De l'égalité

X* 4- 4y* = (:p« — 2 j:y + 2j/«) (jr« + 2^y 4- 2y*),

déduire qu'il est impossible de satisfaire à l'équation

lorsque p est premier, à moins que p ne soit 1 ou 5.

148. Combien, dans la suite 1,2, 3, ...,n des n premiers nombres, y a-t-il de ^nombres divisibles par le nombre premier p ?

149. Sur n nombres consécutifs, il y en a au moins autant de divisibles par le nombre premier p que dans les n premiers nombres.

150. Si Ton décompose en facteurs premiers le produit 1. 2. 3. ... n des n premiers nombres, chaque nombre premier p inférieur à n figurera avec un exposant égal à la somme des quotients obtenus en divisant n successivement parp, />', p*, ... .

151. Déduire des propositions qui précédent une démonstration de ce théorème déjà énoncé dans l'exercice 99 : le produit de n nombres consécutifs est toujours divisible par le produit 1. 2. 3. ... n.

152. Les diviseurs d'un nombre n peuvent être rangés par couples tels que le produit de deux diviseurs qui figurent dans un même couple soit égal à ;t. Si n est le carré d*un nombre entier, il y a un couple formé de deux diviseurs égaux : ceci n'a lieu que dans ce seul cas.

Si Ton désigne par v le nombre de diviseurs du nombre n, le produit de tous les

diviseurs de n est égal à n^ si n n'est pas le carré d'un nombre entier. Si i*on a n = m*, ce produit est égal à m".

153. Si un nombre n décomposé en facteurs premiers est égal à

a« 6* cT. ...,

en désignant par a, 6, c, ... les facteurs premiers différents de n, le nombre des diviseurs de n est égal à (a -f 1) (P + 1) (ï + l) •••» ces diviseurs eux-mêmes sont les différents termes obtenus en développant le produit

(l + a + a* 4- ... + a*) (l + A + 6* 4- ... + 6?) (i + c + c« + ... + ct)..., la somme de ces diviseurs sera égale à ce produit ou à

154. On appelle parties aliquotes d'un nombre, les diviseurs de ce nombre, excepté ce nombre lui-même.

On appelle nombre parfait tout nombre qui est la somme de ses parties aliquotes; nombre abondant tout nombre plus petit que la somme de ses parties aliquotes, nombre déficient tout nombre plus grand que cette somme.

Si p est un nombre premier et si â^î — 1 est aussi premier, le nombre

est un nombre parfait.

Trouver des exemples numériques de nombres abondants et déficients.

155. En désignant en général par v(a) le nombre de diviseurs d'un nombre a et par o(a) la somme de ces diviseurs, on a, en supposant les nombres a, 6, c, ... premiers entre eux deux à deux,

V [ahc,.,) = V (fl) X V (6) X V {c) x ..., o {abc.) = o (a) X o (6) X o (c) X ....

156. En conservant les notations de l'exercice 29, démontrer que si n est un nombre premier et p un nombre autre que 0 ou n, C^ est divisible par n.

En s'appuyant sur l'exercice 60, démontrer ensuite que, en supposant toujours n premier, le nombre

(« + 6)« fl« — 6«

est divisible par n.

Conclure de là que a^ — a est toujours divisible par le nombre premier n : si, en effet, la proposition est vraie pour deux nombres a, 6, elle est vraie pour leur somme.

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Fermât. On en verra l'importance dans le dernier chapitre.

PREMIÈRE DÉFLXmON DES FRACTIONS. 143