INDICES

545. Observons que les indices peavenl servir à résoudre les congruences du premier degré prises par rapport à un module premier. Soit

ax ~ b (mod. p)

une telle congruence ; on devra avoir

Ind. a + fnd. a? ^^ Ind. b (mod. p — 1), d'où

Ind. X ^ Ind. b — Ind. a (mod. p — i)*

Inversement un nombre dont l'indice sera congru à Ind. 6 — Ind. a sera une solution de la congruence proposée.

Par exemple, pour le nombre premier -11, les indices des nombres

«, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sont respectivement, dans la base 2,

Soit la congruence

7a? = 8 (mod. H).

On en tire

Ind. X = Ind. 8 — fnd. 7^3 — 7^ — 4 = 6 (mod. 40).

Le nombre dont Tindice est 6 est 9 ; on a donc or ^ 9, et, en efTet, 7 X 9 = 63 = 55 + 8 est bien congru à 8 (mod. 11).

546. Observons que, quand on a une racine primitive d'un nombre premier p, il est aisé d'obtenir les autres; elles s'obtiendront en élevant cette racine primitive à une puissance première à p — 1 : par exemple, les racines primitives de 11 seront

547. Ce qui précède suffit à montrer Futilité qu'il y a à posséder une table de racines primitives et d'indices pour les nombres premiers. La table lY est extraite des Disquisitiones arithmeticse de Gauss (') : dans la première colonne verticale, marquée p en baut, sont les nombres premiers inférieurs à 100; en face de chacun de ces nombres, dans la colonne suivante, marquée g, est une racine primitive; les colonnes suivantes contiennent les indices des nombres premiers placés en haut de chaque colonne verticale, sur la première ligne horizontale. Il est clair, en eiïet, que, dès qu'on a les indices des nombres premiers, on peut former aisément les indices des nombres composés.