g— = *i*2...«>PlP2—Pj

et, puisque p est premier avec Tun ou Tautre de ces produits, il résulte de la congruence précédente que Ton a

D * ^ (— 1/ (mod. p).

Ainsi D sera reste quadratique de p, ou non-reste, suivant que }•. sera pair ou impair. Telle est la transformation annoncée, dont on verra bientôt toute Timpor tance.

523. Elle invite, en tous cas, à faire une étude approfondie de la parité des nombres tels que (n. Cette étude sera facilitée par les notations suivantes.

En désignant par p un nombre positif impair (qui n'est pas nécessairement premier) et par D un nombre entier quelconque premier à p, je désignerai par le symbole

Tunilé affectée du signe -f- ou. du signe — suivant que le nombre de restes minima négatifs (mod. p) fournis par les termes de la suite

est pair ou impair.

Je viens de démontrer que, lorsque p est un nombre premier, le

symbole ( - j est positif ou négatif suivant que D est, ou non, reste quadratique de;) et que, ainsi, Ton avait alors

(^) - D * (mod.p);

dans ce cas, (-] est ce qu*on appelle le sytnbQlede Legendre; dans le cas

où p n*est pas premier, ( — J, défini comme on vient de le faire, est le

symbole de Legendre généralisé {^). Observons que le signe de ce symbole, qui seul importe, est le signe du produit de tous les restes minima (mod. p) des

termes de la suite D, 2D; 3D, .,., ^— r — D. Je vais en établir quelques

autres propriétés. •

i- Si l'on a

D' ^ D (mod. p),

on a

cette proposition est évidente sur la définition.

1. La généralisation du ayml^olc de Legendre, sous une forme équivalente, est due à Jacobi; la forme précédente a été indiquée par MM. Schering et Kronecker.

. LOI DE RÉCIPROCÏTÉ. I 477

2' On a

En effet, en supposant D = — i, la suite'des termes dont il faut prendre les restes minima (mod. p) se réduit à

ces nombres sont les restes minima eux-mêmes; or, ils sont tous négatifs

et au nombre de » Celte proposition, dans le cas oi\ /) est premier,

ne nous apprend rien, de nouveau.

?• On a

Soit en effet r >e reste minimum de p (mod. 8); si Ton pose p = 8n -f- r, r sera Tun des nombres ± 1, db 3. La suite des termes dont il faut prendre les restes minima est ici

2, 4, 6, ..., 4n, in -f 2, ..., Sn + r — 1 ;

elle se compose de termes pairs, tous inférieurs à p; les lermes qui fourniront des restes minima néf^alifs (mod. p] sont donc les termes plus

grands que ^ = 4?i + -> c'est-à-dire, si r est positif, tous les lermes qui

suivent 4n, et, si restnégalif, tous les termes à partir de 4ii; puisqu'il y a, en

lout, ^— T — = ^ lermes et que les termes 2, 4, 6, ..., 4nsont au

nombre de 2n, il y a, dans le premier cas, 2n -] — termes qui four-

nissent des restes minima négatifs; et dans le second cas, il y en a

r 4- i 2n H — : il y aura donc un nombre pair de termes négatifs si Ton a

r = it i, un nombre impair si l'on a r = ±3.; dans le premier cas (-) sera + 1, dans le second cas — 1 ; or on a évidemment

p2 -^ H (mod. 16),

d'où (n- 512)

t^-g — ^ — 8 — (mod. 2;;

si r est égal à db 1, ^—= — est donc pair; si r est égal à =fc 3, - — ^ —

est impair; on a donc bien, conime on l'avait annoncé

Lorsque p est un nombre premier, cette égalité nous apprend que 2 est reste quadratique de tous les nombres premiers congrus à =b 1 (mod. 8], et non-reste de tous les nombres premiers congrus à ±: 3 (mod. 8).

4** Si D, D' sont des entiers quelconques premiers au nombre impair/), on a

Nous aurons besoin ici de cette remarque d'ailleurs évidente : les restes minima (mod. p) de deux nombres égaux et de signes contraires sont euxmêmes égaux et de signes contraires.

Ceci posé, désignons toujours par «j, «j, —» *x» — Pi» — ?«»•••» — Pf» ies restes minima, pris dans leur ensemble, des nombres D, 2D, 3D, ...,

- — - — D; les nombres positifs si, «,, ..., o^, ^, p,, ..., p, , pris dans leur

ensemble, ne sont autre chose que les nombres f, 2, ..., ^— - — , et Ton a

D'ailleurs les signes des trois symboles (-)» ( — )> ( ) sont les

mêmes que ceux des trois produits P, P', P'' formés avec les restes minima

que fournissent respectivement les nombres aD, aD^ aDD' quand on y

p — \ remplace a par 1, 2, ..., ' — - — ; pour évaluer le dernier produit P" on

peut commencer par remplacer, dans aDD', aD par son reste minimum (mod. j)) ; P^' est donc égal au produit des restes minima des termes de la suite

«jD', «jD', ..., o^D', - p,D', - P,D', ... , - P^D',

ou, d'après la remarque du début, au produit des restes minima des termes de la suite

oi,D', «jD', ..., «xD', p,D', PaD', ..., p^D'

multiplié par( — 1)^*; mais comme les nombres «i, «j, ..., «x, Pi, Pj, ..., P

ne sont autres dans leur ensemble que les nombres 1, 2, ..., ^— r — »

les restes minima de la précédente suile ne sont autres que les restes minima de la suite.

D' 2D' S-ZLlT)'»

on a donc

P" = (— If F

et par suile, en écrivant que les deux membres de cette égalité ont le même signe,

if) = ©(t)-

En parliculier, on a, à cause de 2%

5' p, q étant des nombres positifs impairs, premiers entre eux, on a

p-iq-l

c'est dans cette égalité, lorsque p et ç sont premiers, que consiste la loi de réciprocité d'Euler et de Legendre.

La valeur du symbole (-) dépend du nombre de restes minima (inod. p) négatifs fournis par la suite

Soit a l'un quelconque des nombres 1, 2, .-m^— 0 — • Le reste minimum

(inod. p) fourni par le terme aq est négatif ou positif, suivant qu'il existe, ou non, un nombre entier p tel que Ton ait

ce nombre entier, s'il existe, est évidemment unique. Cette double inégalité peut être remplacée par Tinégalilé unique

fë-0(¥+i-f)<».

qui est une conséquence des premières et qui les entraîne (*).

Cette dernière inégalité peut elle-même être remplacée par la suivante, obtenue en divisant chaque fadeur par g.

Rappelons encore une fois que, si l'on regarde a, p, q comme donnés, il

i. Cest là un réBultat bien connu du lecteur, s'il est familier avec la discussion du trinôme du second degré.

480 LEÇONS D^AHITHMÉTIQJJE.

ne peut y avoir qu'une seule valeur enli^re attribuée au nombre 6 qui rende négatif le produit

c'est la valeur entière p approchée de ^ à nioius de - si celte valeur est approchée par excès. On observera qu'elle est au plus, égale à ^—z — ; en effet, la différence entre le nombre entier ^ immédiatement supérieur

ma

à ^—z — et le plus crand des nombres fractionnaires —, savoir -^—z — ^. 2 '^ " |) 2p

celte différence est plus grande que -, par conséquent la valeur entière

approchée de —, avec une erreur moindre <ï«e-, ne peut atteindre -^-r—* Si donc dans l'expression

on donne à 6 les valeurs 1, 2, ».., ^-^ — , tous les résultats seront

positifs, sauf peut-être un ; et il y en aura certainement un de négatif si le reste minimum (mod. p) de q est négatif: le signe de ce reste minimum sera donc le même que le signe du produit de tous les résultats

obtenus en remplaçant 6 par 1, 2, ..., ^— ^ — ; remarquons que le second

facteur du produit précédent peut s'écrire

et observons que, quand on donne à 6 les valeurs 1, 2, ..., ^--^ — , Texpres-

sion ^—^ 6 prend' les mêmes valeurs en ordre invei*se : il en résulte

que l'ensemble des valeurs que prend le facteur , — |- 5 , quand on

donne à 6 les valeurs 1, 2, ..., 2— ^ — , est le même que l'ensemble des

valeurs que prend l'expression — | quand on donne à 6 les mêmes

valeurs i, 2, ..., i—r — ; on peut donc dire que le signe da reste minimum

LOI DE RÉClPROaTÉ, 481

(mod. p) de aq est le même que Je signe du produit P^ de tous les nombres

obtenus en remplaçant successivement 6 par les valeurs 1, 2, ..., ^—r — dans Tcxpression

qui oJTre celte propriété remarquable de changer simplement de si^ne, sans changer de valeur absolue, quand on échange entre elles, d'uno part les lettres p, q, de l'autre les lettres a, b : ce double échange, en effet, laisse le second facteur invariable et change le signe du premier.

Le signe de(~ )est le signe du produit de tous les restes miuima (mod-p)

p — i des termes de la suite q, 2g, ..., ^—^ — q; ce sera donc le signe du produit de

tous les nombres Pj,P,,...,P, obtenus en prenant a égal à 1,2, ..., ^ ;

ce sera finalement le signe du produit de tous les facteurs obtenus en remplaçant dans l'expression

/a 6\/rt fe l\

«par 1, 2, ...,^-9 — ^t ^ P^r U 2, ..., ^ ; de môme, le signe de f-J sera le signe du produit obtenu en remplaçant dans Texpression

1 fi i

a' par 1, 2, ..., ^—z — , h' par 1,2, ..., i— ^^ — . Ces derniers facteurs, en

vertu d'une observation qui vient d'être faite, sont en valeur absolue les mêmes que les précédents, leurs signes sont opposés; comme il y a

^ "7 facteurs, on voit que Je second produit est égal au premier

-lî-i

multiplié

par(

; on a

donc bien

ou, ce qui

revient

au

même (*),