Occupons-nous maintenant de la multiplication

Supposons que le multiplicande a ait n chiffres et que le multiplicateur b en ait p ; ce dernier est plus petit que 10 et au moins égal à l(f ~ ; le produit sera plus petit que a X 10 et au moins égal à

a X 10 ; ces deux derniers produits s'obtiennent en plaçant p ou p — 1 zéros à la droite du nombre a; on obtient ainsi des nombres de n -{- p ou de n -{- p — 1 chiffres. Le produit, compris entre ces deux nombres, B.71 -{- p oun -{- p — 1 chiffres.

98. Supposons qu'on augmente le multiplicande a d'une unité ; le produit deviendra [a -{- i) b = ab -{- b \ il sera augmenté du multiplicateur.

Sur quels chiffres du produit porte cette modification ?

Imaginons qu'on ait écrit l'un sous l'autre les deux nombres ab, b pour en faire la somme ; si l'on désigne encore par p le nombre de chiffres de 6, les p derniers chiffres du produit ab auront sous eux les chiffres de b et seront en général modifiés par l'addition; le premier des chiffres de ab qui n'a rien au-dessous de lui pourra être augmenté d'une unité, si l'addition précédente comporte une retenue. Si donc dans les deux produits ab, {a -^ i) b on supprime les p derniers chiffres, le second des nombres ainsi obtenus sera égal ou supérieur d'une unité au premier. En général, le dernier chiffre seul sera différent ; pourtant si ce dernier chiffre était un 9 dans le nombre provenant de ab, l'addition d'une unité aurait sa répercussion sur le chiffre précédent, et même sur plusieurs des chiffres précédents, si ceux-ci étaient aussi des 9.

Supposons maintenant que Ton augmente d'une unité les deux

facteurs a, b et comparons de la même façon les deux produits ab^ (a + 1) (^ + 0- Désignons toujours par n et p les nombres de chiffres de a et de 6; supposons enfin n ^ p. Pour former le second produit il suffira d'appliquer deux fois la règle précédente; on déduira d'abord (a + 1) ô de aô en lui ajoutant b ; puis (a + 1) (6 + 1 ) de [a -\- \) b en lui ajoutant a -{- \.0n reconnaît aisément, en s'appuyant sur le résultat précédent, que, si dans les nombres ab et (a -|- 1) (6 + 1) on supprime les p derniers chiffres, les deux nombres restants seront égaux, ou bien le second sera supérieur au premier d'une ou même de deux unités.

99. Quand on a deux nombres un peu grands à multiplier l'un par Tautre, il arrive fréquemment, dans la pratique, qu'on n'ait besoin que des premiers chiffres du produit, les autres pouvant être simplement remplacés par des zéros qui indiquent seulement la valeur relative des chiffres que Ton conserve. S'il en est ainsi, il surfit d'un peu d'attention pour reconnaître que, en appliquant alors la règle du n* 95, on fait beaucoup de calculs inutiles : on peut les éviter en employant le procédé dit de la multiplication abrégée.

Supposons, par exemple, qu'on ait à multiplier le nombre a = 4532169 par le nombre 5 = 3141592; le multiplicateur a ici 7 chiffres; je désignerai en général ce nombre de chiffres par p, La multiplication, faite comme d*habitude, est figurée ci-dessous :

On va montrer comment on peut simplifier tant l'addition finale que le calcul des produits partiels, lorsque, par exemple, on ne se préoccupe pas des nombres inférieurs à une unité composée du cinquième ordre.

Désignons par P le nombre de centaines de mille, par exemple, contenues dans le produit et par Ai, A|, ..., A^ les nombres de centaines de mille contenues dans les produits partiels. Il résulte de la remarque faite au n^ 96 que P sera égal à la somme A| + A, + ... + A, augmentée d'un nombre au plus égal à 6 = p — 1. Cette remarque permettrait de simplifier l'addition des produits partiels, si l'on ne voulait que les premiers chiffres du produit; mais il convient de simplifier aussi le calcul des produits partiels.

Le premier s'obtient en mulliplianl a par le chiffre 2 des unités du multiplicateur, c'est-à-dire en ajoutant deux nombres égaux à a; si dans ces deux nombres on supprimait les cinq derniers chifTres de droite, on trouverait comme somme un nombre A,', inférieur ou égal à A,, la différence serait d'ailleurs, toujours pour la même raison, au plus égale à 2 — 1. D'ailleurs A[ n'est autre chose que le produit de 45 par 2. Le second produit partiel s'obtient en multipliant a = 4532169 par 90 ou 45321690 par 9, ce qui revient à ajouter neuf nombres égaux à 45321690; si dans les neuf nombres on supprimait encore les cinq derniers chiffres, on trouverait comme somme un nombre A^ inférieur ou égal à A|, la différence serait au plus égale à 9 — 1 ; Aj est d'ailleurs le produit de 453 par 9 ; on voit de même que, en désignant par A^, A^, A^, A^, A^ les produits respectifs de 4532 par 5, 43321 par 1, 453216 par 4, 4532169 par 1, 45321690 par 3, les nombres Â^, A|, A^, A^, A^ seront inférieurs ou égaux aux nombres Aj, A4, A5, A^, A,, les différences respectives étant au plus égales aux chiffres employés comme multiplicateurs, diminués d'une unité, c'est-à-dire au plus égales à j — 1,1 — i,4 — 1,1 — 1,3 — 1; par conséquent le nombre

sera inférieur ou égal au nombre

el la différence sera au plus égale à

c'est-à-dire au plus égale à la somme S des chiffres du multiplicateur diminuée du nombre p de ces chiffres. D'ailleurs P s'obtient en ajoutant à A, + A, + ... + A7 un nombre au plus égal à p — 1 ; donc P pourra s'obtenir en ajoutant à P' un nombre au plus égal à

Ce nombre S — 1, dans la pratique, est habituellement inférieur à 100; il en sera certainement ainsi si le mulliplicateur n'a pas douze chiffres. Si donc dans P et dans P' on supprime les deux derniers chiffres de droite, les deux nombres ainsi obtenus (qui, dans le cas actuel, représenteront des unités composées du T ordre), différeront au plus d'une unité. Les raisonnements qui précèdent suffisent à justifier la règle que voici: 100. Supposons qu'on ne veuille conserver au produit que les chiffres représentant des unités composées d'ordre ik + 2, au moins. On écrira le multiplicande, puis, au-dessous, le multiplicateur renrerséy en plaçant te chiffre des unités simples sous le chiffre du multiplicande (complété au besoin par des zéros placés à sa gauche) qui représenterait des unités composées d'ordre A. Pour effectuer chaque produit partiel, on négligera au multiplicande les chiffres placés à droite de la colonne verticale qui contient le chiffre du multiplicateur que Ton emploie : chaque produit

partiel ainsi obtenu représente des unités d'ordre k; on lés disposera donc les uns au-dessous des autres de façon que leurs derniers chiffres de droite soient dans une même colonne verticale. On" en fera la somme, qui représente aussi des unités d*ordre k. On supprime les deux derniers chiffres, el le nombre ainsi obtenu, qui représente des unités d'ordre A + 2, est égal au nombre d*unités d'ordre k-\-2 du produit cherché, ou lui est inférieur d'une unité.

Dans le cas choisi comme exemple, on dispose les calculs comme il suit :

Le résultat brut représenterait des centaines de mille, il diffère du nombre de centaines de mille du produit cherché d'un nombre inférieur à 3 + 1 + 4 + 1 + 5 + 9 + 2 ou à 25 ; en ajoutant 25 au nombre précédent on n'altère pas le chiffre des centaines : on est donc certain ici que 1423822 est exactement le nombre de dizaines de millions du produit, tandis que l'application de la règle laisserait un doute sur le dernier chiffre. On voit que le calcul de la somme des chiffres du multiplicateur peut être utile.

11 est à peine utile de dire qu'on se dispense d'écrire les produits partiels qui seraient manifestement nuls.

Je laisse au lecteur lé soin de reconnaître que si, dans le produit des deux nombres précédents, on voulait conserver seulement les unités du dixième ordre, il y aurait lieu, en se dispensant d'écrire les chiffres qui ne servent pas, d'adopter la disposition suivante :

142372 1423 est le nombre d'unités du lO'*™^ ordre du produit.

Exercices.

34. Combien y a-t-il de minutes et de secondes dans un jour, dans une semaine, dans une année ordinaire, dans une année bissextile, dans un siècle?

35. Quel est le carré de 100000001, de 9999999? Quel est le produit de 9999999

par 10000001? Quel est le produit de 9 par la somme des nombres 1, 10, 10*..., lo"?

36. On dit à une personne d'écrire trois nombres de cinq chiffres, en annonçant que Ton écrira trois autres nombres, pour former le total 299997. — 11 suffît de placer au-dessous de chacun des nombres écrits, des nombres dont les chiffres soient les compléments à 9 des chiffres écrits au-dessus. Le total sera 99999 X 3.

37. Le carré d*un nombre et le carré de son dernier chiffre sont terminés par le même chiffre. — Le carré d'un nombre ne peut être terminé par Tun des chiffres 2, 3, 7, 8.

38. Séparer les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 en deux groupes tels que la différence entre les produits obtenus en multipliant les nombres qui figurent dans chaque groupe soit égale à 1.

39. On dit que des nombres forment une progression géométrique si chacun d'eux peut s'obtenir en multipliant le précédent par un même nombre, qui s'appelle raison de la progression géométrique. Ainsi les nombres 7, 14,28, 56, 112 forment une progression géométrique, dont la raison est 2; les nombres 1, 10, 100, 1000, 10000 forment une progression géométrique dont la raison est 10.

Démontrer que dans une progression géométrique le produit de deux termes à égale distance des extrêmes est toujours le même.

40. Dans une progression géométrique de n termes, le carré du psoduit de tous les termes est égal à la puissance n'^^o du produit des termes extrêmes.

41. Si l'on multiplie tous les termes d'une progression géométrique par la raison, on a une nouyelle progression géométrique dont tous les termes figurent dans la précédente, sauf le dernier. De la somme des termes de la seconde progression on retranche la somme des termes de la première : quelle sera la différence?

Soient a, b le premier et le dernier terme d'une progression géométrique, q sa raison, S la somme de ses termes, démontrer que l'on a

42. Les candidats, pour un concours, ont deux compositions à faire : chaque composition est notée de 0 à 20 ; la note de la première est multipliée par 7, la note de la seconde est multipliée par 3, et l'on fait la somme des résultats. Construire une table carrée donnant toutes les sommes possibles, de manière qu'en inscrivant audessus de la première ligne horizontale les nombres 0, 1, 2, ..., 20 et ces mêmes nombres en face de la première colonne verticale de gauche, on trouve à l'intersection des rangées verticale et horizontale qui contiennent respectivement, en tête ou à gauche, deux notes quelconques, la somme de ces deux notes respectivement multipliées par 7 et par 3. — Les nombres compris dans une même parallèle à l'une Oes diagonales du carré sont en progression arithmétique.

43. Étant donnés deux nombres a, 6, comment formerait-on une table donnant les diverses valeurs que prend l'expression ax -f 6^ quand on y remplace successivement X par les nombres 0, l, 2, ..., n et ^ par les nombres 0, 1, 2, ... , n? Ces valeurs, qui sont au nombre de (n -f 1)', peuvent être disposées dans les (n -f 1]* cases d'un carré, de façon que, en inscrivant au-dessus de la première ligne les valeurs 0, 1, 2, ..., n attribuées à x, à gauche de la première colonne les valeurs 0, 1, 2, ... n attribuées à j/, on trouve la valeur de ax + by k l'intersection de la colonne verticale qui porte en haut le nombre x^ et de la ligne horizontale qui porte à gauche le nombre y.

Le double de la somme des nombres inscrits dans les (n -f 1)* cases du carré est égal à n (n 4- 1)» (fl + &)•

44. Sur 7 nombres, on connaît le premier qui est 12, et l'on sait pour les autres que chacun s'obtient en doublant le précédent : quels sont ces 7 nombres?

45. 9 nombres correspondent aux numéros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. On sait que le premier de ces nombres est 10 et que chacun des autres s'obtient en multipliant par le numéro auquel il correspond celui qui correspond au numéro inférieur: quels sont ces neuf nombres?

46. Moi Wi, «j, ..., w,j|i w,j étant des nombres inconnus sauf le premier î/^, et û|, flt, .•-» «„ des nombres connus, on sait que Ton a ?/, = a,Mo, «i = a^u^ et» ^n général, pour toutes les valeurs de p depuis 1 jusqu à n,

"/> = ^ ";>-«• démontrer que l'on a

47. Mo, Ml, M„ ..., tt„„|, w,j étant des nombres inconnus sauf le premier, on sait que Ton a

M| = Uo+^ Mi = 2M|+1.2, M, = 3M,-f 1.2.3,

et en général,

w^ = pttp^i + 1.2.3... p.

Démontrer que l'on a

48. Étant donnés deux objets a, 6, on peut les ranger de deux manières a et 6, b et a; étant donné un troisième objet c, on peut le placer avant a et 6, entre a et 6, après a et b, ou bien avant 6 et a, entre 6 et a ou après 6 et a; on a ainsi 6 manières de ranger trois objets : ca6, ac6, abc, cba, bca, bac. Démontrer qu'il y a 24 manières de ranger 4 objets a, 6, c, d, et en général que, étant donnés n objets distincts, le nombre de manières différentes de ranger ces objets est égal au produit des n premiers nombres consécutifs, ou à 1.2.3... n. Ainsi, étant donnés dix soldats, on peut les ranger sur une ligne de 3628800 manières différentes.

49. On considère une table de multiplication donnant les produits de deux nombres quelconques égaux ou inférieurs à a. Démontrer que la somme S de tous les nombres qu'elle contient est égale au carré de la somme des a premiers nombres 1,2, ..., a. On a donc (Ex. 29) :

50. Dans une pareille table, la somme des termes qui se trouvent dans la dernière colonne de droite et dans la dernière ligne horizontale, est égale à a*. En conclure que S est la somme des cubes des a premiers nombres.

51. On écrit sur une ligne les nombres 1, 2, 3, ..., n ; au-dessous les nombres 2, 3, 4, ..., n + 1 ; au-dessous les nombres 3, 4, 5, ..., ti + 2, et ainsi de suite; dans une dernière ligne les nombres n, n + 1, 7i -f 2, ..., 7i + n — 1. Démontrer que la somme de tous les ^ombres écrits est égale à n*.

52. Dans le carré dont on vient d'expliquer la formation, la somme des nombres qui se trouvent dans la dernière colonne de droite et dans la ligne horizontale du bas est égale à 3 n* — 3 n + 1. En conclure que le sextuple de la somme des carrés des n premiers nombres 1, 2, ..., n est égal à n (n -j- 1) (2n 4* 1).

53. Étant donnés les nombres 7)i, 7i|, ..., n^, pris parmi les nombres 1, 2, 3, ..., 9, combien peut-on former de nombres différents de p chiffres dans lesquels le premier chiffre est l'un des nombres 1,2,3, ..., Wi; le second, un des chiffres 1,2, 3, ..., «,;

1. L'expression ai, Of ... a^ représente le produit do tout les nombres ai, a^ ... jusqu'à a^, — On aura souvent h écrire dans ce qui suit le produit des p premiers nombres, qu'on représentera de même par 1.3.3... p.

Je troisième, un des chiflTres 1, 2, 3, ..., ?ï3; ...., le p'*™** chiffre un des nombres 1, 9, 3, ..., n ? Conclure du résultat que le produit de p facteurs, tous, inférieurs à 10, est indépendant de l'ordre de ces facteurs. Généraliser ce mode de démonstration. — On observera qu*elle ne suppose pas que les nombres tii, rit, ...« 't^ soient tous différents.

54. n étant un nombre donné, on demande de démontrer que le nombre de solutions de Téquation

multiplié par 2, est égal à (n + I) (n -f 2). (Ex. 19.)

55. En désignant par (n, p) le produit des p nombres consécutifs w -f 1, ti + 2, ..., n -{■■ p — 1, n + p, démontrer que Ton a

(n,p) = (n,p— l)xp-f(n — 1, P).

Déduire de là que le produit (7i, p) est égal au produit par p de la somme de n produits dont chacun est un produit de p — 1 nombres consécutifs; le premier produit commence par le facteur 1, le second par le facteur 2, ..., le dernier par le facteur n. En d'autres termes on a

{n,p)=px [{0,p - 1) + (1, p - 1) + (2,p - 1) + ... + {n,p- 1)]»

ou encore

56. n étant un nombre donné, on demande de démontrer que le nombre de solutions de Téquation à p -f 1 inconnues a?!, ar„ ..., Jp i j,

multiplié par le produit 1.2.3. ... p des p premiers nombres entiers, est égal à (n + 1) (n + 2)... (n -f p).

57. Étant donnés les 2 n nombres âf, a,, ..., a^^; 6{, 6^, ..., &,^, parmi lesquels les n premiers sont rangés par ordre de grandeur décroissante, on propose de démontrer que si Ton pose

Si = *i, S, = 6, -h ô„ Ss = 6, + 6t -f 6„ ..., S„=6, + 6, + ... -f 6„,

on aura

ffj bt + ff, 6, + ... + a„ b^^ = (ûi — ût) Si -f (a, — «a) S. + ... + K.i — «„) S„, -h a„S„.

Démontrer aussi que Ton a

fli Si < a,6î -h 0,0, + ... -{- a^b^< a, S,^.

58. Dans la suite de Texercice 20, le carré d'un terme quelconque est égal au produit des deux termes qui le comprennent diminué de un, ou augmenté de un. — Distinguer les deux cas.

50. Si Ton désigne par u^, U|, t/,, tij, ... les termes de la suite de l'exercice 20 et si l'on désigne par t'o, Vi, »„ t',, ..., les termes o«= a, t^i =: 6, r, = a + ^» l's = û -H 2 b^ ..., d'une suite analogue dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent et dans laquelle les deux premiers termes sont a et 6, on aura

V = M ,a -4- w 6, Dans la Suite de l'exercice 20 elle-même, on a, quels que soient les nombres n et p,

80 LEÇONS D'AHITHMÉTIQUE.

Tout terme d'indice impair «jib+i ^^^ ^^ somme des carrés de deux termes consécutifs Mj^, «jfc^|.

60. En développant les expressions (a? + a)*, [x + a)», {x + a)^, on trouve :

(x -f fl)« = j:« + 2/ij; + a»,

(jr + a)» = x» + 8ajr« + 3a«j: + a»,

(ar H- «)♦ = a:* + 4 ax» + 6 a«i« + 4a»a: + a*.

En adoptant les notations de rexercice 22, ces formules sont toutes contenues dans la suivante :

(a: -f a) = C,, or 4-C„fl.r -f C„a a: + ... + C; a'^a: '+... l-G^a.

Montrer que cette formule est vraie quel que soit n ; il suffira pour cela de montrer que si elle est vraie pour le nombre n, elle est vraie pour le nombre n + 1.

61. Si Ton donne deux suites de nombres, qui en contiennent autant Tune que Tautre, dans quel ordre doit-on les disposer pour que la somme des produits obtenus en multipliant les nombres correspondants soit la plus grande possible ?

§ 4. — Division.

101. La division a été définie au n** 31. Des explications qui ont été données là, il résulte qu'on peut encore adopter la définition suivante :

Étant donnés deux nombres a, 6, appelés dividende et diviseur^ ta division a pour but de trouver deux nombres q et r, appelés quotient et reste, tels que Von ait

a=:bq -\-r^ r<^b.

Les raisonnements du n^ 31 montrent que lorsque Ton se donne les deux nombres a, b dont le second n'est pas nul, il existe toujours un système de nombres q et r vérifiant ces conditions, et qu'il n'en existe qu'un ; ils donnent aussi le moyen de les trouver. Au surplus, on peut encore raisonner et procéder comme il suit :

Ëtant donnés les nombres a, 6, on forme une table des multiples successifs de 6, c'est-à-dire des produits obtenus en multipliant b par par 0, 1, 2, 3, ... ; pour cela, on pourra faire comme il a été expliqué au n^ 92; les nombres inscrits dans cette table forment (n**68) une progression arithmétique indéfinie

c'est-à-dire dans laquelle chaque terme est suivi d'un autre ; ils vont en augmentant de 6 à chaque fois ; ils finiront par dépasser a ; nous supposerons que la table ait été poussée jusque-là. Deux cas peuvent alors se présenter :

l*" a ligure dans la table précédente. Alors il existe un nombre 9,

loi que Ton ait

a=bq\

ce nombre q et le nombre 7* = 0 satisfont aux conditions imposées au quotient et au reste : ils sont les seuls, puisque la différence entre a ou bq et nMmporte quel autre terme de la table est au moins égale à 6.

2^ a ne ligure pas dans la table, alors il tombe entre deux termes consécutifs de cette table ; la différence entre a et Tun ou Tautre des termes de la table est inférieure à b ; pour tout autre terme de la table, cette différence est plus grande que 6 (n* 69).

^\bq Çi\, bq -{- b =: b [q -{- \) sont les deux termes de la table qui

comprennent a, on aura bien, en désignant par r la différence entre

a et bq^ Tégalilé

azmbq'^r^ r <^b^

et il est clair que a et i étant donnés, 9 et r sont les seuls nombres qui satisfont à ces conditions.

Dans le cas 1**, où le reste est nul, on emploie indifféremment les expressions suivantes : a est un multiple de 6, est divisible par b ; b est un diviseur ou un sous-multiple de a ; la division de a par b se fait exactement.

102. Dans beaucoup de questions, c'est le quotient surtout qui importe. 11 résulte de ce qu'on vient de dire que q sera le quotient de la division de a par b si Ton a

bq'^a<b[q'\-\].

Il est clair que les inégalités qui précèdent entraînent les suivantes :

car si ô (^ -|- 1) est plus grand que a, il est au moins égal à a + 1 ; inversement, les secondes inégalités entraînent les premières, car si 0(9 -|- 1) est supérieur ou égal à a+ 1, il est certainement plus grand que a. Ainsi les secondes inégalités, comme les premières, expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que q soit le quotient de la division de a par b.