Uéquation

ou n est un nombre donné et x, y deux nombres inconnus, admet n + 1 systèmes distincts de solutions. Par exemple, si n est égal à 3, on a les 4 solutions : x = 0,y = S; a:==l,.y = 2;a: = 2,j/=I; x = 3,y = 0.

20. On considère la suite des nombres 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 18, 21, ..., obtenus de la façon suivante : les deux premiers termes sont les nombres 0, 1; chacun des suivants s'obtient en faisant la somme des deux termes qui le précèdent. Calculer les trente premiers termes de cette suite.

Cette suite reviendra souvent dans la série des exercices. On la désignera sous le nom de 9uiie de Vexercice (20), et Ton en désignera habituellement les termes par Ut, Kf, Ut, -.., Un^ ..; on suppose Uo = 0, tii = 1, U|= 1, ..., en sorte qu'elle est définie par Végalité

qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de rt à partir de 0, et par les deux égalités

«0 = 0, wi = l;

ii„ est le (n -\- l)i*n»ô terme de la suite. La question actuelle est un simple exercice numérique : on demande de calculer

31. Démontrer que, dans la suite qu'on vient de définir, la somme des premiers termes consécutifs, augmentée de 1, est égale au terme qui suit de deux rangs le terme auquel on s'est arrêté.

Je donne ici une démonstration de cette proposition, parce qu'elle fournit un exemple simple d'un procédé très souvent employé en mathématiques. On vAHfie d'abord sur les premiers termes connus, 0, 1, 1, 2, 3, ..., l'exactitude du théorème; ainsi, la somme des deux premiers termes 0 et 1, augmentée de 1, est 2; la somme des trois premiers termes, augmentée de 1, est 3, et à la rigueur la première vérification suffit. Puis, admettant que la loi est vraie pour les n premiers termes de la suite, on démontre que, par cela même, elle est vraie pour les n -f 1 premiers termes; dès lors, étant vraie, comme on l'a vérifié, pour les deux premiers termes, elle est vraie pour les trois premiers, pour les quatre, cinq,... premiers; elle est toujours vraie (•).1

Dans le cas actuel, admettons que le théorème énoncé soit vrai pour les n premiers termes de la suite, le terme auquel on s'arrête est alors u^^. Celui qui le suit de deux rangs est ti^^p et l'on a, par hypothèse :

(1) «,.+i = wo + Wi + «! + -.. + «<„«i + i;

1. Une équation est une égalité indiquant certaines opérations à faire sur un ou plusieurs nombres inconnus, représentés habituellement par les lettres x, y,... L'égalité n'est vraie que pour certaines Taleurs attribuées à ces lettres : un système de valeurs qui, attribuées aux inconnuM, vérifient l'équation est un système de solutions, ou plus brièvement une solution ; deux solutions sont distinctes si l'une des inconnues, au moins, ne se trouve pas avoir la même valeur dans ces deux solutions.

2. Ce prooédé de démonstration a déjà été appliqué dans la note àji n* 48.

il faut démontrer que cette égalité et la définition de la suite entraînent Tégalité

"ii + 2 = "0 + «1 -f M» + ... + «n-1 + "n + ^•

C'est ce qui devient évident en ajoutant u^^ aux deux ternies de Tégalité (1) et ou remarquant que le nombre u^^ + u„ • j qui s'introduit dans le premier nombre est égal à u„ • g, en vertu de la définition de la suite. '

Ce procédé de démonstration est ù'ii procédé dCinduclion,

22. On forme le triangle suivant, dit triangle arithmétique de Pascal :

d'après la loi que voici : en dehors des nombres 1 qui remplissent la première colonne verticale et qui terminent chaque ligne horizontale, chaque nombre du triangle est égal à la somme du nombre qui est immédiatement au-dessus de lui et du nombre qui précède ce dernier, sur la même ligne horizontale. Si l'on numérote les lignes horizontales, en descendant, au moyen des numéros 0, 1, 2, 3, ..., et les lignes verticales, en allant de gauche à droite, au moyen des mêmes numéros, si enfin on convient de représenter le nombre du triangle de Pascal qui est situé à la fois dans la ligne qui porte le numéro n et dans la colonne qui porte le numéro p,

par le symbole C^, où il est bien entendu que le nombre p, placé en haut, est un simple numéro d'ordre, non un exposant, la loi précédente peut s'exprimpr par la

formule C^îi = Cj| -f gJ[. — Compléter le triangle jusqu'à la ligne qui porterait le n* 10.

23. Dans une ligne quelconque du triangle de Pascal, les termes à égale distance des extrêmes sont égaux.

Dans chaque ligne horizontale, la somme des termes est double de la somme des termes de la ligne horizontale précédente.

La somme des termes de la ligne horizontale qui porte le n* n est égale à 2'\ On peut donc écrire :

Un nombi*e quelconque du triangle de Pascal est égal à la somme des termes placés au-dessus de lui dans la colonne verticale précédente.

Si l'on fait la somme des termes contenus dans une parallèle à l'hypoténuse du triangle, à partir de l'un des nombres 1 qui figurent à gauche, on trouve le nombre du triangle qui est immédiatement au-dessous de celui auquel on s'est arrêté.

Dans une ligne quelconque du triangle de Pascal, la somme des termes de rang impair est égale à la somme des termes de rang pair : dans la ligne qui porte le

numéro n, chacune des sommes est égale à 2

24. Dans la suite de l'exercice 20, il y a au moins quatre et au plus cinq termes d'un nombre de chiffres donné plus grand que 1.

§ 2. — Soustraction.

53. La soustraction a déjà été définie au n« 24 et Ton y a expliqué sa signification concrète. Reprenant cette définition sous forme abstraite, je dirai :

Deux nombres aei b étant donnés^ teU que le premier soit plus grand que le second^ on appelle différence entre ces deux nombres un troisième nombre qui^ ajouté au second, reproduise le premier. Il n'y a qu'un seul nombre qui jouisse de cette propriété, puisque, en ajoutant deux nombres différents à un même Dombre, on trouve deux nombres différents (n* 16). L'opération qui consiste à trouver cette différence s'appelle soustraction : la différence s'appelle aussi reste, et quelquefois complément de 6 à a; elle se représente par a — b. On peut dire encore que retrancher (ou soustraire) b de a, c*est séparer a en deux parties dont l'une soit b ; l'autre est la différence cherchée.

Si les deux nombres a, b sont égaux, leur différence est 0. Si b est plus grand que a, on ne peut pas retrancher b de a.

Si d est la différence entre a et b^ on peut écrire indifféremment

d = fl — A, a = b-\-d.

54. On a souvent à faire sur des nombres donnés, des additions et des soustractions qui doivent se suivre dans un ordre déterminé. Considérons, par exemple, l'expression

les opérations doivent se faire, dans l'ordre indiqué, en allant de gauche k droite : et l'expression précédente veut dire qu'on retranche 5 de 8, qu'on ajoute 12 au résultat, puis qu'on retranche 4, puis encore 3, puis que l'on ajoute 7, puis que, enfin, on retranche 9. On verra plus tard qu'il y a d'autres moyens de calculer cette expression.

Quelquefois les nombres que l'on doit ajouter ou retrancher sont eux-mêmes les résultats d'additions ou de soustractions, que l'on veut mettre en évidence; on se sert alors de parenthèses (n*» 12). Par exemple, les expressions

veulent dire : la première, qu'on doit ajouter à 8 la différence entre 12 et 5; la seconde, qu'on doit retrancher de 8 la différence entre 12 et 5. Les opérations indiquées entre parenthèses doivent toujours être regardées comme effectuées.

S5. Rappelons cette proposition sur laquelle on a déjà appelé l'attention :

Ëtant donnée une somme de plusieurs nombres, pour retrancher

a LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

de cette somme un de ces nombres, il suffit d'en efifacer ce nombre et de faire la somme de ceux qui restent.

Soit, par exemple, la somme a + * + ^» j^ dis que si Ton en retranche A, la différence sera a -{r c; on a, en effet, en vertu des propriétés démontrées ou admises pour Taddition,

a + c est donc le nombre qu'il faut ajouter à b pour obtenir la somme a'\'b-\-c, c'est donc la différence entre cette somme et b, 56. En particulier, on a

on a de même, en supposant b inférieur ou égal à a,

en effet, d'après la définition de la soustraction, on a

mais 6 + (« — ^) ©st la même chose que (a — 6) + 6 ou que a — b-\- b : la proposition est donc démontrée.

En d'autres termes : on ne change pas un nombre a en lui ajoutant un nombre b et en retranchant ensuite 6, ou bien en retranchant d'abord b et en ajoutant ensuite b. Ces propositions sont d'ailleurs bien évidentes quand on se reporte à la signification concrète des opérations; il en est de même de plusieurs autres, qui suivent, comme le lecteur ne manquera pas de s'en apercevoir; mais on verra plus tard qu'il y a grand avantage à tirer les démonstrations des seules définitions.

Les propositions que nous venons d'établir montrent que, si, dans une suite d'additions et de soustractions, on se trouve avoir à ajouter et à retrancher successivement le même nombre, ou bien k retrancher et à ajouter successivement le même nombre, on peut se dispenser de faire l'une ou l'autre opération.

Soit, par exemple, l'expression

on doit ajouter 3 à 7, puis retrancher et ajouter 4, ce qui ne change rien ; on aura ensuite à retrancher 5 et à ajouter 6 ; on aura donc le même résultat en calculant l'expression

S7. Rappelons encore, pour en présenter la démonstration sous forme abstraite, et pour le compléter, le théorème du numéro 30.

!• 5t Fan peut retrancher d'un nombre a la somme de deux autres b et r, on pourra retrancher successivement de a les nombres b et c et le résultat final sera le même. Cette proposition peut se traduire sous une forme condensée, par Tégalité

a — (A -1* c) = fl — b — c,

qui suppose que la somme b'{-c est inférieure ou égale à a ; le théorème exprime que Ton peut retrancher b de a, puis c de la différence a — 6, et que le nombre ainsi obtenu est le même que la diffé-

rence entre a et i + ^•

2* Si Von peut retrancher d*un nombre a, successivement, les deux nombres b et c, on peut tout aussi bien retrancher de a la somme b-^c des deux nombres, et le résultat final est le même. C'est ce qu'on exprime d'une façon condensée en écrivant l'égalité

a — b — c= fl — (^ + 0»

qui suppose que b est inférieur ou égal à a, que c est inférieur ou égal à a — A : et le théorème affirme que, dans ces conditions, la somme 6 -|- c est inférieure ou égale à a et que la différence entre a eib'{'C est égale à la différence entre a — b etc.

1^ Supposons b-^c inférieur ou égal à a et soit d la différence entre a et 6 + c, on aura

az=d + {b + c)=d + b + c;

en retranchant 6 de a ou de d-\-b-\-c, on obtient (f-fc (n« 55); en d autres termes on a a — é=rrf + ^î ^^ retranchant ensuite c de a — b onde d-^-c, on obtient d; on a. donc

ce qu'il fallait démontrer.

2* Supposons qu'on puisse retrancher successivement de a les nombres b et c, et soit d le résultat : d s'obtient en retranchant c de a — b\ en d'autres termes, on a

a — 6=rd-f.c;

dire que la différence entre a eib esid-\- c, c'est dire que a est la somme de b eided'\'C; en d'autres termes, on a

i6 LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

et cette égalité veut dire que d est la diflFérence entre a et c + 6 ou 6 -j- c ; c'est ce qu'il fallait démontrer.

58. Nous établirons maintenant la proposition suivante dont le numéro 56 contient un cas parJLiculier.

On obtient le niéme résultat en retranchant <fun nombre a le nombre h et en ajoutant ensuite le nombre c, ou bien en ajoutant d'abord au nombre a le nombre c et en retranchant b du résultat.

Ce théorème, qui suppose évidemment b inférieur ou égal à a, s'exprime, sous une forme condensée, par Tégalité

Le premier membre est la somme de a — 6 et de c ; le second membre s'obtient en faisant la somme de a et de c puis en retranchant b ; mais, puisque a est la somme de a — 6 et de A, a-^-c peut être regardé comme la somme des nombres a — 6, ô, c; pour retrancher b de cette somme, il suffit (n° 5S) de faire la somme de a — b et de c ; la proposition est donc démontrée.

59. Pour ajouter à un nombre a la différence entre deux nombres b et c {dont on suppose que c est inférieur ou égal à 6), on peut ajouter b à a et retrancher c du résultai ; on peut aussij dans le cas oit c nest pas plus grand que a, commencer par retrancher c de a, puis ajouter b au résultat.

Ces théorèmes énoncés peuvent se traduire, sous une forme condensée, par les égalités

la première suppose seulement que c est inférieur ou égal k b; la seconde suppose, en outre, que c est inférieur ou égal à a. Il suffira évidemment de démontrer le premier théorème, puisqu'on vient de prouver que a-f-é — ceta — c-f-i sont le même nombre.

Or, pour eflFectuer l'expression a-f- A — c on doit d'abord faire la somme de a et de A, puis retrancher c; mais b est égal à la somme de b — cetde e; a + ^ peut donc être (n* 14) regardé comme la somme des trois nombres a, b — c, c; pour retrancher c de cette somme, il suffit de faire la somme des deux premiers a et i — c\ or cette somme est bien le premier membre de l'égalité à démontrer.

Exemple : 25 est la diflFérence entre 30 et 5. On obtient le même résultat 125 en ajoutant 25 à 100, en ajoutant 30 à 100 puis en retranchant 5, ou en retranchant 5 de 100 et en ajoutant ensuite 30.

60. Pour retrancher d^un nombre a la différence b — c entre deux

nombres b et c, on peut ajouter c à a et retrancher b du résultat^ ou bien, si b est inférieur ou égal à a, retrancher d'abord b de a, puis ajouter c.

Ces théorèmes s'expriment par les égalités

elles supposent toutes deux c inférieur ou égal k b^ et ô — c inférieur ou égal à a; la seconde suppose en outre b inférieur ou égal à a. Il suffira de démontrer la première {n° 58). Si Ton désigne par d la différence entre a et 6 — c on aura (n<* 58)

a = d + (A — c) = * — c+rf = (A+rf) — c.

Il faut prouver que a-\-c — A est égal à 6^ : on forme o + c — A en ajoutant d'abord c h a ou k {b -^ d) — Cy ce qui donne b -^ d (n^ 36), puis en retranchant b du résultat, ce qui donne bien d comme on Tavait annoncé.

Exemple : 25 est la différence entre 30 et 5. On obtient le même résultat 75 en retranchant 25 de 106, ou en ajoutant 5 à 100 et en retranchant ensuite 30, ou encore en retranchant 30 de 100 et en ajoutant ensuite 5.

61. Considérons maintenant une expression dans laquelle on a à effectuer, dans un certain ordre, des additions et des soustractions; on suppose, bien entendu, que ces opérations peuvent être effectuées dans Tordre où elles sont indiquées; je dis qu'on parviendra au résultat cherché en faisant la somme de tous les nombres qui doivent être ajoutés, puis la somme de tous les nombres qui doivent être retranchés et en soustrayant la seconde somme de la première.

Pour avoir la valeur de l'expression 8 — 5 + 12 — 4 — 3 + 7 — 9, par exemple, on peut faire la somme 8 + 12 + 7eten retrancher la somme 5 + 4 + 3 + 9. En effet, on doit d'abord calculer l'expression 8— 5 + 12, qui, d'après le théorème du n* 58, est égale à 8 + 12 — 5; du résultat on doit retrancher 4, ce qui donne 8 + 12 — 5 — 4 : cette dernière expression s\)btient en calculant la somme 8 + 12 et en en retranchant successivement 5 et 4, ou, ce qui revient au même (n* 57), en en retranchant la somme 5 + 4; en d'autres termes, on a

on doit ensuite retrancher 3 du résultat ; le résultat peut s'obtenir en retranchant de 8 + 12 successivement 5 + 4 et 3, ou, ce qui revient

au même, en retranchant de 8 -f- 1*2 1& somme 5 4* ^ + 3 ; ^n d'autres termes, on a

on doit ensuite ajouter 7 au résultat; mais on obtient le même résultat en retranchant d'abord de la somme 8 + 12 le nombre 5 + 4 + 3 et en ajoutant ensuite 7, ou en ajoutant d'abord 7 à 8 + 12 et en retranchant ensuite 5 + 4 + 3 ; on obtient ainsi

on a enfin k retrancher 9 du résultat : mais on obtient le même résultat en retranchant successivement du nombre 8 + 12 + 7 les nombres 5 + 4 + 3 et 9 ou en retranchant leur somme 5 + 4 + 3 + 9; en d'autres termes, on a bien

comme on l'avait annoncé. Le raisonnement est général et Ton n'a jamais, pour l'achever, qu'à appliquer les théorèmes des n^^ 56-60, de manière, dans les opérations successives, à amener toujours au commencement les nombres à ajouter et à la fin les nombres à retrancher.

62. II ne sera peut-être pas inutile d'indiquer une démonstration concrète du théorème précédent, qui a l'avantage d*être directe et de se généraliser facilement. Figurons, sur une feuille de papier, 8 points, barrons-en 5 ; le nombre de ceux qui restent est 8 — 5 ; ajoutons 12 nouveaux points, il y en aura 8 — 5 + 12 qui ne sont pas barrés; barrons-en 4, puis encore 3, il en restera 8 — 5 + 12 — 4 — 3; ajoutons-en 7, il y en aura 8—5 + 12—4—3+7; barrons-en 9 ; il en restera 8 — 5+12 — 4 — 3 + 7 — 9. C'est le nombre cherché : d'ailleurs, il est clair qu'on a figuré en tout 8 +12 + 7 points et qu'on en a barré 5 + 4 + 3+9; le nombre de points non barrés est donc (8 + 12 + 7) — (5 + 4 + 3 + 9) (>).

La même proposition apparaît encore d'une façon presque évidente en se plaçant au point de vue d'un commerçant : recevoir 8 francs, en payer 5, recevoir ensuite 12 francs, en payer 4, puis 3, en recevoir 7, enfin en payer 9» c'est la même chose que de recevoir, en une fois, 8 francs, 12 francs»

1. M. Dorlet, professeur au Ijrcée de Roanne, m'a fait remarquer que ce procédé de démonstration, en rangeant successivement dans une colonne les pointa qui figurent les nombres à ajouter, dans une autre les points qui figurent les nombres à retrancher, et en barrant, à chaque fois, tous les points qui subsistent dans une colonne, et autant de points dans l'autre, permettait d'établir rapidement la proposition analogue d'algèbre, pour lea nombres positifs ou négatifs. On peut consulter sur ce sujet l'excellent Traité d'Arithmétique de M. Humbert (Paris, Nonjr, 1893).

7 francs ou 8+ 12 + '7 francs et de payer ensuite, en une fois, 5 francs, 4 francs, 3 francs, 9 francs ou 5 + 4 + 3 + 9 francs ; c'est alors la différence

qui reste an commerçant.

63. En résumé, une suite d'additions et de soustractions revient à deux additions et à une soustraction finale : dans les additions, les nombres peuvent être ajoutés n'importe dans quel ordre ; il en résulte que les additions et les soustractions peuvent se faire dans n'importe quel ordre — dans un ordre, toutefois, qui permette de les faire — pourvu que ce soient toujours les mêmes nombres que Ton ajoute, les mêmes que Ton retranche : par exemple, on a

8 — 5 + 12 — 4 — 3 + 7 — 9 = 7 + 8— 5 — 3 — 4 + 12 — 9, car les deuic expressions sont respectivement égales à (8 + 12 + 7) — (5 + 4 + 3 + 9) età (7 + 8 + 12) — (8 + 3 + 4 + 9); mais on ne pourrait pas écrire

car la seconde expression n'a pas de sens.

Cette possibilité de changer l'ordre des additions et des soustractions permet de rapprocher, s'il en existe, une addition et une soustraction qui porteraient sur le même nombre et d'éviter, par conséquent, l'une et l'autre (n** 56). Par exemple, on a

64. Si Von a deux sommes d'un même nombre de termes et si les termes de la première somme sont supérieurs ou égaux aux termes de la seconde y pour retrancher la seconde somme de la première, on peut retrancher chaque partie de la seconde somme de la partie cofTespondanle de la première, et ajouter ensuite les différences partielles obtenues.

Considérons, par exemple, les sommes

je dis que leur dififérence est égale à la somme des différences 12 — 10,

8 — 5, 7 — 7, 4 — 3. En effet, pour ajouter la différence 8 — 5 à 12 — 10, on peut ajouter 8 et retrancher 5, et l'on obtient ainsi 12 — 10 + 8 — 5; pour ajouter 7 — 7 au résultat, on peut ajouter 7 et

TAlfMBRT, 4

retrancher ensuite 7, ce qui donne 12 — 10 + 8 — 5 + 7 — 7; enOn en ajoutant encore 4 — 3, on aural2 — 10 + 8 — 5 + 7 — 7+4 — 3, ce qui, d'après ce qu'on vient de démontrer, est égal à

c'est ce qu'il fallait établir.

65. On, ne change pas une différence en augmentant d'un même nombre les deux nombres qu'on doit retrancher l'un de l'autre.

Ce théorème s'exprime par l'égalité

qui suppose naturellement a supérieur ou égal k b. On a, en effet, en vertu des propositions antérieures,

On peut aussi diminuer d'un même nombre les deux nombres qu'on doit retrancher l'un de l'autre.

66. Voici encore quelques conséquences faciles relatives aux inégalités.

Quand on retranche d'un nombre un autre nombre qui n'est pas nul, on le diminue. Quand on retranche d'un même nombre deux nombres différents, on obtient deux résultats différents et la plus grande différence s'obtient en retranchant le plus petit des deux nombres.

Soit à retrancher du nombre a les deux nombres b, c et supposons A < c ; je dis qu'on aura

en supposant bien entendu que les soustractions puissent se faire. En effet, si c est plus grand que b, soit d la différence c — b: on aura

puis (n® 57)

a — c =^a — b — rf,

mais le nombre a — b — d s'obtient en retranchant (/, qui n'est pas nul, de a — A, on a donc bien

On démontrerait d'une façon analogue, que, si deux nombres sont différents, on obtient deux résultats différents en en retran-

chant un même nombre ; la plus grande différence correspond au plus grand nombre*

Enfin, si Ton a

on aura

en supposant que les soustractions indiquées puissent se faire, car on a, d'après les propositions qu*on vient d'établir ou d'énoncer,

67. Étant donnée une suite de nombres rangés dans un ordre tel que chacun d^eux soit supérieur au précédent, la différence entre le dernier et le premier est égale à la somme des différences entre chacun des nombres et celui qui le précède.

Si, par exemple, on considère la suite

la différence 37 — 3 = 34 est égale k la somme des différences

En effet, le second nombre est égal au premier, plus la différence entre le second et le premier; le troisième nombre est égal au second augmenté de la différence entre le troisième et le second, c'est-à-dire au premier augmenté de la différence entre le second et le premier et de la différence entre le troisième et le second ; de même, le quatrième sera la somme du premier nombre, de la différence entre le second et le premier, de la différence entre le troisième et le second, de la différence entre le quatrième et le troisième. Enfin, le dernier nombre sera égal au premier augmenté de la somme des différences entre le second et le premier, entre le troisième et le second, ..., entre le dernier et Favant-dernier.

Dans le cas de trois nombres, on a la conséquence que voici : la différence entre un nombre compris entre deux autres, et l'un ou lautre de ces nombres est plus petite que la différence entre ces deux derniers nombres.

68. Ëtant donnée une suite de nombres, ou termes^ tels que chacun d'eux s'obtienne en ajoutant un même nombre au précédent, on dit que ces nombres forment une progression arithmétique. Le nombre qu'il faut ajouter à chaque terme de la progression arithmétique

pour obtenir le suivant, ou, si Ton veut, la différence entre chaque terme de la progression et le précédent, s'appelle raison de la progression.

Ainsi les nombres consécutifs

forment une progression arithmétique dont la raison est un ; les nombres

forment une progression arithmétique dont la raison est deux.

69. Il résulte du n* 67 que, si l'on considère un nombre compris entre deux termes d'une progression arithmétique, la différence entre ce nombre et chacun des deux termes qui le comprennent est moindre que la raison, tandis que la différence entre le même nombre et n'importe quel autre terme de la progression est plus grande que la raison.

Soit, par exemple, la progression arithmétique dont la raison est 5 :

Le nombre 19 est compris entre 17 et 22; il diffère de 17 ou de 22 d'un nombre moindre que 22 — 17 ou 5; sa différence avec 12 sera égale à la différence entre 19 et 17, augmentée de la différence entre 17 et 12, elle sera donc plus grande que 5, etc..

70. On appelle termes extrêmes dans une progression arithmétique le premier et le dernier, 7 et 32 dans l'exemple précédent. Le second terme et lavant-dernier, puis le troisième terme et celui qui précède Tavant-dernier, puis le quatrième terme et le terme qui précède celui qui précède Tavant-dernier, etc., sont dits également éloignés des extrêmes.

Dans une progression arithmétique^ la somme de deux termes également éloignés des extrêmes est toujours la même. Dans l'exemple précédent, on a ainsi

En effet, 12 et 27 se déduisent respectivement de 7 et de 32 en ajoutant et en retranchant 5 ; donc la somme de 12 et de 27 est la même que celle de 7 et de 32 ; 17 et 22 se déduisent respectivement de 12 et de 27 en ajoutant et en retranchant 5; donc la somme de 17 et de 22 est la même que celle de 12 et de 27 ou que celle de 7 et de 32 ; le raisonnement est évidemment général.

II résulte immédiatement de là que le double àh la somme des termes d'une progression arithmétique est égal à autant de fois la somme des termes extrêmes qu'il y a de termes dans la progression. Si, en effet, on écrit la somme des termes de la progression, puis au-dessous la somme de ces termes en ordre inverse, comme il suit,

el que Ton ajoute, en groupant ensemble les termes de même rang dans les deux sommes, on voit de suite qu'on obtient pour le double de la somme des termes, autant de fois la somme des termes extrêmes 7 + 32 qu'il y a de termes dans la progression»

71. Il reste à expliquer la pratique de la soustraction. Le problème est le suivant : deux nombres étant éaHts dans le système décimal, écrire leur différence dans le système décimal.

On sait par cœur les résultats obtenus en ajoutant à l'un quelconque des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 un nombre d'un chiffre, résultats qui sont tous inférieurs à 20 ; on en déduit immédiatement les différences obtenues en retranchant l'un des nombres 1, 2, 3, 4, ..., 10 d un nombre d'un chiffre, ou d'un nombre de deux chiffres dans lequel le chiffre des dizaines est 1, lorsque cette différence n'a qu'un chiffre ; ces résultats doivent être immédiatement présents k la mémoire.

Ceci posé, deux nombres étant écrits dans le système décimal, on reconnaît immédiatement par la règle du n<* 39 quel est le plus grand.

Il est aisé de trouver le chiffre des unités du reste et de ramener l'opération au cas où chacun des nombres donnés a un chiffre de moins ; en procédant ainsi de proche en proche, on parvient au résultat.

1*" Supposons que les deux nombres soient terminés par un zéro : soient par exemple les nombres 720 et 640 ; la différence cherchée s'obtient en plaçant entre 72 et 64, un zéro à la droite de la différence, qui est égale à 8.

Gela résulte immédiatement de la règle analogue relative à l'addition, ou si Ton veut du théorème du n^ 28.

2<* Supposons maintenant que le chiffre des unités du plus grand nombre soit égal ou supérieur au chiffre des unités du plus petit.

Soit, par exemple, à faire la différence entre 7897 et 6323 : on a, en séparant les dizaines et les unités,

on est d'ailleurs assuré (n* 39) que, dans le petit nombre, le nombre des dizaines est inférieur ou égal au nombre des dizaines du plus grand : on peut donc écrire (n<* 64)

La difiFérence 7 — 3 s'efiFectue immédiatement ; elle n'a qu'un chiflFre, elle est 4 ; le calcul de la difiFérence entre 7890 et fô20 s'effectue en calculant la difiFérence entre 789 et 632 et en plaçant un zéro à la droite ; puisqu'on doit ajouter 4 au résultat, on voit qu'il suffira de calculer la difiFérence entre 789 et 632, puis de placer un 4 à la droite du résultat; en d'autres termes 4 est le chifiFre des unités du reste cherché, et le nombre des dizaines de ce reste est 789 — 632. On est donc ramené à calculer cette difiFérence, sur laquelle on pourra raisonner de la même manière.

3* Supposons que le chifiFre des unités du plus grand nombre soit plus petit que le chifiFre des unités du plus petit. Le nombre des dizaines du plus grand nombre est nécessairement supérieur au nombre des dizaines du plus petit.

Soit, par exemple, à retrancher 8727 de 9543; on aura encore

puis, en ajoutant 10 aux deux nombres et en appliquant la proposition du n® 65,

la difiFérence 13 — 7 se calcule immédiatement, elle n'a qu'un chifiFre : elle est 6. On est donc ramené à efiFectuer la difiFérence entre 9540 et 8730, ou entre 954 et 873 ; cette difiFérence trouvée, on placera un 6 à sa droite, et on aura le résultat cherché ; en d'autres termes 6 est Je chifiFre des unités du reste cherché, et le nombre des dizaines de ce reste est 954 — 873.

Les explications qui précèdent justifient la règle suivante.

72. Bègie. — Pour retrancher un nombre b d'un nombre a, plus grand que 6, on écrit le nombre à sous le nombre a de manière que les chifiFres de b soient respectivement au-dessous des chifiFres de a qui expriment des unités du même ordre ; on tire un trait au-dessous de a ; c'est sous ce trait qu'on écrira chifiFre par chifiFre le reste de l'opération ; ces chifiFres se placeront respectivement au-dessous des chiffres de b qui représentent des unités du même ordre. On commence l'opération par la droite : on retranche, s'il est possible, le chiffre des unités simples de b du chiffre des unités simples de a, le

résultat est le chiffre des unités simples du reste ; si le chiffre des unités simples de b est plus fort que le chiffre des unités simples de a, on ajoute 10 à ce dernier chiffre, et Ton fait ensuite la soustraction ; la différence est le chiffre des unités simples du reste et Ton ajoute 1 au chiffre des dizaines de b. Du chiffre des dizaines de a, on retranche, s'il est possible, le chiffre des dizaines de b (augmenté de 1 dans le dernier cas) : le résultat est le chiffre des dizaines du reste ; si la soustraction est impossible, on augmente de 10 le chiffre des dizaines de a et Ton fait la soustraction, le résultat est alors le chiffre des dizaines du reste et Ton augmente d'une unité le chiffre des centaines de b ; du chiffre des centaines de a, on retranche, s'il est possible, le chiffre des centaines de b (augmenté de 1 danà le second cas) ; le résultat est le chiffre des centaines du reste ; si la soustraction est impossible, on augmente de 10 le chiffre des centaines de a, on fait la soustraction, et le résultat est le chiffre des centaines du reste ; on augmente alors d'une unité le chiffre des mille de i, etc. On continue de la même façon jusqu^à ce qu'on ait épuisé tous les chiffres de b ; quand on a retranché le dernier chiffre de b, on place à gauche de la partie écrite au reste le nombre formé par les chiffres (à gauche) non employés dans a, tel quel si la dernière soustraction partielle a été directe, et diminué de 1 si, pour la faire, il a fallu augmenter de 10 le chiffre de a qui correspond au chiffre des plus hautes unités de b.

Soit, par exemple, à retrancher 749752 de 58634564; on dispose Topération comme ci-dessous

et Ton dit 2 ôté de 4, il reste 2 ; 5 ôté de 6, il reste 1 ; 7 ôté de 15, il reste 8 et je retiens 1 ; 9 et 1 font 10 ; 10 ôté de 14, il reste 4 et je retiens 1 ; 4 et 1 font 5 ; 5 ôté de 13, il reste 8 et je retiens 1 ; 7 et 1 font 8 ; 8 ôté de 16, il reste 8 et je retiens 1 ; 1 ôté de 58 il reste 57. H est à peine utile de dire que la preuve de la soustraction se fait en constatant que le plus grand nombre est la somme du plus petit et du reste.

Exercices.

25. Pour retrancher un nombre a d*un autre nombre 6, on peut procéder comme il suit : soit 10 la plus petite puissance de 10 qui soit supérieure à a; on form^ d'abord la différence 10 — a, que l'on appelle souvent complément de a à 10 , H

suffit pour cela d'écrire un nombre a! ayant autant de chiffres que a et dont chaque chiffre, dans le cas où le dernier chiffre de a n'est par un 0, est le complément à 9 du chiffre de même rang dans a, sauf le dernier chiffre qui est le complément À 10.

On fait ensuite la somme a' -f 6 et Ton en retranche 10**.

Par exemple : a = 567803, b = 7854331,

26. La méthode précédente s'applique en particulier quand on a à faire à la fois des additions et des soustractions : on choisit une puissance de 10 supérieure à tous

les nombres qu'il faut retrancher, soit 10** ; on forme le complément de chacun de

ces nombres à 10** ; on ajoute tous ces compléments aux nombres à ajouter, ce qui

se fait en une fois; on retranche du résultat autant de fois 10** qu'il y avait de nombres à retrancher.

Exemple : Calculer a — 6 -f c — <?, en supposant

En posant 6' = 10* — 6 = 878488, rf' = 10» — d = 912775, on trouve