L'égalité

est un cas particulier de Fégalité

où Ton suppose a>& et où les points suspensifs qui figurent dans le second facteur du second nombre sont mis à la place de termes q . suivent

Il ft 9

la môme loi que ceux qui les précèdent; ainsi le terme a b devrait être suivi du terme a"""* 5 , celui-ci du terme a'*~*6 , ..., Texposant de a allant toujours en diminuant d'une unité quand on passe d'un terme au suivant, et Texposant de 5 allant en augmentant d'une unilé, jusqu'à ^u'on arrive à Tavant-dernier terme écrit «6"" ; on aurait, par exfc»»*ple, en suppo sance n = 5,

{a^ — 65) = (a — 5) (a* + a^h + a^b^ + ad» + 5*).

Pour vérifier cette dernière égalité, représentons le second facteur da second membre par P ; on aura

(a — 5) P = aP — 6P, aP = a» -f- 0*6 + a^b^ 4- a^b^ + «5*, 6P =: a*6 -f a*6' + a*6' + «6* + b%

et, en retranchant membre à membre,

aP — 6P = a^ — 65,

c'est ce qu'il fallait démontrer ; la démonstration est la même dans le cas général.

89. Résumons enfin les observations relatives aux inégalités. 1^ En supposant que a ne soit pas nul et que b soit plus grand que un, on a (n© 19)

2' En supposant que a ne soit pas nul et que Ton ait b> c^ oo a

ab > ac.

3* Si Ton a

ab > ap.

En effet, Tinégalité 6 >> P suppose que b n'est pas nul ; on a donc aby^aby puisque a est plus grand que a; mais, puisque b est plus grand que p, etb est plus grand que ap si a n'est pas nul, il lui est égal si a est nul; dans tous les cas on a

ab > ap.

90. 11 nous reste à expliquer la pratique de la multiplication.

Le problème est le suivant : Le multiplicande et le multiplicateur étant é' 'Hs dans le système décimal, écrire le produit dans le système décima t.

Daprès la définition de la multiplication, on n'a qu'à effectuer l'addition d'autant de nombres égaux au multiplicande qu'il y a d'un dans le multiplicateur; mais, en raison de l'égalité des Domb.c'9 à ajouter, l'opération peut être abrégée de beaucoup: ce sont c •» abréviations qu'il nous faut faire connaître, et qui sont foodéed sur les divers théorèmes que l'on a établis dans ce chapitre.

91. P ur en donner de suite un exemple, considérons le cas où l'on a à multiplier un nombre par un autre formé de l'unité suivie de plusieurs zéros.

Soit, par exemple, à multiplier 272 par 1000. On devrait, d'après la dérmilion, faire l'addition de mille nombres égaux à 'il2; mais, puisque, dans un produit, on peut intervertir l'ordre des facteurs, on parviendra au résultat en multipliant 1000 par 272, ou en ajoutant 272 nombres égaux à 1000, c'est-à-dire à une unité composée du 3« ordre ; le résultat est évident : c'est 272 unités composées du 3' ordre, ou 272000 d'après les règles de la numération écrite. Ainsi : pour faire le produit de deux nombres dont Vun est formé de tunité suivie d'un certain nombre de zéros, il suffit de placer ces zéros à la droite de Vautre.

92. On appelle multiple d'un nombre tout nombre obtenu en le multipliant par un autre. Il est souvent utile de former une table des neuf premiers multiples d'un nombre donné, c'est-à-dire des résultats que l'on obtient en le multipliant par 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

C'est la définition même de la multiplication qu'il convient alors d'appliquer.

Soit, par exemple, à former les neuf premiers multiples de 98756 :

On écrit sur une colonne verticale les nombre 1, 2, 3, ..., 9 ; en face de 1 on écrit le nombre 98756; on l'ajoute à lui-même et Ton écrit le résultat en face du nombre 2 ; ce qui donne 197512; on ajoute les deux nombres 98756, 197512, ce qui revient à ajouter trois nombres égaux à 98756, et Ton obtient ainsi le produit 296268 de 98756 par 3 ; on écrit ce produit en face du nombre 3 ; on ajoute ensuite 98756 au dernier nombre trouvé; cela revient à ajouter 4 nombres égaux à 98756; le résultat de l'addition est 395024; c'est le produit de 98756 par 4, on l'écrit en face du nombre 4; on continue ainsi jusqu'à ce que l'on ait formé le produit de 98756 par 9. Chaque résultat a été obtenu en faisant l'addition de deux nombres; si Ton continuait en ajoutant encore 98756 au dernier nombre trouvé, à savoir 888804, on devrait trouver le produit de 98756 par 10 ou 987560, en vertu du précédent théorème. On a là une vérification facile, qu'il ne faut pas négliger.

93. On ne procède pas autrement pour former la table de multiplication qui donne les produits de chacun des nombres 1,2,3,4,5,6,7,8,9 par chacun de ces nombres. Sur une première ligne horizontale on écrit ces nombres; sur une seconde ligne, au-dessous, les résultats obtenus en ajoutant chacun de ces nombres à lui-même ; sur une troisième ligne, les résultats obtenus en ajoutant à chacun des nombres de la seconde le nombre écrit au-dessus dans la première; sur une quatrième ligne, les nombres obtenus en ajoutant à chacun des nombres de la troisième le nombre situé au-dessus dans la première, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on ait écrit la neuvième ligné. On formera ainsi le tableau suivant :

Ce tableau étant formé, si Ton veut avoir, par exemple, le produit de 7 par 6, on cherchera dans la première ligne horizontale le nombre 7; on cherchera ensuite la 6'*"*® ligne horizontale, c'est celle qui commence par un 6 : le nombre qui se trouve dans cette ligne horizontale à Tinlersection avec la colonne verticale qui commence par un 7 est le produit cherché, 42.

On observera que les nombres contenus dans ce tableau se reproduisent symétriquement par rapport à la diagonale du carré qui va de la première case (en haut et à gauche) à la dernière (en bas et à droite). C'est la traduction de ce fait que dans un produit de deux facteurs, on peut, sans changer le produit, intervertir Tordre des facteurs. La diagonale dont nous venons de parler contient les carrés des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (*).

Les résultats de cette table doivent être sus par cœur.

94. Quant à ce qui concerne la façon pratique d'effectuer une multiplication de deux nombres, nous distinguerons quatre cas.

I. Il est clair qu'on peut construire des tables de multiplication s'étendant aussi loin qu'on le veut ; mais la disposition qu'on vient de décrire devient impraticable si la table a une grande extension. Il existe des tables de multiplication, ducs àCrello, qui donnent les produits de chaque nombre de trois chiffres par chaque nombre de trois chiffres. Ces tables sont très précieuses pour abréger les calculs numériques.

i^ Les deux facteurs n'ont qu*un chiffre.

Le résultat, qui se trouverait dans la table de multiplication, s'écrit immédiatement.

2*" L'un des facteurs, que Ton prendra comme multiplicateur, n'a qu'un chiffre; l'autre en a plusieurs.

Soit, par exemple, à multiplier 89023 par 4; on procède absolument comme si l'on additionnait 4 nombres égaux à 89023 :

mais on fait tout d'un coup les sommes des chiffres contenus dans chaque colonne, ce qui revient à multiplier l'un d'eux par 4, et Ton n'ajoute la retenue qu'après avoir fait cette multiplication; ainsi, commençant par la droite, au lieu de dire 3 et 3 font 6, et 3 font 9, et 3 font 12, on dit 4 fois 3 font 12, je pose 2 et je retiens 1 ; puis 4 fois 2 font 8, 8 etl font 9; je pose 9; 4 fois 0 font 0; je pose 0; 4 fois 9 font 36, je pose 6 et je retiens 3 ; 4 fois 8 font 32, 32 et 3 font 35; je pose 5 et j'avance 3. Le produit est 356092.

Règle. — Pour multiplier un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d'un chiffre, on écrit les deux nombres l'un au-dessous de l'autre; on place d'ordinaire le multiplicateur sous le chiffre des unités du multiplicande; on tire un trait sous les deux nombres; c'est sous ce trait que l'on écrira le produit, chiffre par chiffre. On multiplie par le multiplicateur le chiffre des unités du multiplicande, et l'on écrit Je chiffre des unités du produit partiel; c'est le chiffre des unités du produit cherché; on retient les dizaines s'il y en a; on multiplie le chiffre des dizaines du multiplicande par le multiplicateur et l'on ajoute la retenue, s'il y en a; le chiffre des unités du résultat est le chiffre des dizaines du produit; on l'écrit et l'on retient les dizaines du résultat; on continue ainsi jusqu'à ce qu^on ait épuisé tous les chiffres du multiplicande.

3^ Le multiplicateur est formé d'un chiffre suivi de plusieurs zéros.

Soit à multiplier 89023 par 4000; 4000 est égal à 4 X 1000; pour multiplier 89023 par 4000, on peut le multiplier successivement par 4, puis par 1000; la dernière multiplication se fera en mettant trois zéros à droite du produit 89023x4 effectué; le résultat est 356092000.

4** Le multiplicande et le multiplicateur sont quelconques.

Je supposerai d^abord que ni Tun ni Tautre ne soient terminés par des zéros. Soit, par exemple, à multiplier 98756 par 823. Le multiplicateur 823 est égal à 800 + 20 + 3 ; on multipliera 98756 par 3, 20, 800 et Ton ajoutera les résultats (n<> 20). On est ramené aux cas précédents.

On disposera Topération comme il suit :

On écrit d'abord le multiplicande, puis au-dessous le multiplicateur; on tire un trait :

Sous le trait, on écrit les produits du multiplicande par 3, 20, 800, les uns sous les autres, de manière que les chiffres représentant les unités du même ordre soient dans une même colonne verticale. Ces produits sont les produits partiels. On se dispense habituellement d'écrire un, deux, ..., zéros à la suite du second, du troisième,... produit partiel, mais on a soin de mettre les chiffres à la même place que si les zéros étaient écrits. Puis on fait la somme des produits partiels; c'est le produit cherché, qui est ici 81276188. — Si Tun des chiffres du multiplicateur était un 0, on serait amené à écrire une ligne de zéros parmi les produits partiels; on s'en dispense, à la condition de placer les chiffres du produit partiel suivant comme si cette ligne de zéros était écrite.

Rien n'empêcherait, à la rigueur, de suivre la même marche si les facteurs étaient terminés par des zéros ; mais il est commode de procéder comme il suit.

Soit à multiplier 98756000 par 8230000 ; les deux nombres peuvent s'écrire

leur produit (n* 78) est égal au produit de 98756 X 823 par 1000x10000 ou 10000000; après avoir effectué le premier produit, on placera à la droite sept zéros, autant qu'il y en avait, en tout, dans le multiplicande et le multiplicateur. Le résultat sera ici

72' LEÇOàNS D'ARITHMÉTIQUE.

95. Bègle. — Pour multiplier deux nombres de plusieurs chiffres, on supprime les zéros placés à la droite de ces nombres, s'il y en a, et Ton écrit le multiplicande, puis, au-dessous, le multiplicateur ; on choisit habituellement pour ce dernier le nombre qui a le moins de chiffres. Sous le multiplicateur on tire un trait. On multiplie successivement le multiplicande par les chiffres du multiplicateur, en allant de droite à gauche. On écrit chaque produit partiel sous le précédent, en reculant d'un rang vers la gauche, c'est-à-dire que Ton place le chiffre des unités de chaque produit partiel sous le chiffre des dizaines du produit partiel qui précède, le chiffre des dizaines sous le chiffre des centaines du produit précédent, etc.. S'il se rencontre un zéro au multiplicateur, on n'en tient compte que pour reculer de deux rangs vers la gauche le produit partiel suivant; s'il y avait deux zéros consécutifs au multiplicateur, on en tiendrait compte pour reculer de trois rangs vers la gauche le produit partiel suivant, etc..

Quand on a écrit tous les produits partiels, on tire un trait audessous, et on les ajoute : la somme est le produit cherché. Si l'on a supprimé des zéros, tant au multiplicande qu'au multiplicateur, on les replace tous à la droite du produit.

On peut faire la preuve de l'opération en échangeant le multiplicande et le multiplicateur.

Si Ton a trois nombres à multiplier, on effectue le produit des deux premiers, et l'on multiplie le résultat par le troisième.

96. Les opérations d'addition et de multiplication donnent lieu à quelques remarques qui nous seront utiles plus tard. Pour ce qui est de Taddition, mentionnons la proposition suivante :

Lorsque l'on a n nombres à ajouter et qu'on applique la règle du n" 72, la retenue provenant de Taddition des chiffres d'une colonne et de la retenue antérieure ne peut dépasser n — 1.

Supposons, par exemple, que Ton ajoute 7 nombres ; les chiffres qui sont contenus dans la colonne des unités sont au plus des 9, leursomme est au plus égale à 7 fois 9 ou 7 fois 10 — 1, c'est-à-dire 70 — 7 ; la retenue, dans ce cas, sera égale à 6; quels que soient les chiffres contenus dans la colonne des unités, elle sera inférieure pu égale à 6. Dans la colonne suivante, si même tous les chiffres étaient des 9, la somme de ces chiffres augmentée de la retenue supposée égale à 6 serait égale à 70 — 7 -f- 6 = 70 — 1 ; la retenue sera donc au plus égale à 6. Le raisonnement se continue évidemment.

Cette remarque peut servir si l'on n'a besoin que des premiers

chiffres de gauche dans le résultat d'une addition. Supposons, par exemple, qu'on ait à faire l'addition suivante :

en négligeant dans chacun des nombres les trois derniers chiffres, on trouvera 2828 mille ; ce serait le nombre de mille contenus dans le total s'il n'y avait pas de retenue provenant des chiffres négligés; cette retenue ne peut excéder 3 mille : le nombre de mille du résultat est donc 2828 ou 2831 ou un nombre intermédiaire ; le nombre de centaines de mille est certainement 28.