r — 5 = 0 (mod

On remplacera successivement dans le premier membre x par 0, 1, 2, ..., 28 : en appliquant la. règle précédente, c'est-à-dire en ajoutant 8 après chaque essai et en réduisant les résultats, s'il y a lieu, on trouve successivement les nombres

Le dernier nombre provient de la substitution de 26 ^ — 3 (mod. 29). Par conséquent — 3 est une solution de la congruence proposée: toutes les racines s'obtiendront en ajoutant à — 3 au multiple de 29.

509. On remarquera que la recherche d'une racine x de la congruence proposée

2ia? + 5^0 (mod. 29)

équivaut à la recherche d'un système de nombres entiers x, y qui vérifient l'équation

à chaque racine de la congruence correspond une solution o^q, y^ de Téquation; inversement, si x^^ yo est une solution de Téquation, Xq est une racine de la congruence.

Les diverses racines de la congruence sont données par la formule — 3 + 29m, m étant un nombre entier quelconque ; à chacune de ces racines correspond une valeur de y déterminée par l'équation

2I(— 3+29m) +5 = 29y ou

— 38+21 X 29m = 29y, d'oii

toutes les solutions de l'équation

%ix + 29y + 3 = 0,

en nombres entiers, sont donc données par les formules

Ou voit de suite que les solutions en nombres entiers de Téquation

qoi se déduit de la précédente en changeant yen — y, sont de même données par les formules

a? = — 3 + 29m, y = 2 — 2im,

où m est un entier quelconque.

Ces résultats se généralisent immédiatement, et Ton arrive aux conclusions suivantes.

Soit

aa: + 6y + c = 0

une équation du premier degré à deux inconnues et dans laquelle les ooefficients a, 6, c sont des nombres entiers : si les coefflcients a, 6 sont premiers entre eux, on peut satisfaire à cette équation en donnant k x, y des valeurs entières : si â?0) Vo ^^^ ^^^ solution en nombres entiers, toutes les solutions seront données par les formules

.t=zXq + mb, y =:yQ-^ ma,

où m est un entier quelconque.

Kn supposant toujours a et 6 premiers entre eux, la résolution de la congruence

ax ^ i (mod. 6)

olTre un intérêt particulier : si on en connaît une racine x = ao, on en déduira immédiatement une racine de la congruence

ax + a' ^0 (mod. 6),

quel que soit le nombre entier a' ; en effet ùq est certainement premier à 6; car, si ces deux nombres avaient un diviseur commun, ce diviseur diviserait aag — 1, qui est un multiple de b; il devrait donc diviser 1, il ne peut être que un. Par conséquent (n® 507) la congruence précédente est équivalente à la congruence

aa^x + a^a^ = 0 (mod. 6) ou à la congruence

05 + a'ao =^ 0 (mod. 6),

puisque OqU est congru à 1 (mod. b); or cette dernière congruence se résout immédiatement et Ton en tire

x^ — «X (mod. 6).