Cette démonstration est due à Kronecker
Tannbrt. 3 I
Dans Tapplicalion de cette formule, on remarquera que les nombres ^—x — > ^-5 — ne sont impairs tous les deux que si les deux nombres p et q sont congrus à — 1 (mod. 4); sauf dans ce cas, on a
dans le cas où Ton aurait p^q^ — 1 (mod. 4), on aurait
On montrera tout à Tbeure comment les cinq propriétés élablie>
plus baut pour le symbole (—] sufllsent pour résoudre la question posée
« trouver les nombres premiers impairs p pour lesquels D est, ou non, un reste quadratique ». Débarrassons-nous auparavant d'une dernière propriété de ce symbole.
6" Si p, p' sont deux nombres impairs positifs et D un nombre entier quelconque premier à p et à p', on a
(pp') ~ (p) ^ (p7
Supposons d'abord D impair et positif.
On a (o*)
d'où, en appliquant la propriété (4**),
p+y tD — I
et, en appliquant encore la loi de réciprocité (5"),
Les trois nombres D — !> p + 1, p' + * étant pairs, leur produit est divisible par 8, les exposants de — \ sont pairs, et Ton a bien
(pp7~(p)(p7'
Si, D, p, p' élant impairs, D était négatif, on aurait
(pp'/"(p )\p')
Or les deux membres de cette égalité sont respectivement égaux à
et Ton a
(mod. 2).
car cette congruence, en faisant tout passer dans le premier membre, devient
(P - mp' -0^0 fmod.2);
SOUS cette forme, elle est évidente. On a donc bien encore
\PP7 \p)\P'/
W reste enfin à examiner le cas où D est pair; soit, en désignant par D' un nombi*e impair,
D = 2'I)' ; 011 aura, en utilisant les propriétés 3** et 4**,
de même
el Ton voit de suite, puisque Ton a
\Wy\p)\Pr
que Tégalité à démontrer revient à prouver que Ton a
«'-^-| ^ « ^ h « ^ ^ (niod. 2),.
congruence qui équivaut à celle-ci :
0 (mod.2):
or celle dernière est évidente puisque (p* — 0(p'' — 0 ®sl divisible par 64. 524. Les propositions qui précèdent permettent de calculer rapidement la
valeur d'un symbole (-\ quand on se donne numériquement D et p; on
rappelle que ces nombres sont premiers entre eux, quep est impair et positif. D*abord, si Tun de ces nombres contient en facteur un carré parfait, on pourra supprimer ce facteur. Si Ton a, par exemple, en désignant par A et B des nombres entiers, D = A'B, on aura
à cause de la propriété 4"; mais le produit (—)(-') est positif; on a donc
La même démonstration s'applique au cas oùp admettrait un facteur carré parfait : on pourra donc remplacer D par le produit des facteurs premiers qui entrent dans D avec des exposants impairs, chacun de ces fadeurs étant affecté de l'exposant un. De même pour p. L'usage des propriétés 4* el 2*
permet de ramener le calcul de ( — ) au cas où D est impair et positif;
ensuite on pourra remplacer ( ~ j par un produit de facteurs symboliques
analogues avec des numérateurs et des dénominateurs symboliques premiers, positifs, impairs. En sorte qu'on pourrait se borner au cas où D elp sont de pareils nombres. Quoi qu'il en soit, on peut aussi, et cela dans
tous les cas, remplacer D par son reste (mod. p). Si ce reste est pair, on pourra toujours en appliquant les propriétés 4° et 3"* ramener le calcul du
symbole (-) au calcul d'un autre symbole ( — l dans lequel D' est impair
et moindre quep; en appliquant ensuite la loi de réciprocité, on ramènera
le calcul de ( — j à celui de f ^, j.On remplacera de mêmep par son rest€
{mod. D'), etc., on ramènera fmalement le calcul à celui d'un symbole tel
que [ -1, qui est égal à 1. D'ailleurs il est clair que le calcul peut se faire
de différentes façons.
Soil, par exemple, à calculer la valeur de(-^^i.
On a
mais 997 est égal à 887 + 110; on a donc
\887/ ~ (,887/ ~ V87/ ^ \87 j ^ \Sï) '
le dernier facteur est égal à 4- < > puisque 87 est congru à — i (mod. 8) ; d*ail leurs, puisque 5 est de la forme 4n + 1, on a
H et 87 sonl de la forme 4n — I , on a donc
(ID = -Cn) = -(^) = ^'^
finalement, on a
925. Arrivons maintenant à la question posée au n''521 : le nombre D étant donné, trouver les nombres premiers p tels que D soit reste quadratique, ou non-reste, de p.
Cherchons, par exemple, les nombres premiers dont 3 est reste quadratique ; p étant un tel nombre on doit avoir
on a d'ailleurs, par la loi de réciprocité,
la valeur du second membre dépend du resle de p (mod. 3) et de la parité
p — 1 de ^-— X — » c'est-à-dire du reste de p (mod. 4) : elle dépendra donc finalement du reste minimum dep (mod. i2), qui peut être +1, — 1, +S» — o* La valeur de (^] est + i dans le premier et le dernier cas, — 1 dans les
deux autres; on examinant ensuite, suivant les cas, la valeur de ( — 1) ^
on reconnaît que les seuls nombres premiers dont 3 est reste quadratique sont de la forme 12n db I. 3 est non-reste des nombres premiers de la forme 12n =k 5.
486 LEÇONS D'AHITHMÉTIQUE.
526. La recherche des nombres premiers p, qui ne divisent pas le nombre donné D et pour lesquels la congruence
a?2 — D = 0 (mod. p)
est possible, s*est présentée de la façon suivante.
C'est un problème très ancien, problème qui ne pouvait manquer de se poser quand on a connu la propriété du carré de Tliypoténuse d^un triangle rectangle, que de chercher à reconnaître les nombres qui pouvaient être mis sous la forme de la somme de deux carrés, ou, ce qui est la même chose, des nombres que Ton pouvait obtenir en remplaçant dans l'expression a?' + y*, x et y par des nombres entiers. Une généralisation bien naturelle de cette question est de rechercher si un nombre donné peut être obtenu en remplaçant dans l'expression ax^ 4- bxy + cy*, où a, 6, c sont des nombres entiers donnés, x et y par des nombres entiers, ou encore, comme Ton dit, de reconnaître les nombres qui peuvent être représentés par la forme ax* + ^^ + cy*. C'est là un des problèmes les plus intéressants de rArithmélique supérieure. Un autre problème analogue est simplement de reconnaître quels sont les diviseurs d'une telle forme, c*es(à-dire les diviseurs des nombres obtenus en remplaçant x, y, dans ax^ + hxy + cy', par des nombres premiers entre eux. Un cas particulier de ce problème , auquel d'ailleurs se ramènent les autres, consiste à rechercher les diviseurs, et en particulier les diviseurs premiers, de la forme plus simple a?' — Dy' ; il n'y a lieu que de chercher les diviseurs premiers qui ne divisent pas D, puisque ceux qui diviseraient D devraient diviser â; et, ainsi, sont évidents. 11 est clair que, si p est un nombre premier impair dont D soit reste quadratique, p est un diviseur de la forme ajs — Dy*, pour y = 1 et pour une valeur de x égale à une racine de Li congruence
x* — D = 0 (mod.p).
Réciproquement, si p est un diviseur premier impair de la forme a;* — DyK il existe deux nombres entiers premiers entre eux a, b tels que Ton ait
«s Dô« E^ 0 (mod. p).
Il est clair que p ne divise pas 6, car, autrement, b diviserait aussi a. Il existe donc un nombre entier l' tel que Ton ait
bb' ^ i (mod. p);
en multipliant par ô'* les deux termes de lavant-dernière congruence et en remplaçant (66')' par \ , il vient
a* — D = 0 (mod. p) ;
donc D est reste quadratique de p. Donc les diviseurs premiers impaii-s de la forme x^ — Dy* sont les nombres premiers impairs dont D est reste
