M AVERTISSEMENT

ai regardées résolument comme des systèmes de deux nombres entiers : c'est là une idée qui n'est pas nouvelle* ; elle offre cet avantage de ne pas sortir du domaine de TArithmétique et de préparer le lecteur à d'autres notions, par exemple à l'introduction des nombres imaginaires, en Algèbre. Préparer le lecteur à ce qu'il apprendra plus tard, c'est là le but que j'ai eu constamment devant les yeux. Après avoir parlé des fractions décimales, j'ai insisté sur les calculs approchés : sans doute, urfe théorie des erreurs, un peu complète, suppose quelques connaissances en Algèbre ; au moins m'a-t-il paru nécessaire de poser les questions et d'indiquer les éléments des solutions ; quant au reste, le lecteur le trouvera de luimême, dès que ses connaissances algébriques seront assez développées. Il importe de savoir calculer, et de savoir ce qu'on fait quand on calcule. Cette même préoccupation m'a suivi dans le chapitre relatif aux carrés, à la racine carrée, etc.. Dans ce chapitre, la définition de la racine exacte est seulement préparée^ je suis resté strictement dans le domaine des nombres rationnels.

Je n'ai pas craint de m'arrèter longtemps sur les mesures et les diverses questions qui se rapportent à ce sujet. D'une part, on rencontre là une idée essentielle, celle de la proportionnalité, sur laquelle on ne saurait trop insister; d'autre part, le système métrique et l'explication des diverses règles élémentaires offrent l'occasion de donner au lecteur quelques connaissances pratiques que ceux-là môme qui désirent s'adonner à la pure théorie auraient grand tort de mépriser.

Les sujets qu'on vient de résumer constituent la partie élémentaire du présent livre : ils représentent l'ensemble des connaissances exigées pour le Baccalauréat.

Les trois derniers chapitres* s'adressent aux lecteurs qui veulent pousser plus loin leurs études scientifiques.

Pour ce qui est des nombres irrationnels, j'ai adopté pleine-

1. Elle a été développée récemment par M. Méray et par M. Ricquier.

2. Ils sont imprimés en petits caractères; rù et là, dans les chapitres précédents, on rencontre des passages imprimés de la même façon; ce sont ou des développements théoriques moins essentiels que le reste, ou de simples applications.

AVERTISSEMENT. vu

ment Tidée fondamentale de M. Declekind, qui consiste à définir chaque nombre irrationnel en disant quels sont les nombres rationnels qui sont plus petits ou plus grands que lui. Cette méthode donne, à ce qu'il me semble, Tidée la plus claire possible du nombre irrationnel, en permettant d'assigner immédiatement à chaque nombre irrationnel sa place dans la suite des nombres : cela vaut bien les quelques efforts qu'elle exige. Je ne crois nullement que ces efforts soient au-dessus (le la portée d'un bon élève de la classe de mathématiques élémentaires, et si, par malheur, celui-ci, à un moment donné, oubliait le détail de quelque démonstration, du moment qu'il a bien saisi le sens des définitions et la marche générale des idées, cela, à mon sens, n'aurait aucune importance. Les propositions fondamentales sur les limites ont trouvé leur place dans le même chapitre ; il ne resterait qu'à ajouter quelques mots pour que le lecteur fût en possession des propositions essentielles concernant les séries^ dont, toutefois, je n'ai pas parlé ; mais j'ai cru pouvoir donner quelques indications sur les ensembles; ces indications, après ce qui a été dit des nombres irrationnels, n'offraient aucune difficulté.

Dans le chapitre sur la mesure des grandeurs, j'ai essayé, sur les conseils de M. Darboux, de tirer ce que l'on pouvait de la vieille définition « une grandeur est tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution » ; je me suis efforcé d'expliquer comment on pouvait établir une correspondance entre les nombres et les états d'une grandeur, et comment dans certains cas cette correspondance réalisait la proportionnalité entre les grandeurs et les nombres.

Enfin, dans le dernier chapitre, j'ai donné les premiers éléments de la Théorie des nombres. J'ai développé ces éléments un peu plus qu'on ne fait d'habitude, et je n'ai pas craint d'y faire entrer la loi de réciprocité des restes quadratiques y en sorte que le lecteur qui aura bien voulu me suivre jusque-là puisse au moins soupçonner que la Théorie des nombres est une véritable science , non un recueil de théorèmes isolés , plus ou moins curieux.

Ici et là, dans le texte, les notes ou les exercices, j'ai

vni AMîRTISSEMENT.

introduit quelques courts renseignements historiques : je les dois presque tous à mon frère.

J^ai apporté le plus grand soin au choix des exercices. Rien, peut-être, ne vaut, pour la formation de Tesprit mathématique, les problèmes d'Arithmétique et de Géométrie élémentaire. Ceux que Ton trouvera ici ont été pris en partie dans des livres, recueils ou mémoires divers*; beaucoup ont été choisis pour donner au lecteur quelque ouverture sur des parties plus élevées de la science.

Je dois adresser, en terminant^ mes meilleurs remerciements à M. Darboux : il m'a aidé de ses conseils, non seulement pour l'ensemble, mais encore pour les détails, et si ce livre n'est pas meilleur, ce n'est certainement pas à lui qu'il faudra le reprocher.

1. Je n'ai pas 'cru devoir faire de la bibliographie à propos de ces exercices ;^mais je dois indiquer quelques-unes des sources où j'ai puisé. Les exercices 12, 61, sà, 8J, 85, 117, 129, 130, 131, 138, 16i, 166, 168, 170, 172, 191, 201, 207, 228 se trouvent dans l'excellent Traité d'Arithmétique de M. Joseph Bertrand (Paris, Hachette); les exercices 21 (y compris la démonstration), 23, 21, 30, 36, 58, 82, 83, 104, 105, 114, 115, 123, 124, 125, 126, 143, 154, 155, 161, 167, 170, 189 sont extraits de la Théorie des nombres de Lucas (Paris, Gaulhier-Villars et fils); les exercices 2, 90. 98, 134, 141, 145, 178, 190, 203, 232, 241, 242, 243, 247 sont pris dans le recueil Ci'Exercices (VAHthmétique de MM. Fitz-Patrik et Ghevrel, édité chez M. Hermann, recueil que je me permets de recommander au lecteur; les exercices 148, 149, 150, 151, 183, 192 sont extraits des Disquisitiones de Gauss; les exercices 255, 256 et ceux qui sont numérotés de 267 à 281 sont tirés du Traité d Arithmétique commerciale de M. Brasilier (Paris, Masson). Les exercices 6, 31 se trouvent dans la Zahlentheorie de M. Bachmann (Leipzig, Teubner). Les exercices 10, 53, 120 et 121, 171 sont tirés respectivement de notes ou mémoires de MM. Bourlet, Kronecker, Stieltjes, Catalan. M. G. Stephanos, a indiqué, pour les nombres irrationnels, le mode de représentation qui se réduit, pour les nombres rationnels, à la forme indiquée dans l'exercice 211; c'est là l'origine de plusieurs exercices que reconnaîtra le lecteur, en particulier de la proposition contenue dans l'exercice 311. Les propositions contenues dans les exercices 314, 315, 316 sont extraites du Corso di Analisi algebfnca de M. Gesàro (Turin, Bocca frères). Enfin les importantes propositions contenues dans les exercices 317, 318 et 319 sont dues, ainsi que les démonstrations, à Lejeune Dirichlet et à M. llermite.