Les restes (mod. 6) des termes de la suite

se reproduisent périodiquement ; il eu sera de même évidemment des restes des termes de la suite

obtenus en ajoutant à chaque terme de la première suite le nombre entier a'; il est clair, en effet, que si deux nombres de Tune des suites sont congrus suivant le module b, il en est de même des termes correspondants de Tautre suite.

Si donc on désigne, comme précédemment, par h le plus petit nombre entier positif tel que son produit par a soit divisible par 6, la période des restes, pour la seconde suite, se composera de h termes comme pour la premi^re : toutefois, ici, on ne peut pas affirmer que Tun de ces restes soit nul.

En désignant par x, y deux nombres entiers quelconques, les deux nombres ax -r a\ay -\- a' seront congrus ou non (mod. 6), selon que x et y seront congi*us ou non (mod. h).

En particulier, si a et 6 sont premiers entre eux, la période des restes aura 6 termes, tous distincts : elle ne pourra être formée, ici encore, que des nombres 0, 1, 2, ..., b — 1. Les deux nombres ax + a', ay + a' seront congrus ou incongrus suivant le module 6, selon que les nombres or, y seront congrus ou non suivant ce même module.

505. On appelle système complet de nombres incongrus suivant le module b un système quelconque de b nombres dont deux quelconques sont incongrus suivant le module b ; tel est, par exemple, le système de nombres 0, 1, 2, ..., 5 — 1 ; d'ailleurs, comme un nombre quelconque est congru à l'un de ces nombres 0, 4, 2, ..., 6 — 1, il est clair qu^il ne peut pas y avoir plus de 6 nombres incongrus deux à deux suivant le module b. Cn système de b nombres entiers consécutifs est un système complet <le nombres incongrus (mod. 6).

La définition qu'on vient de donner, jointe aux remarques qui la précèdent immédiatement, conduit & la proposition que voici :

En supposant que a, a', 6 soient des nombres entiers et que a, b soient premiers entre eux, les 6 nombres que Ton obtient en remplaçant, dans l'expression ax -\- a', x par les éléments d un système complet de nombres incongrus (mod. b) forment eux-mêmes un système complet de nombres incongrus (mod. b). Parmi ces éléments, un seul est nul. Ainsi :

En désignant par a, b des nombres entiers premiers entre eux et par «' un nombre entier quelconque, il y a des valeurs entières qui, attribuées à x, donnent pour ax + a' un résultat congru à zéro (mod. b). Toutes ces valeurs sont congrues entre elles (mod. 6); en d*autres termes, si Xoesi rune d*elles, on les obtiendra toutes en donnant à x les valeurs comprises dans la formule a;o + mb, m étant un nombre entier quelconque.

^2. — Cong^ruences à une inconnue.

506. Une congraence peut être Tanalogue d'une équation, en ce sens qu'elle n'est vérifiée que par certaines valeurs attribuées à une ou plusieurs lettres, qu'on regarde comme des inconnues. On n'a pas donné à ces congruences de nom spécial. Bornons-nous aux congruences à une seule inconnue.

Une telle congruence sera, en général, de la forme

AoO?" -h Aïop"-» 4- ... -f A„ jX + A„ = 0 (mod. 6),

Aq, Aj, ..., An étant des nombres ^entiera donnés, ainsi que le module b. Une racine ou solution de cette congruence sera une valeur entière Xq attribuée à X telle que le nombre Ao.rJ + A,aîJ~* + ...-f A„iaro + A„ soit divisible par b. Il résulte évidemment du n"500 que si x^ est une racine de celte congruence, tous les nombres congrus kxQ (mod. 6) seront aussi des racines de celle même coftgruence ; ces racines ne sont pas regardées comme distinctes. Deux racines distinctes de la congruence doivent être incongrues (mod. b). On trouvera toutes les racines distinctes en prenant un système de nombres incongrus (mod. 6), par exemple 0, 1, 2, ..., b — 1, et en cberchant ceux de ces nombres qui vérifient la congruence.

507. Deux congruences sont équivalentes lorsqu'elles ont les mêmes racines. Il est clair que si, dans la congruence précédente, on remplace les coefficients Aq, A^, ..., A„ par des nombres qui leur soient respectivement congrus (mod. b), on obtiendra une congruence équivalente. En particulier on pourra remplacer les nombres A©, A,, ..., A„ par leurs restes respectifs (mod. 6). On pourra les ramènera être tous positifs et moindres que la valeur absolue de b; on reconnaît aussi bien qu'on peut les ramener à être,

en valeur absolue, au plus égaux à - : en effet, si 6 est impair, les 6 nombres consécutifs

I I> •••» *? tl, 1, 2, ..., ^r -— 1,

forment un sysli'*me complet de nombres incongrus (mod. b) ; chacun des nombres Aq» A,, ...,A„ se trouve donc être congru (mod. b) à Tun d'entre eux, qui n'est autre chose que son reste minimum (mod. 6). Si 6 est pair, la suite des b nombres successifs

formera encore un système complet de nombres incongrus. On voit aussi qu'on peut supprimer tous les termes de la congruence

CONGRUENCES A UNE INCOiNNUE. 461

doDt les coefficients sont divisibles par 5. Le degré de la congruence est le de^é du terme le plus élevé dont le coefficient ne soit pas divisible par 6. On voit encore qu'on déduit d'une con^Tuence une congruence équivalente en multipliant les deux membres par un même nombre premier an module. En -d'autres termes, si l'on désigne par a un entier premier à b, la congruence

«Ao-r" + aiAi.r""* -f ... + «A„,aî + «A„ - 0 (mod. 6)

sera équivalente à la proposée. En effet, il est clair que toute racine de la proposée satisfera à celle qu'on vient d'écrire; réciproquement, toute racine de cette dernière vérifiera la première, car si Xq est une telle racine, le nombre «(Ao^'ï -f Ajorï""* -f- ... + A„ia?o + A„) devra être divisible par 6, et comme b est premier à «,.6 devra diviser le nombre A(rrJ -f- Ajarï""* + ... + A„,ar„ -f- A„ ; en d'autres termes, on aura

AX + A,»?-"* + ... + K-i^o+^n — 0 (mod. 6),

ce qu'il fallait démontrer. De même, si tous les coefficients Aq, ..., A„ sont divisibles par un même nombre a, premier à 6, on pourra supprimer partout le facteur «, et la nouvelle congruence ainsi obtenue sera équivalente à la précédente. Cette réciproque est, en effet, impliquée par le tbéorème direct. En particulier, on pourra changer les signes de tous les termes d'une congruence.

50S. Nous avons, dans ce qui précède, tout ce qui est nécessaire pour traiter des congruences du premier degré à une inconnue.

Une pareille congruence est de la forme

ax +a' ^ 0 (mod. 6),

a, 6, a' étant des nombres entiers donnés. Supposons d'abord que a et 6 soient premiers entre eux. Nous savons qu'une pareille congruence admet une racine et une seule. On la trouvera en mettant successivement & la place de x les éléments d'un système complet de nombres incongrus suivant le module 6 : il y en aura certainement un et un seul qui vérifiera la congruence; on s'arrêtera dès qu'on l'aura trouvé. Ces essais se font très rapidement si le nombre b n'est pas très grand; pn ramènera a à être au

plus égal à -, et on essaiera b nombres consécutifs; après en avoir essayé

un, on ajoutera a au résultat de la substitution, ce qui reviendra à essayer le suivant; on ramènera d'ailleurs toujours, en retranchant, s'il y a lieu, des multiples de 6, les résultats de la substitution à être positifs et plus

petits que 6, ou, si Ton préfère, à être au plus égaux à -, en valeur absolue. Soit, par exemple, à résoudre la congruence -

'21ar4- 5^ 0 . (mod. «9);

elle équivaut à la congruence

— 8aî+ 5 ^0 (mo(1.29), puisque 21 est congru à — 8 (mod. 29) ; elle équivaut encore à la congruence