Combien l'équation

ar — y = 53

a-t-elle de solutions distinctes, pour lesquelles or et y soient inférieurs à 100 ?

28. On considère n nombres ai, Os, ..., a^ tels que chacun d'eux soit plus grand que le suivant ; on forme les nombres

6i = «1» ô, = a, — fli, 6| = fli — a, -f «,, Ô4 = fli — «j -f as — a*,

et ainsi de suite, jusqu'au nombre hn obtenu en ajoutant an au précédent, ou en retranchant an , suivant que n est impair ou pair. Démontrer que chacun des nombres 61, 6^, 63, ..., 6» est compris entre les deux qui le précèdent : démontrer que Ton a

et que chacun des nombres h affecté d'un indice pair est plus petit que chacun des nombres b affecté d'un indice impair.

29. Le double de la somme des n premiers nombres 1, 2, 3, ..., n est égal à

n (n + 1)* La somme des n premiers nombres impairs est égale à n*.

30. Si dans la suite de l'exercice 20, on fait la somme de tous les termes de deux en deux à partir de 0 en s'arrêtant à un certain terme, et qu'on retranche du résultat la somme de tous les termes que Ton a sautés, on trouvera le terme qui précède celui auquel on s'est arrêté, diminué de 1.

Par exemple : 0 + 1 + 3 + 84- 21 — 1 — 2 — 5 —13 = 12= 13 — 1.

De même, si on faisait la somme des termes 1, 2, 5, 13, ..., pris dans la suite de deux en deux, à partir de 1, et en s'arrêtant à un certain terme, et qu'on en retranchât les termes que l'on a sautés, on trouverait le terme qui précède celui auquel on s'est arrêté, augmenté de 1 ; par exemple :

31. Avec 8 poids pesant respectivement 1, 3, 9, 27, 81, 213, 729, 2187 grammes on peut peser à 1 gramme prés, en mettant au besoin des poids dans les deux plateaux de la balance, tout corps dont le poids ne dépasse pas 3280 grammes.

32. Tout nombre autre que 1 est ou bien une puissance de 3, ou bien une

MULTIPUCATION. 57

puissance de 3 augmentée ou diminuée de 1, on bien une somme de puissances de 3 toutes distinctes, ou bien une pareille somme augmentée ou diminuée de 1, ou bien la différence entre une puissance de 3 ou une somme de puissances de 3 toutes distinctes et une autre puissance de 3 ou la somme d^autres puissances de 3 toutes distinctes entre elles, ou encore une pareille différence augmentée ou diminuée del.

33. Trois personnes rangées dans un ordre déterminé ont à choisir chacune une des couleurs bleu, blanc, rouge. Elles ont devant elles une soucoupe contenant 10 jetons; elles ont en outre des jetons dans leurs poches. La personne qui a choisi le bleu, quelle qu'elle soit, ne touchera pas aux jetons de la soucoupe. Celle qui a choisi le blanc mettra dans la soucoupe 1,3 ou 9 jetons suivant qu'elle est la première, laseconde ou la troisième .Celle qui a choisi le rouge enlèvera 1, 3 ou 9 jetons suivant qu'elle est la première, la seconde ou la troisième. On demande de dire, d'après le nombre de jetons qui restent dans la soucoupe, quelle couleur a choisie chaque personne.

§ 3. — Multiplication.

73. La multiplication, les mots multiplicande, multiplicateur, facteur, produit, etc., ..., ont été définis aux n»' 17 et 18; nous n'y reviendrons pas, non plus qu'au sens du signe X. Nous préviendrons toutefois qu'on remplace quelquefois ce signe par un point avec le même sens; ainsi 3.4 ou 3 x4 veulent dire la même chose : la somme de 4 nombres égaux à 3. Enfin quand les facteurs sont représentés par des lettres, on peut écrire leur produit en les juxtaposant, sans aucun signe. Provisoirement, nous conviendrons d'écrire d'abord le multiplicande, puis le multiplicateur; ainsi aX b, a,b^ aà représentent le produit de a par A, la somme de b nombres égaux à a.

74. Pour multiplier une somme par un nombre^ on peut multiplier les parties de cette somme par le multiplicateur, et ajouter les produits partiels {*).

Soit, par exemple, à multiplier 5 -{- 7 -f* 2 par un nombre 3 (autre que un ou zéro) : c'est faire la somme de trois nombres égaux à 5 + 7+2: le résultat est 5 + 7 + 2 + 5 + 7 + 2 +5 + 7 + 2, ou, en changeant l'ordre des nombres à ajouter et en réunissant certaines parties de la somme,

ou encore

c'est ce qu'il fallait démontrer. La proposition résulte des définitions quand le multiplicateur est un ou zéro.

1. C'est cette propriété qu'on exprime en disant qae la multiplication est une opération dittributive.

fîa LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

Lorsque le multiplicande est la somme de deux nombres a, 6, le théorème s'exprime sous une forme condensée par Tégalité

(a + 6) c = flc + bc^

la parenthèse indiquant que la somme a -^ ^ ^oi^ ^^^^ regardée comme effectuée.

Inversement, si Ton a une somme de produits dans lesquels tous les multiplicateurs soient les mêmes, on peut remplacer cette somme par un produit unique dans lequel le multiplicateur est le même que dans les produits partiels et dans lequel le multiplicande est la somme des multiphcandes de ces mêmes produits partiels. Ainsi, la somme 5x3+7x3 + 2x3 peut être remplacée par le produit unique (5 + 7 + 2) X 3. C'est ce qu'on appelle mettre 3 en facteur. De même encore 5x3+3 peut être remplacé par (5 + 1) X 3, parce que le dernier terme 3 de la somme peut être regardé comme le produit de 1 par 3 (n* 18).

75. Dans un produit de deux facteurs^ on peut intervertir V ordre des facteurs.

Ainsi, en prenant un exemple où aucun des deux facteurs n'est un ou zéro, le produit de 4 par 5 est égal au produit de 5 par 4 : en d'autres termes, on obtient la même somme en ajoutant 5 nombres égaux à 4, ou 4 nombres égaux à 5.

C'est une conséquence du théorème précédent ; en effet, 4 est la somme de 4 unités,

pour multiplier cette somme par 5 , on peut multiplier chacune des parties par 5 : le produit de 1 par 5 est 5; on a donc

La proposition résulte des défmitions, quand l'un des facteurs est un ou zéro.

76. Pour multiplier un nombre par une somme^ on jyeut multiplier ce nombre par les parties de cette somme et ajouter les produits partiels*

Ce théorème est une conséquence évidente des deux propositions qui précèdent; il a d'ailleurs été démontré directement au no 20.

Pour multiplier par c la différence entre deux nombres a,b, on peut multiplier ces deux nombres par c et retrancher le second produit du premier.

Sous une forme condensée, on peut écrire

[a — b)c=:ac — bc.

Soit à multiplier 7 — 2 par 3 ; d'après la définition, il faut effectuer la somme

(7-2) + (7-2) + (7-.2); elle est égale (n^- 59, 61) à

ou encore à

Pour multiplier un nombre c par la différence de deux nombres a, 6, on peut multiplier c par chacun des nombres a, i, puis retrancher le second produit du premier.

Cette proposition, démontrée directement au n* 28, peut être regardée comme une conséquence du théorème précédent et de la possibilité d'intervertir les facteurs.

77. On a expliqué au n* 22 ce qu'il fallait entendre par un produit de plusieurs facteurs rangés dans un ordre déterminé. On doit faire le produit des deux premiers facteurs , le produit du résultat par le troisième, le produit du résultat par le quatrième, ..., jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs. Dans un tel produit, on peut remplacer toujours autant de facteurs que l'on veut, pris au commencement, par leur produit effectué.

Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir Vordre des facteurs.

Nous diviserons la démonstration en deux parties :

1* Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir Tordre des deux premiers.

Cela résulte de ce qu'il faut commencer par effectuer le produit de ces deux facteurs, et de ce que, dans un produit de deux facteurs, l'ordre est indifférent.

2« Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir l'ordre des deux derniers.

On peut se borner au cas où il n'y a que trois facteurs, car on peut toujours remplacer les facteurs qui précèdent les deux derniers par leur produit effectué. Dans le cas de trois facteurs, la démonstration est toute pareille à celle du n^ 75.

Considérons le produit 3 X 4 X 5 ; je dis qu'il est égal à 3 x 5 X 4.

En effet, pour effectuer le second produit, on doit effectuer d*abord le produit de 3 par 5, ou faire la somme de 5 nombres égaux à 3, c'est-à-dire la somme

on doit multiplier cette somme par 4 ; pour cela, on multipliera chacune des parties par 4, ce qui donne

cette somme comprend 5 termes tous égaux à 3 X 4, c'est donc (3 X 4) X 8 ou, ce qui revient au même, 3x4x3.

3* Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir Tordre de deux facteurs consécutifs, qui ne sont ni les deux premiers ni les deux derniers.

Soit, par exemple, le produit 7 X 3 X 4 X 5; je dis qu'il est égal à 7 X 4 X 3 X 5 : on a en effet

7x3x4 = 7x4x3, et en multipliant chacun de ces nombres égaux par 5, on trouve

4" Dans un produit d'un nombre quelconque de facteurs, on peut ranger les facteurs dans Tordre que Ton veut. Considérons en effet le facteur du produit que Ton veut amener au premier rang; en le changeant de place avec celui qui le précède, on le fait avancer d'un rang, sans changer la valeur du produit; on peut ensuite le faire avancer encore d'un rang, etc., jusqu'à ce qu'il soit arrivé au premier. On prendra ensuite le facteur qu'on veut amener au second rang et on l'y amènera de la même façon en le permutant avec celui qui le précède, etc.. Tous les facteurs peuvent ainsi être amenés .au rang prescrit.

Par exemple, si nous considérons le produit 7 X 4 X 3 X 5, je dis qu'on peut l'écrire 5x3x4x7. On a en effet

On n'a jamais interverti que deux facteurs consécutifs.

78. Dans un produit de plusieurs facteurs^ on peut remplacer tels facteurs que F on veut par leur produit effectué.

Soit, par exemple, le produit

Je dis qu'on peut y remplacer les facteurs 5, 3, 12 par leur produit effectué (5 X 3 X 12) et les facteurs 7, 13, 25 par leur produit effectué (7 X 13 X 25); en sorte que le produit pourra s'écrire, par exemple :

D'abord, on peut remplacer 5, 3, 12 par leur produit effectué : il suffît en effet de faire passer ces facteurs au premier rang et d'écrire le produit

dans le nouveau produit, qui ne contient plus que six facteurs, on fera passer de même les facteurs 7, 13, 25 au premier rang et en supposant leur produit eff'ectué, on l'écrira

il n'y a plus que quatre facteurs ; en les intervertissant convenablement, on aura mis le produit sous la forme demandée.

Inversement, dans un produit de facteurs, où certains facteurs sont eux-mêmes des produits de facteurs mis entre parenthèses, on peut supprimer les parenthèses, puisque, ensuite, on pourrait les rétablir, c'est-à-dire remplacer certains facteurs par leur produit effectué.

79. Pour multiplier un produit de plusieurs facteurs par un nombre^ il suffit de multiplier Vun des facteurs par ce nombre.

Soit, par exemple, le produit 7x4x5x6à multiplier par 12. Il suffira de remplacer le facteur 4 par 4 X 12 ; en effet le produit cherché peut s'écrire

(7x4x5x6)Xl2 = 7x4x5x6xl2

80. Pour multiplier tin nombre par un produit de facteurs^ on peut multiplier ce nombre successivement par les facteurs du produit.

Soit, par exemple, 7 à multiplier par (12 X 3 X 5) ; le produit est égal à 7 X (12 X 3 X 5) et, en supprimant les parenthèses, à 7 X 12 X 3 X 5 : c'est ce qu'il fallait démontrer.

81. Les puissances d*un nombre, les exposants ont été définis au n* 23, ainsi que les mots carré, cube d'un nombre.

Quand les facteurs d'un produit sont des puissances d'un même nombre, le produit est une puissance de ce nombre, dont texposant est la somme des exposants qui correspondent aux différents facteurs.

Soit, par exemple, le produit

composé de trois facteurs qui sont respectivement les puissances 1**™, 3'*"®, 2^*"*' du nombre 5 ; je dis que ce produit est égal à une puissance de 5 dont l'exposant est 1 + 3 + 2. En effet, en recourant à la définition, on voit qu'on peut écrire ce produit

Dans chaque parenthèse, il y a autant de facteurs égaux à 5 qu'il y a d'unités dans l'exposant du facteur correspondant (^). En supprimant les parenthèses, on aura un produit contenant 1 -|- 3 -{- 2 facteurs égaux à 5, c'est-à-dire

c'est ce qu'il fallait démontrer.

Considérons le cas particulier où tous les facteurs du produit seraient la même puissance du même nombre ; soit, par exemple, le produit

Ce produit est par définition le cube de 5', et d'a.près ce qu'on vient de dire, il est égal à une puissance de 5 dont l'exposant serait 2 + 2 + 2 = 2x3. On a donc

Ainsi, pour élever une puissance d'un nombre a à une certaine puissance, il suffit de multiplier par V exposant de cette puissance t exposant du nombre a.

Pour élever un produit de plusieurs facteurs à une certaine puissance, il suffit d'élever à cette puissance chacun des factew*s.

1. On rappelle que quand il n'y a pas d'exposant, celui-ci doit être regardé comme égal à l'unité.

MULTIPUCATION. 63

Soit, par exemple, à élever au cube le produit 5 x 7 x 4 : on a

On a souvent à appliquer à la fois les théorèmes précédents ; comme, par exemple, dans Tégalité que voici, qui résulte immédiatement de ces théorèmes :

82. Les théorèmes des n®* 74, 76 permettent de remplacer le produit de deux facteurs dont Tun est une somme ou une différence par une somme ou une différence de produits partiels. Ainsi on a

{a + b)c = ac -{- bc^ {a — b)c = ac — bc\

mettre les produits qui figurent dans les premiers membres sous les formes qui apparaissent dans les seconds membres, c'est développer ces produits.

On peut à Faide de ces théorèmes trouver des expressions intéressantes pour le produit de deux facteurs dont Tun et l'autre sont une somme ou une différence, pour le carré d'une somme ou d'une différence.

Soit, par exemple, à multiplier la somme a -\- b par la somme c -\- d. On pourra multiplier a -\' b par chacune des parties c, d de la seconde somme et ajouter les résultats, ce qui donne

en remplaçant dans cette somme (a + b)c et (a + 6) d respectivement par ac + bc^ ad -j- bd, on obtient

{ac -f- bc) -f {ad + 6d) = ac + 6c + ad + W,

et, finalement, on a

(a + b) {c + d) = ac + bc + ad + bd.

Ainsi le produit d'une somme de deux nombres par une somme de deux nombres est égal à la somme des quatre produits obtenus en multipliant chaque partie de la première somme par chaque partie de la seconde. Remplacer le produit des deux sommes a -|- 6, c -{- d par cette somme de quatre produits, c'est développer le produit {a + b)(c + d).

83. Si on suppose que les nombres c, d soient respectivement égaux aux nombres a, b , Tégalité précédente devient

(a + b) (a + b) =: aa + ba + ab + bb.

Les produits (a -|- *) (^^ + *)» ^^i ** sont respectivement les carrés des nombres a + 6, a, 6 ; ils se représentent par (a + A)*, a*, b* ; les deux produits ba^ ab sont égaux, leur somme est le double de Fun d'eux et peut s'écrire a* X 2 ; on l'écrit (*) habituellement 2ab, que l'on énonce deux ab (deux fois ab). Avec ces notations, l'égalité qu'on vient d'obtenir devient

(a + *)• = a= + lab + 6« = a« + 6« + Ub,

Elle peut être remplacée par cet énoncé :

Le can^é de la somme de deux nombres est égal à la somme des cai^^és de ces nombres^ augmentée de leur double produit (*).

84. Considérons maintenant le produit de la différence des deux nombres a, b par la diff'érence des deux nombres c, d.

Pour multiplier la difi*érence a — b par le nombre c — rf, on peut multiplier chacun des nombres a, b par c — d et faire la différence des produits, ce qui donne

a{c — d) — b{c — rf).

Mais les produits a[c — d), b{c — d) sont respectivement égaux à ac — ad, bc — bd ; la différence de ces produits est donc la différence entre les nombres ac — ad, bc — bd\ pour effectuer cette différence on peut ajouter bd au nombre ac — ad^ et retrancher bc du résultat (n* 60), oh a ainsi fmalement

(a — b) {c — d) =z ac — ad-\- bd — bc\

remplacer le premier membre par le second, c'est développer ce premier membre.

1. Si l'on adopte leg conventions du n* 22. iab signifie le résultat obtenu en multipliant 2 successivement par aet b\ mais rien n'empêche de regarder dans 2a6 le produit ab comme effectue, et, puisqu'on peut intervertir Tordre des facteurs 2 et a6, de regarder 2ad comme le produit de a^par 2, au lieu de le regarder comme le produit do 2 par ab.

Remarquons encore que, au n* 73, on a dit quo, dans un produit de deux ou plusieurs facteurs on pouvait supprimer le signe de la multiplication (X), quand les facteurs étaient représentés par des lettres. Il n'y a pas d'inconvénient à supprimer ce signe quand Fun des facteurs est écrit en chiffres ; c'est ce qu'on fait habituellement et l'on place d'ordinaire ce facteur (dit numérique) on tête du produit : ainsi on écrit 2a avec le sens de 2 x a* ou de a X 2 ; on énonce deux a.