité correspondante subsiste quand on

remplace p, g par les termes (entiers) d'une fraction égale à ^ ; que, si Ton est dans le cas

oh l'on a çA ^ pB, cette inégalité subsiste quand on remplace p, g par les termes (entiers)

d'une fraction plus petite que -, etc... D'après cela on a un mojen de définir le rapport —

comme plus grand que tous les nombres rationnels pour lesquels on a^A^yiB, égal au

nombre ., s'il y en a un, pour lequel on a ^A rr pB, plus petit que les nombres rationnels -

pour lesquels on a gA <^ /iB. La seule difficulté consiste, dans le cas oh il n'existe pas do nombres rationnels pet ç tels que Ton ait gk = pB, à prouver quo parmi les nombres rationnels ^ pour lesquels on a gA ^ pB, il n'y eif a pas un qui Soit plus grand que le; autres. S'il

y en avait un, déâignons-Ie par ^; on aurait ç'A >p'B. Il existerait alors (n* 4B4, V) un entier m tel que l'on eût m{g'\ — p'B) > B, ou niq'À. >. (mp' -J- 1)B : or, la fractioil . "^ ost plus grande que —^ ; celle-ci no serait donc pas la plus grande des fractions - pour

lesquelles on a gA. >- pB. On prouve de même que parmi les fractions - pour lesquelles on a qA. < pB, il n'y en a pas de plus petite que toutes les autres. On définit donc bien ainsi un nombre irrationnel ~. Cette définition, oh n'intervient pas la possibilité de diviser B en

parties égales, permet d'établir ensuite les propositions fondamentales

qui sont le fond do toute la théorie de la mesure des grandeurs.

Taknkrt. 29

Si B n*est pas contenu exactement dans A, considérons la suite de

grandeurs

A tombera entre deux termes de cette suite «i B et (n, + 1) B, et J'en pourra poser

en désignant par Bj une grandeur plus petite que B ; inversement, cette égalité et la condition Bj < B déterminent sans ambiguïté le nombre entier ?}, et la grandeur Bj.

On reconnaît immédiatement, sur l'égalité A=: nfi + B^, que toute grandeur contenue exactement dans A et dans B est contenue exactement dans Bi, que toute grandeur contenue exactement dans B et dans B| est contenue exactement dans A, en sorte que les communes mesures de A et de B, s'il y en a, sont certainement les mêmes que celles de B et de Bj.

On pourra opérer sur B et B^ comme sur A et B et, si B ne contient pas exactement Bj, le mettre sous la forme

B = w,Bi + B,, (B4<B,);

puis mettre B| sous la forme

B|=n3B2+Bj, (B3<B,),

etc.. : les communes mesures entre deux termes consécutifs de la suite A, B, Bi, B^, B,,... sont certainement les mêmes : si la suite se termine, si Ton arrive à une grandeur B. qui soit exactement contenue dans la précédente, en sorte qu'on ait

B. - 1 = «« + iB„

il est clair que B. sera la plus grande commune mesure entre B. , et B« et, par suite, entre A, B ; toute commune mesure à A, B sera une partie aliquote de B^.

Je vais maintenant montrer que s*il existe deux nombres entiers a et 6 tels que l'on ait

6A = aB,

l'opération se terminera ; on aura, en effet, alors,

6 {nfi + Bj) = ni6B f- ÔBj = aB

el cette égalité exige qu'on ait nj5 < a, on peut donc l'écrire

comme B^ est plus petit que B, il faut que a — n^b soit plus petit que 6; il en résulte que n^ est le quotient de la division, au sens de la théorie des

nombres entiers^ de a par 6, et que a — n,&, qui sera désormais désigné par 6|, est le reste de cette division ; on aura d'ailleurs

Cette égalité, en remplaçant B par n^Bj + Bj, montrera de même que n^ est le quotient de la division de b par b^ et que b — ïijô, = 62 est le reste de cette division ; Topération décrite correspond donc exactement à la recherche du plus grand commun diviseur de a par b et se terminera en même temps qu'elle. Elle fournira la plus grande commune mesure entre A et B.

LorsquMl n'y a pas de commune mesure entre A et B, Topération peut se continuer indéfiniment, elle déllnit alors une suite de nombres entiers

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Le lecteur, s'il est en possession de la théorie des fractions continues, reconnaîtra comment cette suite de nombres entiers permet d'avoir des

valeurs approchées du rapport *r^'