PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE

§ 2. — Pins petit commun multiple.

146. Un nombre A, différent de zéro, est dit commun multiple de plusieurs nombres a,6,c,.,. s'il est divisible par chacun d'eux.

Des nombres a, 6, c,... étant donnés, le produit de ces nombres, multiplié par un facteur arbitraire, est un commun multiple de ces nombres ; ceux-ci admettent donc une inHuité de communs multiples ; parmi ces communs multiples, il y en a un qui est plus petit que tous les autres ; en effet, de deux choses Tune : ou il n'y a pas de commun multiple plus petit que le produit des nombres a,6,c,..., alors ce produit est le plus, petit commun multiple cherché ; ou il y a quelque commun multiple inférieur à ce produit ; mais les nombres inférieurs à ce produit abc, étant en nombre limité, il en est de même des communs multiples inférieurs à abc. ; parmi ceux-ci, il y en a un qui est plus petit que tous les autres.

147. Si les nombres a,6,(;,... sont premiers entre eux deux à deux, il résulte du théorème précédent que tout commun multiple de ces nombres est un multiple de leur produit abc. : ce produit est donc le plus petit commun multiple des nombres a, 6, c,... et tout commun multiple de ces nombres est un multiple de leur plus petit commun multiple. Cette proposition va être généralisée et nous allons montrer que les multiples communs à deux ou plusieurs nombres s'obtiennent en multipliant l'un d'eux par un nombre arbitraire.

148. Considérons d'abord deux nombres, a, b\ soit D leur plus grand commun diviseur; soient a'^b' les quotients de la division de a, 6 par D; on a

a — a'D, b=zb'\),

et les nombres a-, b' sont premiers entre eux. Tout multiple de a s'obtient en multipliant a par un certain nombre m ; il peut donc se représenter par a'Dm. Si l'on veut que ce nombre soit un multiple de 6, il faut choisir m de façon que a'bm soit divisible par b ou b'\>\ si q est le quotient, on aura

a'Dm = b'Dq,

ou, en divisant par D,

a' m = Vq ;

il faut donc que b' divise a' m ; or il est premier avec a', il faut donc qu'il divise m. Réciproquement, si m est divisible par 6', il en sera

de même de a'm^ et par suite a'mD sera divisible par 6'D = A (n" 120). Ainsi tout commun multiple de a et de 6 s'obtiendra en mettant dans le produit a'Dm, à la place de m, un multiple de V et, réciproquement, tout nombre obtenu de cette façon est un multiple commun de a, b\ or, tout multiple de b' est de la forme kb\ k étant un nombre quelconque; donc, tout multiple commun de a, b est de la forme

a'DX(A6')=a'6'Dx*,

et réciproquement : on voit donc que les multiples communs de a, b sont les mômes nombres que les multiples de a'b'l^ ; on les obtiendra tous en donnant à k les valeurs 1, 2, 3,... Le plus petit est a!b'l>. Par exemple, le plus petit multiple commun de 360 et 172 est égal

au produit de 172 par — = 90 : il est 15480 ; les multiples de 1S480

sont les multiples communs de 360 et 172.

Si les nombres a, b sont premiers entre eux, on a D = 1, a' = a, b' = b, et la démonstration précédente montre que les multiples communs de a, b sont les mêmes nombres que les multiples de leur produit : c'est la proposition du n* 145.

Le nombre a'b'h s'appelle plus petit commun multiple des nombres

a, 6; cette dénomination est évidemment justifiée. On peut récrire

ab ab\ ou a'6, ou encore -=- ; car on a vu, n" 118, que pour diviser par D

le produit ai, il suffisait de diviser par D l'un de ses facteurs : —

est donc la même chose que a!b. Nous sommes parvenus au théorème suivant:

Le plus petit commun multiple de deux nombres s'obtient en divisant leur produit par leur plus grand commun diviseur; les multiples communs de deux nombres sont les mêmes nombres que les multiples de leur plus petit commun multiple.

149. Si Ton a maintenant plusieurs nombres, a, 6, c, d par exemple, et que Ton cherche les communs multiples de ces nombres, on peut remplacer deux d'entre eux, a, b par exemple, par leur plus petit commun multiple M; les multiples communs de a, b étant les mêmes nombres que les multiples de M, il est clair que les multiples communs de a, &, e, d seront les mêmes que les multiples communs des nombres M, c, d; si Ton désigne maintenant par M' le plus petit commun multiple de M et de c, il est clair que les communs multiples de M, c, d seront les mêmes que les communs multiples de