PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE
M', d; enfin, si Ton désigne par M'^ le plus petit commun multiple de M', (/, les communs multiples de M', d seront les mêmes nombres que les multiples de M^.
Le raisonnement est général et Ton voit que : 1*^ Étant donnés autant de nombres qu'on veut^ il existe un nombre m tel que les multiples communs des nombres donnés soient les mêmes nombres que les multiples de m ; ce nombre m s'appelle le plus petit commun multiple des nombres donnés; •
2** Dans la recherche du plus petit commun multiple de plusieurs nombres y on peut remplacer deux ou plusieurs de ces nombres par leur plus petit commun multiple.
Par exemple, le plus petit commun multiple de 360, 172, 18, 21 est
le même que le plus petit commun multiple de 15480 (qui est le plus
petit commun multiple de 360 et de 172) et de 126 (qui est le plus petit
commun multiple de 18 et de 21] ; et comme 18 est le plus grand
commun diviseur de 15480 et de 126, le plus petit commun multiple
cherché est égal au produit de 15480 par-jô"= "^ î il ®st donc 108360.
lo
150. 11 ne sera pas inutile de remarquer que le théorème fondamental « les multiples communs à deux ou plusieurs nombres sont les mêmes nombres que les multiples de leur plus petit commun multiple » peut être déduit directement de la notion de plus petit commun multiple.
Soit en effet M le plus petit commun multiple des nombres a,6,c,... lel qu*il a été défini au n^ 146 et soit M' un commun multiple de ces nombres; si M' n'est pas divisible par M, soit M" le reste de la division de M' par M; M" devra être divisible par a, 6, c,... (n<» 134) ; M'' est donc un commun multiple de a, b, c,...; mais M" est plus petit que M ; M ne serait donc pas le plus petit commun multiple.
151. Cette proposition entraîne la proposition analogue relative au plus grand commun diviseur.
On observera d'abord que si le commun multiple de plusieurs nombres D, D', IV',... figure parmi ces nombres, c'est certainement le plus grand d'entre eux. Ceci posé, soient a, 6, c,... plusieurs nombres et D,D',D'',... tous leurs communs diviseurs; les nombres a, 6, c,... étant des multiples de D, D', D'',... seront divisibles par leur plus petit commun multiple, qui ainsi fera nécessairement partie des nombres D, D', D^',... et sera donc le plus grand d'entre eux. On a ainsi une seconde démonstration de la propriété fondamentale du plus grand commun diviseur (*].
1. Elle est tiriSe d'un Mémoire de M. StioUjes {Annale* de la Faculté des Sciences de Toulouse, T. V).
152. La condition nécessaire et suffisante pour que M soit le plus petit commun multiple des nombres a, b, c,... est que M soit divisible par chacun de ces nombres et que les quotients soient premiers entre eux.
i" Si M est le plus petit commun multiple de a, 6, c,..., les quotients obtenus en divisant M par a, 6, c,... sont premiers entre eux : désignons, en effet, ces quotients par a', 6', c',..., on aura
M = aa' = 66' = ce' = ...;
si a', 6', c',... avaient un diviseur commun h autre que un, on pourrait poser
a' = ka'', b' = *6", c' = AC',..., et par suite
M = aa^'k = 66"ife = c&'k = ... ;
M serait donc divisible par k et Ton aurait
^ = aa" = 66" = c&' = ...; k
.T* serait donc un commun multiple de a, 6, c, ..., et M ne serait pas le plus
petit commun multiple de ces nombres.
2° Si M est un commun multiple, mais non le plus petit commun multiple de a, 6, c,..., les quotients de la division de M par a, 6, r,... ne sont pas premiers entre eux.
Soit en effet m le plus petit commun multiple de a, 6, c,... et soient
a', 6', c'y... les quotients -, -j-, —,...; on aura
m= aa' = bb' = ce' = ...;
d'ailleurs M est divisible par m; soit A le quotient, qui, par hypothèse, est plus grand que un : on aura
M = mA = tt'i'h = 66'^ = cc'h = ...,
d'où Ton déduit que les quotients do la division de M par a, 6, c,... sont respectivement a'A, 67t, c7i,..., et qu'ils admettent le diviseur commun /i(*).
153. Quand on multiplie ou qu'on divise plusieurs nombres a, 6, c,... par un même nombre h, le plus petit commun multiple des nombres a, 6, c,... est multiplié ou divisé par h. (Les divisions de a, 6, c,... par h sont supposées se faire exactement.)
Soit, en effet, M le plus petit commun multiple de a, 6, c,...; Mh sera divisible par ahy bh, ch,... et les quotients sont les mômes que les quotients de
1. Ces démonstrations no s'appniont que stir la définition dn pltu petit commun multiple de doux on plusieurs nombres, et sur la propriété fondamentale « Tout multiple de plusieurs nombres est un multiple de leur plus petit commun multiple * ; elles font exactement pendant aux démonstrations du n* 141, pour lo plus grand commun diviseur.
