partie de Aj, se représente par le symbole — • Faisons correspondre au

nombre - cette grandeur B; à la somme de q nombres égaux à - , c'est-à-

dire au nombre 1, correspondra bien la grandeur Aj ; le nombre - est d'ailleurs le seul qu'on puisse faire correspondre à B polir qu'il en soit ainsi.

Si p est un nombre entier, au nombre-, qui est la somme dep nombres

égaux à-, on devra faire correspondre la grandeur pB, oup~, c'est-à-

A dire la somme de p grandeurs égales à — ^ : cette somme se représente

souvent par le symbole -Ai; c'est, par définition, le produit de A par la

fraction -- Si la fraction - était égale à un nombre entier n, c'est-à-dire q q ^

si l'on avait p = ng, la grandeur -Aj ou pB serait égale à nq fois B ou encore à la somme de n grandeurs égales à ^B; elle serait égale à 7iA,, elle correspondrait au nombre 7i égal à-- On reconnaît aussi aisément que si

les deux fractions à termes entiers -» ^ sont égales, les grandeurs qui

leur correspondent sont aussi égales. Il suffira, pour s'en convaincre, de se reporter aux raisonnements que Ton a faits au début du chapitre VI, quand on a introduit la notion de l'égalité de deux fractions. Ainsi à des nombres

441 LEÇONS DARITHMÉTIQUE.

égaux correspondent des grandeurs égales et à chaque nombre rationnel a correspond une grandeur déterminée A. Cette grandeur se représente par aA, ; on dit qu'elle est le produit de A^ par a et l'on écrit A = ak^ ; ce nombre a est la me$wre de A quand on prend A( pour unité ; c'est aussi, par définition, le rapport de A à A| et l'on écrit aussi

en n'attachant pas à cette égalité d'autre sens qu'à l'égalité A = aÂ]. Il est maintenant facile de vériûer que pour les grandeurs ainsi numérotées, la condition essentielle du n** 484 est vérifiée, c'est-à-dire qu'à la somme de deux ou plusieurs nombres rationnels quelconques correspond une grandeur égale à la somme des grandeurs qui correspondent à ces nombres. Il suffit, pour cela, de supposer que tous ces nombres rationnels soient représentés par des fractions à termes entiers et de même dénominateur. Du même coup, il est prouvé qu'à deux nombres rationnels inégaux a, a' tels que l'on ait a <.a^ correspondent deux grandeurs A, A' telles que l'on ait A < A' : car le nombre a' est la somme d'un nombre a et d'un autre nombre rationnel autre que 0 ; la grandeur A' est donc la somme de A et d'une autre grandeur autre que la grandeur nulle; elle est plus grande que A : la condition fondamentale est vérifiée.

488. Enfui, la graduation ainsi définie pénètre partout sans laisser de lacune : en d'autres termes, entre deux grandeurs inégales A', A", il y a toujours une grandeur numérotée au moyen de quelque nombre rationnel.

En effel, désignons par D la différence (non nulle) entre A' et A''. Il existe (n" 484, V) un nombre entier q tel que l'on ait qU > Ai ; désignons par B la qU'mc partie de A, ; on aura certainement D > B, car la supposition D ^ B impliquerait (n" 485) l'inégalité gD^gB ou gD^Ai- Considérons dès lors la suite des grandeurs ou progression arithmétique 0, B, 2 B, 3 B, ..., numé-

12 3 rotées au moyennes nombres 0, -,-,--, ...; les grandeurs A', A" comprennent certainement entre elles au moins un terme de cette suite, puisque leur différence est supérieure à B; le numérotage pénètre donc entre les grandeurs A', A".

489. Dès lors on peut faire correspondre à chaque grandeur A de l'espèce ((i) un nombre rationnel ou irrationnel; un nombre rationnel si elle n'a pas échappé à la graduation que l'on vient de décrire, et dans le cas contraire, un nombre irrationnel a plus grand que tous les nombres rationnels qui correspondent aux grandeurs numérotées et moindres que A, plus petit que tous les nombres rationnels qui correspondent aux grandeurs numérotées et plus grandes que A. Ce nombre a sera encore la mesure de A quand on prend Ai pour unité, ou le rapport de A à Ai et l'on écrira

A = 01 Al, — = ai.

Réciproquement, j'admettrai qu'à chaque nombre irrationnel a correspond une grandeur A de l'espèce (G), supérieure à toutes les grandeurs mesurées par des nombres rationnels moindres que a, inférieure à toutes les grandeurs mesurées par des nombres rationnels plus grands que a. Cette grandeur, si elle existe, est certainement unique, puisque entre deux grandeurs inégales il y en a une plus grande que la première, plus petite que la seconde et qui est mesurée par un nombre rationnel. Admettre Texistence de la grandeur qui correspond au nombre irrationnel a, c'est imposer une condition de plus à la grandeur (G), condition sur le sens de laquelle on s'est suffisamment expliqué au n* 477. On a établi, dans ce mènne numéro, que la condition fondamentale était toujours vérifiée, lors môme qu'il s'agissait de grandeurs correspondant à des nombres irrationnels. La graduation est entièrement terminée.

490. Il reste enfin à prouver que si des grandeurs correspondent à des nombres quelconques, même irrationnels, leur somme correspond à la somme de ces nombres : il suffit évidemment de considérer le cas de deux grandeurs A, A'; désignons par a, «' les nombres qui les mesurent; la grandeur A 4- A' est plus grande que la somme de deux grandeurs respectivement plus petites que A, A^ en particulier que la somme de deux grandeurs respectivement mesurées par des nombres rationnels plus petits que a, a' : le nombre qui mesure A + A' est donc plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques plus petits respectivement que a, «'. On voit de même que le nombre qui mesure A + A' est plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que a, a' ; le nombre qui mesure A + A' est donc « + «'• Je désignerai comme directement mesurables les grandeurs (G) qui jouissent des propriétés que l'on vient d'expliquer.

491. On a supposé que la graduation de la grandeur mesurable (G) avait été faite en faisant correspondre la grandeur A|, non nulle, au nombre 1 ; supposons maintenant qu'on établisse une seconde graduation en faisant correspondre au nombre 1 une autre grandeur A[ ; comment passera-t-on d'une graduation à l'autre ?

Rappelons d'abord l'attention du lecteur sur ce fait essentiel : quand on a choisi l'unité avec laquelle on mesure la grandeur (G), la correspondance entre chaque nombre et chaque état de la grandeur est entièrement déterminée par les conditions suivantes : à des nombres égaux correspondent des grandeurs déterminées égales ; à la somme de deux nombres correspond la somme de deux grandeurs mesurées par ces deux nombres; à deux nombres inégaux a, a', tels que l'on ait a < a', correspondent des grandeurs déterminées inégales A, A' telles que l'on ait A < A' : les deux premières conditions permettent de déterminer la grandeur qui correspond à chaque nombre rationnel; la seconde achève cette détermination pour les nombres irrationnels.

11 suit de là que si, par un procédé quelconque, on a trouvé un mode de correspondance entre chaque nombre rationnel ou irrationnel et chaque

grandeur de ] 'espèce (G) qui satisfasse aux trois conditions et qui, en outre, fasse correspondre au nombre 1 une grandeur déterminée A„ ce mode de correspondance est assurément le même que celui qu'on a décrit dans le numéro précédent, en partant de la grandeur Ai comme unité.

Ceci posé, soit X ua nombre fixe quelconque rationnel ou irrationnel, mais différent de 0.

En supposant qu'on ait pris la grandeur Ai comme unité, on obtient un premier mode de correspondance entre chaque grandeur et chaque nombre. Imaginons un second mode de correspondance qui fasse correspondre à chaque grandeur de l'espèce (G) le produit par X du nombre qui la mesurait dans le premier mode de graduation. En d'autres termes, dans le second mode, à chaque nombre a correspond la grandeur qui, dans le

premier mode, correspondait au nombre --. (1 est clair que la seconde

graduation jouit des trois propriétés qu'on vient de rappeler, puisque des nombres égaux restent égaux quand on les multiplie ou qu'on les divise par X, que pour multiplier ou diviser par X la somme de deux nombres il sufQt de les multiplier ou de les diviser par X, et que, enfin, on peut multiplier ou diviser par X les deux termes d'une inégalité entre des nombres. Maintenant, dans le second mode de graduation, la grandeur qui correspond

au nombre i est celle qui, dans le premier, con'espondait au nombre -; la

grandeur qui correspond au nombre X est celle qui, dans le premier, correspondait au nombre 1, c'est la grandeur A|.

492. Supposons que l'on mesure la grandeur (G) en prenant pour unité la grandeur Ai, et choisissons pour X l'inverse du nombre qui mesure A'i quand on prend A^ pour unité : le mode de graduation de la grandeur (G) qui résulte de ce qu'on prend A^ pour unité coïncidera avec le second mode de graduation que l'on vient de définir, puisque le second mode satisfait aux trois conditions et que, en outre, il fait correspondre au nombre 1 la grandeur k\.

En résumé, on passe de la première graduation, où Aj est l'unité, à la

seconde, où A'i est l'unité, en multipliant chaque nombre par un métne

1 i facteur X, ou en le divisant par - : - est le nombre qui mesure A', quand

on prend Aj pour unité, c'est le rapport — ; X est le nombre qui mesure

A, quand on prend A'i pour unité, c'est le rapport -rr ; en d'autres

termes :

Le nombre qui mesure A quand on prend A'i pour unité, ou le rapport

T7, est égal au produit du nombre qui mesure A quand on prend A^ pour Al

\ unité, c'est-à-dire du rapport -r- ? par le nombre qui mesure A^ quand on

A prend A\ pour unité, c'est-à-dire par le rapport --. ; ce qui peut s'écrire

Al Al Al

Le rapport -rr est égal au quotient obtenu en divisant le nombre -r- qui Aj Al

A' mesure A quand on prend Ai pour unité par le nombre -i qui mesure A'i

Al avec la môme unité ; en d'autres termes encore, le rapport de deux grandeurs mesurables déterminées est égal au rapport des deux nombres qui mesurent les deux grandeurs, avec une même unité.

Les deux théorèmes précédents sont au fond identiques; mais observons en passant que Fégalité

Al Al Al

où figurent des rapports de grandeurs, peut maintenant, au moyen du >econd énoncé, être regardée comme une égalité, d'ailleurs évidente, entre des nombres.

Il est à peine utile de dire qu'on vient de compléter la démonstration des théorèmes des numéros 326 et 327.

§ 3. — Grandeurs proportionnelles.

493. Considérons deux espèces de grandeurs mesurables (G), (G^ liées ensemble de façon qu*à chaque état A de la première corresponde un état A' de la seconde; inversement à l'état A' de la seconde correspond Télat A de la première.

Supposons la correspondance telle qu'à deux grandeurs déterminées égales de l'espèce (G) correspondent toujours deux grandeurs déterminées égales de l'espèce (G'), et qu'à la somme de deux grandeurs déterminées de l'espèce (G) corresponde toujours la somme des deux grandeurs correspondantes de l'espèce (G'); je vais démontrer que le rapport de deux grandeurs déterminées quelconques de l'espèce (G) est égal au rapport des deux grandeurs correspondantes de Tespèce (G') (n" 359).

Observons d'abord que, en vertu des hypothèses, les grandeurs nulles d'espèces (G) et (G^ se correspondent nécessairement, puisque la grandeur nulle est la seule qui, ajoutée à une autre grandeur, ne la modifie pas.

D'ailleurs, si Ton considère deux grandeurs A, B de l'espèce (G) et les deux grandeurs correspondantes A', B' de l'espèce (G'), on aura A' > B' si l'on a A > B : en effet, cette dernière hypothèse implique l'existence d'une grandeur C, non nulle, telle que Ton ait A = B -f G ; la grandeur correspondante G' ne sera pas nulle non plus et l'on aura A' = B' -f G', donc A' > B'.

448 LEÇONS D^AHITHMÉTIQUE.

Ceci posé, mesurons ]a grandeur (G) en prenant pour unité une grandeur déterminée A^ de cette espèce et la grandeur (G') en prenant pour unité la grandeur A'j qui correspond à K^ ; les nombres de la graduation relatifs aux divers états de (G) seront les mêmes que les nombres de la graduation relatifs aux états correspondants de (G'); il suffît pour s*eii convaincre de se reporter à la façon détaillée dont on a expliqué comment la graduation devait se faire. On peut remarquer aussi que si, après avoir gradué la grandeur (G), on fait con^espondre dans (G'], à chaque nombre a, la grandeur A' correspondant à la gi*andeur A de l'espèce (G) qui est mesurée par le nombre a, on aura réalisé un mode de graduation de (G') qui satisfait aux trois conditions du n" 491 et qui en outre fait correspondre au nombre i la grandeur A'^. Il semble bien inutile d'insister sur cette assertion évidente, d'où il résulte que le mode de correspondance qu'on vient d'imaginer entre les nombres et les grandeurs (G') est bien le même que celui qu'on obtiendrait si l'on mesurait les grandeurs en prenant A| pour unité.

Le rapport de deux grandeurs étant égal au rapport des nombres qui les mesurent, la proposition énoncée est démontrée.

Les grandeurs (G), (G') qui satisfont aux conditions énoncées sont dites proportionnelles.

On a donné dans les chapitres X et XI de nombreux exemples de grandeurs proportionnelles, etla proposition précédente avait été démontrée dans le cas où les grandeurs comparées étaient commensurables.

§ 4. — Recherche de la commune mesare.

494. Il nous reste à répondre aune question qui s'est sans doute présentée à l'esprit du lecteur : étant données deux grandeurs A, B d'une espèce niesu-

rable (G) telles que leur rapport ^ soit un nombre rationnel, c'est-à-dire,

d'après ce qui a été dit plus haut, telles que B ou une certaine partie aliquotc de B soit contenue exactement dans A, comment trouver cette partie? En d'autres termes encore, en reprenant les façons de parler du chapitre X, si les grandeurs A, B sont commensurables, admettent une commune mesure, comment trouver cette commune mesure?

Désignons cette commune mesure par G et supposons qu'elle soit contenue exactement a fois dans A, 6 fois dans B, on aura

A = aC, B = 60,

le rapport ^ sera, d'après le n" 487, égal à -,- Des égalités précédentes on

tire

6A = aB ;

réciproquement, s'il existe deux nombres entiers a, 6 tels que b\