SUR LA DIVISIBILITÉ

§ 1. — Divisibilité. — Théorèmes grénéraux.

115. Dans le paragraphe précédent, concernant la division, on a porté également l'attention sur le quotient et le reste ; Taddition, la soustraction, la multiplication sont des opérations dont chacune n'a qu'un résultat, la division comporte deux résultats : le quotient et le reste.

Toutefois quand la division se fait exactement, il convient évidemment de porter exclusivement l'attention sur le quotient, qui est alors le résultat de l'opération; faire la division, c'est trouver ce quotient. Le dividende est alors le produit du diviseur par le quotient, en sorte que la division apparaît comme opération inverse de la multiplication. Le dividende est aussi le produit du quotient par le diviseur, c'est-à-dire qu'il est la somme d'autant de parties égales au quotient qu'il y a d'unités dans le diviseur; faire la division c'est donc trouver l'une de ces parties, ou comme l'on dit encore, diviser le dividende en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur. C'est ce sens qui est le sens étymologique du mot diviser. C'est encore ce sens que l'on retrouve dans les expressions usuelles telles que prendre la cinquième partie, la douzième partie,... ou plus brièvement le cinquième, le douzième d'un nombre. Ces mots n'ont, pour le moment, de signification que si la division par cinq, ou par douze, peut se faire exactement. .Au lieu de dire la deuxième, la troisième, la quatrième partie d'un nombre, on dit la moitié, le tiers, le quart ; ici encore on suppose que les divisions par deux, trois, quatre se font exactement.

116. Lorsque a est divisible par b on représente souvent le quotient de la division par le symbole 7, qui s'énonce a sur b, ou a

divisé par b. Ce symbole, pour le moment, n'a aucune signification

lorsque an*est pas divisible par b. Lorsque b est égal à 1, le qiiolient est a, en sorte que y a le même sens que a. Lorsque a est divisible par b et que q est le quotient, on écrit indifféremment

T = ?» a=bq:

ainsi les égalités

ont exactement le même sens.

On observera les habitudes suivantes relativement aux symboles

- , pour lesquels, encore une fois, on suppose essentiellement que a

est divisible par b ; quand ils figurent dans des calculs ou des égalités, on a soin de mettre la barre en face des signes =, +, — , x. Ainsi, on écrira :

^XH=3X4=.2.

117. Si deux nombres sont divisibles par un troisième, leur somme ou leur différence est divisible par ce troisième et le quotient est la somme ou la différence des quotients.

Soient a, b les deux nombres divisibles par c, soient a' et b' les quotients de la division de a et 6 par c, on aura

et par conséquent

a + b=za'c + b'c=z{a' + b')c, a — *=û'c-T- *'c = (a' — *')c,

ce qui montre bien que a -}• b et a — b sont divisibles par c et que les quotients a' + é', a' — A' sont Tun la somme, Tautre la différence des quotients a', i'.

Plus généralement, si Ton considère plusieurs^ nombres a, 6, c, d, . . . , tous divisible^ par le nombre n, le résultat obtenu eh les, ajoutant ou en les retranchant dans un certain ordre est aussi divisible pav n,

Taxxkby. 7

et le quotient s*obtient en faisant les mêmes additions et soustractions, dans le même ordre, sur les résultats a', b\ c', d',... de la division par n des nombres a, b^ c, d,.,.

Il est sous-entendu que les additions et les soustractions doivent se suivre dans un ordre tel que les soustractions soient toujours possibles.

Considérons en effet, par exemple, l'expression

a — A + c — d; on a, par hypothèse,

et par suite

a — b'\'C — d= dn — Vn -|- c'a — in

C'est ce qu'il fallait démontrer.

On peut donc écrire, en supposant a, &, c, et d divisibles par n,

En particulier, si la somme de deux nombres est divisible pa$* un nombre m, ainsi que l'une de ses parties, Vautre partie est aussi divisible par ce nombre.

La seconde partie est, en effet, la différence entre la somme et la première partie, et les deux termes de cette différence sont divisibles par le nombre m.

Si la différence entre deux nombres a, b est divisible par le nombre m, ainsi que Vun des nombres a, 6, il en sera de même de Vautre.

En effet, si les nombres a — b Qib sont divisibles par m, il en sera de même du nombre a qui est leur somme ; si les nombres a et a — b sont divisibles par m, il en sera de même du nombre A, qui est leur différence.

118. Si un nombre a est un multiple de 6, tout multiple de a est aussi multiple de b.

Soit en effet am un multiple quelconque de a, il peut être regardé comme la somme de m nombres égaux à a, tous divisibles par b ; cette somme est donc divisible par b\ le quotient obtenu en la divisant par b est la somme de m nombres égaux à a',' en désignant par a! le quotient de la division de a par b. Ainsi le quotient de la

division de am par b est afm et Ton peut énoncer le théorème suivant : Dans un produit de deux facteurs, si Tun des facteurs est divisible par un nombre , il en est de même du produit et, pour diviser le produit par ce nombre, il suffit de diviser le facteur considéré.

Ce théorème s'étend à un produit d'autant de facteurs que Ton veut, dont Tun est divisible par le nombre que Ton emploie comme diviseur, puisque ce produit peut être regardé comme obtenu en multipliant le facteur considéré par le produit de tous les autres.

Il pourrait se déduire tout aussi bien, sous cette forme générale, de la proposition établie au n» 79. Si, en effet, dans un produit P de plusieurs facteurs, on remplace un des facteurs a, divisible par 6, parle quotient a' que Ton obtient en divisant a par 6, on obtient un nouveau produit P'; ce produit P', si on le multiplie par ô, ce qui peut se faire en multipliant a' par 6, ou en remplaçant a' par a, reproduit P : inversement P est divisible par i, et le quotient est F.

119. Dans le cas d'un produit de deux facteurs, la proposition qui vient d'être établie peut s'énoncer autrement. Soit, par exemple, le produit 15 X 7 = (3 X 5) X 7; si on le divise par 5, le quotient sera 3 X 7, et l'on voit qu'il revient au même de diviser d'abord 15 par 5 et de multiplier ensuite le quotient par 7, ou de multiplier d'abord le nombre 15 par 7 et de diviser ensuite le produit par 5.

Lorsqu'un nombre a est divisible par un nombre 6, il revient au même de diviser a par b et de multiplier le quotient par c, ou de multiplier a par c et de diviser le produit par b.

Diviser 15 X 7 par 5, c'est prendre le cinquième de sept fois 15; diviser 15 par 5, c'est en prendre le cinquième; en multipliant le résultat par 7, on obtient sept fois le cinquième de 15. C'est ce qu'on exprime en disant : Sept fois le cinquième de 15 (ou les sept cinquièmes de 15), est la même chose que le cinquième de sept fois 15.

Le lecteur voit de lui-même ce qu'il y a de général dans cette façon de parler ; mais il ne doit pas oublier qu'on suppose essentiellement ici que les divisions puissent s'effectuer exactement.

120. Lorsqu'une division se fait exactement, elle se fera encore exactement après qu'on aura multiplié le dividende et le diviseur par un même nombre, différent de zéro, et elle fournira le même quotient.

Supposons en effet que a soit divisible par 6 et soit q le quotient; on aura

a = bq

et en mtdtipliant les deux membres par un nombre quelconque m différent de zéro, on aura

am = bqm = {bm) X q ;

cette dernière égalité exprime que am est divisible par bm et que le quotient est q.

En d'autres termes, si a est divisible par b^am est divisible par bm, et Ton peut écrire

a am b bm

Réciproquement, lorsqu'une division se fait exactement et que le dividende et le diviseur sont divisibles par un même nombre, elle se fera encore exactement après qu^on aura divisé le dividende et le diviseur par ce nombre, et elle fournira le même quotient.

Supposons en effet que le dividende a et le diviseur b. soient divisibles par m et désignons par a' et b' les nombres que Ton obtient en les divisant par m ; divisons par m les deux membres de régalité

a = ôg ;

pour diviser bq par m, il suffira (n^ H8) de remplacer b par b' et Ton aura Tégalité

qui prouve que a' est divisible par b' et que le quotient est y, comme le quotient de la division de a par b,

121. Si les deux nombres a et a' sont respectivement divisibles par b et b\ leur produit aa' est divisible par bb' et le quotient est le produit des quotients des divisions de a par b et de a' par b*,

Soien^ en effet q et q' ces derniers quotients ; on aura

a = bq, a' = b'q', et par suite

axa'=:bqxb'q', ou ,

aa=z{bb')x{qq^).

Cette dernière égalité exprime que aa' est divisible par ii' et que le quotient est bien le produit qq' des quotients primitifs. En

d'autres termes, quand a est divisible par b et a' par ft', ad est divisible par bb' et Ton peut écrire

a a' aa'

122. Les propositions du n^ 120 sont comprises, comme cas particuliers, dans le théorème suivant et dans sa réciproque.

Quand on multiplie le dividende et le diviseur par un même nombre^ différent de zéro, le quotient n'est pas changé^ et le reste est multiplié par ce nombre.

Soient a, *, y, r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste de la division primitive, et c le nombre par lequel on multiplie : on a

a = éj -|- r, r <^b;

on en déduit, en multipliant par c les deux nombres de Tégalité et de rinégalité,

ac = bcq -f- '•^, rc <ibc :

il résulte de là que q et rc sont bien le quotient et le reste dans la division de ac par bc.

Cette proposition entraîne la suivante.

Lorsque le dividende et le diviseur sont divisibles par un même nombre, le reste est aussi divisible par ce nombre; si l'on divise le dividende et le diviseur par ce nombre^ le quotient n'est pas changé et le reste est divisé par ce nombre.

Soient, en effet, a, 6, 9, r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste dans la première division ; soit c un nombre qui divise a et 6 ; soient a', b* les résultats obtenus en divisante et b par c\ soient enfin ^, r' le quotient et le reste dans la division de a' par b'\ a, b s'obtiennent en multipliant a', 6' par c ; en vertu du théorème direct, q est égal à q' et r s'obtient en multipliant r' par c ; r est donc divisible par c et Ton a bien

123. Les propositions qui suivent concernent surtout le reste.

On ne modifie pas le reste d'une division quand on augmente ou quon diminue le dividende d'un multiple du diviseur.

Soient, en effet, a, b, q^ r le dividende, le diviseur, le quotient et le reste d'une division ; on a

a r= iy -|- r, »' < * ;

lOî LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.

si bm est un multiple quelconque du diviseur, on aura

a -]- bm =1 b {q -\- m) -\- r^ r <i b^ a — bm =: b {g — m) -\- r^ r <C b ;

et Ton voit que r est le reste de la division de a + bm, ou de a — 6m, par b : les quotients sont ? + wi, ^r — m; c'est au fond la même proposition qu'au n* 103.

On observera que ce théorème peut encore être énoncé sous les formes suivantes :

Si dans une somme de deux nombres une des parties est divisible par un nombre m, on obtiendra le même reste en divisant par m soit Tautre partie, soit la somme. Si dans une différence le plus petit nombre est divisible par m, on obtiendra le même reste en divisant par m soit le plus grand nombre, soit la différence.

124. Si la différence entre les deux nombres a et a' est divisible par 6, on obtiendra le même reste en divisant a ou d par b.

En effet, le plus grand des deux nombres a, a s'obtient en ajoutant à l'autre un multiple du diviseur b.

Réciproquement, si deux nombres a, a' divisés jwtr le nombre b donnent le même reste r, leur différence est divisible par b.

En effet, si l'on désigne par q et q' les quotients, on aura

a =z bq -^ r, a' z= bq' + r,

et, en supposant a plus grand que a',

a — a' = bq-\'r — [bq' -\- r) =1 bq — bq' = b {q — 5^').

125. Si dans une division, le dividende est une somme ou une différence, on ne modifie pas le reste en augmentant ou en diminuant d'un multiple du diviseur Vune des parties de la somme, Vun des termes de la différence.

En effet, par là, on ne fait qu'augmenter ou diminuer le dividende d'un multiple du diviseur.

126. Siy dans une division, le dividende est un p}*oduit de plusieurs facteurs, on ne change pas le reste en augmentant ou en diminuant Vun de ces facteurs d'un multiple du diviseur.

Soient en effet a l'un des facteurs du dividende, et a', l'autre facteur, ou le produit des autres facteurs, s'il y en a plus d'un. Soit b le

CARACTÈRES BE DIVISIBIUTÊ. 103

diviseur. En ajoutant, par exemple, au facteur a un multiple mb du diviseur, le produit sera remplacé par

(a + mb) a' = aa' -{- mba' = aa' + b X {fna%

c'est-à-dire que le dividende sera augmenté d*un multiple de 6, à savoir b X {ma') ; le reste ne sera donc pas modifié.

11 est clair qu'on ne changera pas le reste si on augmente ou qu'on diminue successivement chacun des facteurs qui entrent au dividende d'un multiple du diviseur; on ne changera donc pas non plus ce reste en augmentant, ou en diminuant, à la fois, de multiples du diviseur, tous les facteurs du dividende.

Considérons, par exemple, le produit 12x17x8 comme dividende et 5 comme diviseur ; le reste sera le même si Ton remplace 12 par 2, 17 par 2, 8 par 3, puisque Ton a

En particulier, on pourra remplacer, sans changer le reste, tous les facteurs du dividende par les restes qu'on obtient en les divisant par le diviseur. Dans l'exemple précédent, on aurait ainsi pu remplacer 12 par 2, 17 par 2, 8 par 3; on aurait ainsi obtenu 2 X 2 X 3 = 12; le reste de la division par 5 de ce produit est 2 ; il en est de même du reste de la division par 5 du produit 12 X 17 X 8.

§ 2. — Caractères de divisibilité.

127. On a souvent intérêt à calculer le reste d'une division, sans avoir besoin du quotient : en particulier, il est souvent intéressant de reconnaître si ce reste est nul, ou non. Au lieu de faire la division tout entière, il est très commode de s'appuyer sur les théorèmes précédents pour substituer au dividende d'autres nombres plus simples et qui fournissent le même reste.

Les règles qui suivent se rapportent essentiellement à la numération décimale.

128. Caractères de divisibilité jmr 2, S; 4, 25;... De l'égalité

10 = 2X3 on déduit (n« 81)

et én.géDéral

Puisque 10 est divisible par 2 et par 5, tout multiple de 10 sera divisible par 2 et par 5 ; ou encore toute collection de dizaines est un multiple de 2 et de 5 ; de même toute collection de centaines est un multiple de 4 et 25, toute collection de mille est un multiple de 8 et de 125. 11 résulte de là que si Ton cherche le reste de la division d'un nombre A par 2 ou par 5, on peut négliger les dizaines de A, c'est-àdire ne conserver que le dernier chiffre (à droite) de A ; si Ton cherche le reste de la division d'un nombre A par 4 ou par 25, on peut négliger les centaines de A et remplacer A par le nombre formé par l'ensemble de ses deux derniers chiffres à droite ; de même, si Ton cherche le reste de la division d'un nombre par 8 ou 125, on peut négliger les mille de A, ou remplacer A par le nombre formé par l'ensemble de ses trois derniers chiffres, etc..

Par exemple, le reste de la division de 874367 par 4 est le même que le reste de la division de 67, c'est 3 ; le reste de la division par 125 du même nombre est le même que le reste de la division de 367, c'est 117.

En particulier, on a les théorèmes suivants :

Pour qu'un nombre soit divisible par 2, il faut et il suffit qu'il soit terminé par un des chiffres 0, 2, 4, 6, 8 : en effet, ce sont là les seuls nombres d'un chiffre qui soient divisibles par 2.

Les nombres divisibles par 2 sont dits pairs.

Les nombres qui sont terminés par les chiffres 1 , 3, 5, 7, 9 ne sont pas divisibles par 2 : ils sont impairs.

Pour qu'un nombre soit divisible par 5, il faut et il suffit qu'il soit terminé par un des chiffres 0, 5, car ce sont là les seuls nombres d'un chiffre qui soient divisibles par 5.

Pour qu'un nombre soit divisible par 4, il faut et il suffit que le nombre formé par ses deux derniers chiffres soit divisible par 4.

Pour qu'un nombre soit divisible par 25, il faut et il suffit qu'il soit terpfiiné par deux zéros, ou par 25, ou par 50, ou par 75.

Pour qu'un nombre soit divisible par 8, il faut et il suffit que le nombre formé par ses trois derniers chiffres soit divisible par 8, etc.

129. Caractère de divisibilité par 9 ou par 3. Le reste de la division d'un nombre par 9 ou par 3 est le même que le reste de la division par 9 ou par 3 de la somme de ses chiffres significatifs.

La démonstration repose sur les remarques suivantes :

Si Von divise par 9 Tunité suivie d'un certain nombre de zéros le reste est 1 .

En effet 10 est égal à 9 + 1; Tunité suivie d'un nombre quelconque de zéros est un produit de facteurs tous égaux à 10; on ne modiOe pas le reste de la division par 9 d'un tel produit en diminuant chaque facteur de 9 (n^l26); il reste alors un produit de facteurs tous égaux à 1 : donc le reste cherché est 1 . Cette proposition se lit d'ailleurs en quelque sorte sur la forme du nombre obtenu en retranchant 1 d'un nombre formé en écrivant l'unité suivie de plusieurs zéros; la différence est évidemment un nombre dont tous les chiffres sont des 9, et qui comprend autant de chiffres qu'il y avait de zéros après l'unité : par exemple, on a

Considérons maintenant le nombre 7805643 ; il est égal à

On ne modifiera pas le reste obtenu en divisant cette somme par 9, si l'on remplace chaque partie de cette somme par le reste qu'elle fournirait en la divisant par 9 (n® 125); chaque partie est un produit, et l'on ne modifie pas le reste que donne ce produit en remplaçant l'un des facteurs par le reste qu'il fournirait en le divisant "par 9; on peut donc, sans changer le reste, remplacer les facteurs 1000000, 100000, 1000, 100, 10 par 1 ; on obtient ainsi la somme

des chiffres significatifs du nombre proposé; c'est ce qu'il fallait démontrer.

On peut dire encore : Tout nombre est un multiple de 9 plus la somme de ses chiffres significatifs.

En effet 7805643 et 7 + 8+5 + 6 + 4 + 3, divisés par 9, donnent le même reste; leur différence est donc divisible par 9.

En particulier : Pour qu'un nombre soit divisible par 9, il faut et il suffit que la sojnme de ses chiffres significatifs soit divisible par 9.

Comme 9 est un multiple de 3, il est clair qu'on peut dire encore que le nombre 7805643 est un multiple de 3 augmenté de la somme 7 + 8 + 5 + 6 + 4 + 3 de ses chiffres significatifs ; en sorte que le reste de la division par 3 du nombre 7805643 est le même que le reste de la division par 3 de la somme de ses chiffres signifia

106 LEÇONS D*AR1THMÉTIQUE.

catifs. Pour qu'un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffît que la somme de ses chiffres significatifs soit divisible par 3. - Pour obtenir le reste de la division par 9 d*un nombre, dans la pratique, on applique plusieurs fois le même théorème, en supprimant les multiples de 9 à chaque fois : ainsi pour calculer le reste relatif à7 + 8-fS + 6+4 + 3, on effectue la somme 7 + 8 = IS et Ton remplace 15 par 1+5 = 6; on a ensuite à ajouter 5, ce qui donne 11, que Ton remplace par 1 -|-1 r=:2; on ajoute ensuite à 2 successivement 6 et 4, ce qui donne 12, que Ton remplace par 1+2 = 3; il n'y a plus qu'à ajouter 3: le reste est 6. SU y a des 9 parmi les chiffres significatifs on n'en tient pas compte.

430. La méthode générale pour trouver le caractère de divisibilité par un nombre a apparaît sur cet exemple.

Supposons que l'on connaisse les restes obtenus en divisant par a les nombres 10, 100, 1000, ... et considérons un nombre quelconque, par exemple le nombre 7805643 ; on l'écrira

et pour obtenir le reste de la division par a, on remplacera dans cette somme 10, 100, 1000, ... par les restes qu'ils fournissent en les divisant par a. Ce qui fait la simplicité de la méthode pour le cas où a est 9, c'est que tous les restes se trouvent égaux à 1. On pourrait traiter exactement de la même façon les cas ou a est égal à 2, 4, 8, ... ou à 5, 25, 125, ... ; dans ces cas tous les restes unissent par devenir nuls, et c'est pourquoi les caractères de divisibilité ne portent que sur les derniers chiffres. On verra plus tard (n*240) que les restes finissent toujours par se reproduire périodiquement, et il en résulte une simplification dans remploi de cette méthode ; sans m'arrêter davantage à ces généralités,, je me contenterai de l'appliquer au cas où a = 1 1 .

43i. Caraclhe de divisibilité par 11. Pour obtenir le reste de la division par 11 d'un nombre quelconque, on peut procéder comme il suit : on fait la somme des chiffres qui représentent des unités simples ou composées d'ordre pair (les unités simples doivent être regardées comme d'un ordre pav\ l'ordre zéro) ; on fait aussi la somme des chiffres qui représentent des unités d'ordre impair. Si la seconde somme est inférieure ou égale à la première on la retranche de la première : le reste cherché est le même que pour la différence ; si la seconde somme est supérieure à la première on fait la soustraction après avoir ajouté à la première un multiple de 11 assez grand pour qu'elle soit possible; on pourrait tout aussi

bien diminuer la seconde somme d'un multiple de 11 ; dans tous les cas, la différence, divisée par 11, fournira le même reste que le nombre proposé.

Les restes de la division des nombres 10 et 100 par 11 sont respectivement 10 et 1 : en effet, on a : 100= 99 + 1 = 1 1 X 9 + 1 ; il est bien aisé de conclure de là que si on divise par 11 les termes de la suite 10, 100, 1000, 10000, ..., on trouvera alternativement pour restes 10 et 1 ; autrement dit : Tout nombre formé en faisant suivre Tunité d'un nombre pair de zéros, divisé par 11, donne pour reste 1 ; tout nombre formé en faisant suivre Tunité d'un nombre impair de zéros, divisé par 11, donne pour reste 10. En effet, un nombre formé de la première façon peut être regardé comme un pvoduit de facteurs tous égaux à 100, et Ton ne change pas le reste fue ce produit fournirait en le divisant par 11 si Ton remplace chacun des facteurs par 1, c'est-à-dire par le reste qu'il donne lui-même quand on le divise par 11 ; le reste, dans ce cas, est donc égal àl ; si maintenant on considère un nombre formé de la seconde façon, il peut être regardé comme le produit par 10 d'un nombre formé en faisant suivre l'unité d'un nombre pair de zéros; dans ce produit on peut encore, si l'on se borne à chercher le reste relatif à la division par 11, remplacer le second facteur par 1, c'est-à-dire par le reste qu'il donne quand on le divise par 11 ; dans ce second cas, le reste sera donc 10 X 1 ou 10.

Considérons maintenant le nombre.

On ne change pas le reste de la division par 11 en remplaçant dans le second membre les facteurs 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000 par leurs restes, c'est-à-dire par les nombres 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10; ce second membre devient alors

dans cette somme, on voit figurer la somme des chiffres représentant des unités d'ordre pair et la somme des chiffres représentant des unités d'ordre impair, cette dernière multipliée par 10 = 11 — 1 ; le résultat précédent peut encore s'écrire

2 + 4 + 5 + 7 + (il-l)x (9 + 0 + 8) = 2+4 + 5+ 7 + 11 m — (9 + 8 + 8);

dans le multiple de 11, 11 X m, qui figure ici, m représente la somme

des chiffres d'ordre impair, mais si Ton ne se préoccupe que du reste de la division par il, on peut remplacer ce multiple de 11 par tel autre multiple de 11 que Ton voudra, pourvu que la soustraction puisse se faire ; on pourrait aussi bien diminuer la somme à retrancher de tel multiple de 11 qu'on voudra. La proposition est démontrée. Dans l'exemple considéré, on peut effectuer la différence 2 + 4 + 5 -|- 7 — (9 + 8), elle est égale à 1 : le reste cherché est 1.

On peut dire encore : Tout nombre est un multiple de 11 augmenté de la somme de. ses chiffres de rang pair et diminué de la somme de ses chiffres de rang impair.

132. Preuves de la multiplication par 9 ou par 11. — La proposition du n"" 1 25 fournit un moyen précieux de contrôler une multiplication.

Soient a, b deux facteurs d^un produit ab ; soient, en employant un diviseur quelconque c, a' et b' les restes de la division par c de a et de b\ en divisant par c le produit ab^ ou le produit a' 6', on doit retrouver le même reste ; on choisira pour le diviseur c un nombre pour lequel le calcul des restes soit facile; on peut être tenté de prendre pour c Tun des nombres 2, 5, 8... ; mais la preuve ne porterait alors que sur les derniers chiffres du produit. Au contraire, les diviseurs 9 et 11 conviennent parfaitement. C'est évidemment le premier qui est le plus commode, et c'est celui qu'on utilise le plus fréquemment.

Prenons par exemple la multiplication de 98756 par 823, effectuée au n*^ 94. Les restes de la division par 9 du multiplicande et du multiplicateur sont respectivement 8 et 4 ; le reste relatif au produit devra être le même que le reste de la division par 9 du produit 8x4 = 32, reste qui est 5 ; on a trouvé au produit 81276188, qui donne bien aussi 5 pour reste.

Si l'on avait employé le diviseur 11, on aurait trouvé, pour restes, relatifs aux deux facteurs, 9 et 9 : le reste relatif au produit doit donc être le même que pour 81 , c'est-à-dire 4 , ce qui se vérifie bien encore .

Il y a lieu de remarquer que la preuve par 9, si elle réussit et si elle a été faite sans erreur, prouve seulement que l'erreur, s'il y en a une, est un multiple de 9. On voit sans peine, par exemple, qu'elle n'avertirait pas d'une erreur commise en ne plaçant point les produits partiels à la place convenable.

De môme la preuve par 11 montre que l'erreur, s'il y en a une, est un multiple de 11. L'emploi simultané des deux preuves montre que Terreur doit être à la fois un multiple de 11 et de 9; on verra plus tard (n® 145) qu'elle est alors nécessairement un multiple de 99.

EzeroiceB,

83. Un nombre est divisible par 4 si le chiffre des unités ajouté au double du chiffre des dizaines donne une somme divisible par 4.

84. Un nombre est divisible par 8 si le chiffre des unités ajouté au double du chiffre des dizaines et à quatre fois celui des centaines donne une somme divisible par 8.

85. Un nombre est divisible par 6 si le chiffre des unités ajouté à quatre fois la somme de tous les autres donne une somme divisible par 6.

86. La différence entre un nombre et ce même nombre renversé (c'est-à-dire obtenu en écrivant les chiffres en ordre inverse) est divisible par 9.

87. La somme d'un nombre et du même nombre renversé est divisible par 11 quand le nombre de chiffres est pair.

88. Le reste de la division d'un nombre par 99 s'obtient en le séparant en tranches de deux chiffres à partir de la droite, en ajoutant ces tranches et en cherchant le reste de leur somme divisée par 99.

88. Formuler une règle analogue à celle de l'exercice précédent pour les nombres 999, 9999, ..., 101, 1001, I0001,etc.

90. De réfçalité 1001 = 7x11X13, déduire la règle suivante : Pour trouver le reste de la division d'un nombre par 7, 11 ou 13, on peut le décomposer en tranches de trois chiffres à partir de la droite, faire la somme des tranches de rang impair et, après lui avoir ajouté, s'il est nécessaire, un multiple de 7, 11 ou 13, en retran> cher la sonnme des tranches de rang pair, puis diviser la différence par 7, 11 ou 13. Le reste d^ cette division sera le reste cherché.

91. Tout nombre impair est un multiple de 4 augmenté de 1, ou diminué de 1.

92. Le oarré de tout nombre impair divisé par 8 donne 1 pour reste.

93. Tout nombre impair qui est la somme des carrés de deux nombres donne 1 pour reste quand on le divise par 4.

94. Si a n'est pas divisible par 5, a^ — 1 est un multiple de 5.

Le mode de démonstration, souvent employé, consiste à remplacer, dans a^ — 1, a par le reste que l'on obtient en le divisant par 5, ce reste peut être 1, 2, S, 4 : on constate que dans tous les cas le résultat est divisible par 5.

95. Si a n'est pas divisible par 7, a*— 1 est divisible par 7.

96. Le produit de deux nombres entiers consécutifs est toujours pair; en prenant la moitié de ce produit on aura un quotient qui, divisé par 3, ne pourra jamais donner 2 pour reste.

97. Le produit de p nombres entiers consécutifs est divisible par p.

Cette proposition peut s'établir, par induction, au moyen du théorème énoncé dans l'exercice 55.

98. Quels que soient les nombres a, b où l'on suppose a ^6, l'un des nombres a, 6, a -f 6, a — ô, 2a -f 6, 2« — 6, est divisible par 6.

99. Quels seraient dans le système de numération dont la base est a les caractères de divisibilité par a — 1 et par a + 1 ?

100. a et 6 étant deux nombres non divisibles par 3, a* — 6* est divisible par 9.

101. a" — b^ est divisible par a — 6, quels que soient les nombres a, 6, n, av 6" est divisible par a + 6 si n est pair.

a*-\- 6" est divisible par a -|- 6 si n est impair.

En particulier 3» — 1 est divisible par 3 si n est pair, 3" -f l est divisible par 3 si n est impair.

102. Si Ton veut avoir le reste de la division par p du résultat obtenu en remplaçant X par un nombre quelconque a dans une expression de la forme

Atar» -I- A|a:«-* -J- Ai*»-» + ... -h A„ja; + A„,

ou A^ Al, A|, ..., A,j j, A,j sont des nombres donnés, on peut remplacer x par le

reste obtenu en divisant m par p ; les résultats des deux substitutions, divisés par j9, donnent le même reste.

Si dans le polynôme précéd«it, on met successivement à la place de x les nombres 0, 1, 2, 3, ..., et que Ton divise par p les résultats obtenus, on trouvera une suite de restes qui se reproduiront périodiquement de p en p.

Cette proposition sera généralisée dans le chapitre final, où Ton en tirera de nombreuses conséquences.

103. Avec les notations expliquées au n* 116, on voit que les propositions énoncées

aux exercices 29, 53, 50, 56, 41 peuvent être énoncées comme il suit :

. , , n(n + l) La somme des n premiers nombres, à partir de 1, est •

u . . ^ . «(n + l)(2n-hl) La somme des carrés des n premiers nombres, à partir de 1 , est -^ —

La somme des cubes des n premiers nombres est

Le nombre de solutions distinctes de Téquation arj -f Xt + ... -\- J^, i | = n est

et de ces propositions résultent les théorèmes suivants :

n (n -h 1) (2n + I) est toujours divisible par 6. Le produit de p nombres entiers consécutifs est toiyours divisible par le produit des p premiers nombres.

La somme s des termes d'une progression géométrique dont le premier terme est a, le dernier terme b et la raison q est donnée par la formule

bq — a

^ — 1 en supposant q autre que 1.

Quel que soit le nombre a, autre que 1, on a

^=:l+rt4.a* + ... + a».

Cette dernière proposition ne diffère pas de celle qui a été établie au n* 88, lorsqu'on y suppose 6 = 1.

104. On désigne sous le nom de nombres triangulaires, carrés, pentagonaux, hexagonaux, etc., les nombres obtenus en faisant la somme des premiers termes d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est toujours 1 et dans laquelle la raison est 1, 2, 3, 4, etc. En faisant la somme des n premiers termes on a le ni^»c nombre triangulaire, carré, etc.; ces dénominations s'expliquent pour les nombres triangulaires, par exemple, en remarquant qu'ils représentent des nombres de points qui peuvent être arrangés en triangle comme dans la figure ci-dessous :

Le lecteur trouvera sans peine une interprétation analogue pour les autres nombres polygonaux.

En général, lexpression du 7ii^i»<^ nombre polygonal correspondant à un polygone de q côtés est donnée par la formule :

a W (il — 1)

Pj=:i-h(?-2)x-i-2— ^;

(dans la notation P^, q est un indice, non un exposant).

PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. lU

106. La somme des n premiers nombres triangulaires est un nombre pyramidal. Eu général, on appelle ni^i"^' nombre figut*é (ïorûre g la somme des n premiers nombres figurés d'ordre q — 1, en regardant les nombres de la suite naturelle 1, 3, 3, ... comme figurés d'ordre 1, les nombres triangulaires comme figurés d*ordre 3, les nombres pyramidaux comme figurés d*ordre3, etc. Len<^>»c nombre figuré d'ordre g est donné par la formule :

[dansla notation F^, g est un indice, non un exposant). (Ex. 41, 55.)

La somme des n premiers nombres triangulaires représente le nombre de boulets sphériques contenus dans une pile triangulaire. La somme des n premiers nombres carrés représente le nombre de boulets sphériques contenus dans une pile carrée. On suppose que, en passant d'une couche de boulets à la couche supérieure, le nombre de boulets contenus dans le c6té du triangle ou du carré qui forme cette couche diminue d'une unité. La pile se termine en haut par un seul boulet. i06. En conservant les notations de Texercice 93 démontrer par induction que le

nombre c|^ du triangle de Pascal est égal, lorsque p est plus grand que 1, au quotient du produit de p nombres consécutifs décroissants, à partir de n, divisé par le produit des p premiers nombres ; en d'autres termes on a :

Lorsque p est égala 1, ou à 0, cette formule doit être remplacée par les suivantes :

On admettra que la loi est vraie pour les n premières lignes du triangle, on en déduira qu'elle subsi.ste pour la (n 4- !)'*"»«.