Considérons une congruence de la forme

a:"— D^O (mod. ?y),

p étant un nombre premier et D un entier non divisible par p.

En désignant par g une racine primitive de p et en prenant les indices suivant cette base, on voit que si x est regardé comme une racine de la congruence précédente, on doit avoir

nind. X = Ind. D (mod. p — 1) ;

inversement, si cette dernière congruence du premier degré par rapport à Ind. X est vérifiée, il est clair que la proposée le sera. Pour qu'elle admette des solutions, il faut et il suffit que le plus grand commun diviseur 5 de n et de p — 1 divise Ind. D (n^ 510). S'il en estainsi, elle admettra, en regardant Ind. x comme l'inconnue, fi solutions incongrues (mod. p — 1), auxquelles correspondent 9 racines distinctes de la proposée. La condition de possibilité à laquelle nous parvenons ainsi dépend, au moins en apparence, de la racine primitive g, qui a servi de base aux indices. Il convient de la transformer.

En désignant par d l'indice de D, dans la base g, on aura

g'^^T) (mod. p)

et, par suite,

(mod. p).

1. Ces dorniers nombres sont tirés d'une table construite par M. Wertheim et qui contient les mêmes indications pour tous les nombres premiers inférieurs à 3000. {Acta mathematiea, t. XVir, p. 315.)

C0N6RUENCES BINOMES. 505

Mais, si ]e plus grand commua diviseur 5 de n et do p — 1 divise d, le nombre ^-^ — «^ = (P — i)y est un multiple de p — i, par conséquent le premier membre est congru à 1 (mod. 2>). On doit donc avoir :

D * ^ 1 (mod. p).

Inversement, si cette condition est vérifiée, fi doit diviser rf; en effel, en élevant à la puissance ^-^ — les deux membres de la congruence

/= D (mod. p), on obtient alors

g * s 1 (mod. p), d'où il résulte que le nombre entier d^—^ — doit être divisible par p — 1 ,

o ce qui suppose que d soit divisible par fi. Ainsi : La condition nécessaire et suffisante pour que la congruence

a:** := D (mod. p),

où p est un nombre premier et D un nombre entier non divisible par p, admette des solutions, est que Ton ait

D * n- 1 (mod. p),

en désignant par fi le plus grand commun diviseur de n et de p — I. Si celte condition est vérifiée, la congruence proposée admet H racines distinctes.

Ce théorème contient, comme cas particulier, la proposition du n* 517, relative au cas où n est égal à 2.