FRACTIONS ORDINAIRES

§ 1. — Première définition des Inactions.

170. La notion de nombre a été tirée de Tidée de collectiou d*objets distincts ; elle s'applique toutefois à la mesure des grandeurs continues, et cette application conduit à étendre la notion de nombre, à considérer de nouveaux nombres, tout différents de ceux que Ton a considérés jusqu'ici.' Cette extension exige que Ton distingue, dans le langage, les nombres déjà connus, les nombres entiers, et ceux que nous allons introduire : désormais nous dirons toujours un nombre entier, ou plus brièvement un entier, quand il s'agira de Tun des nombres 0, 1, 2, 3, ...

Nous donnerons aux nouveaux nombres une origine concrète, en considérant d'ailleurs particulièrement des grandeurs continues de l'espèce la plus simple, des longueurs de droites limitées. Les expli* cations qui suivent s'appliquent aisément à d'autres grandeurs continues.

171. Le lecteur sait ce que c'est que mesurer une ligne droite. On choisit une fois pour toutes une droite limitée AB que l'on appelle unité de longueur. Pour mesurer une droite quelconque PQ, on porte sur cette droite, à partir de l'une de ses

extrémités P, l'unité de longueur, autant de fois p^l,,Q

que possible. Il peut arriver que, en procédant i i i » i i i i i

Oi2345fi78

ainsi, on tombe sur l'autre extrémité Q ; on dit alors que PQ contient l'unité de longueur un certain nombre entier de fois et ce nombre entier est la mesure de PQ. Ainsi, dans la figure ci-dessus, PQ contient trois fois l'unité de longueur; PQ est mesuré par le nombre 3.

Les longueurs que l'on peut ainsi mesurer au moyen de nombres entiers sont évidemment celles que l'on obtient en portant sur une droite indéfinie, à partir d'un point marqué 0, et bout à bout, des unités de longueur, toujours dans le même sens; si l'on marque au moyen des nombres 1, 2, 3, 4, ... les extrémités successives de ces unités de longueur, le nombre marqué en un point quelconque mesure la longueur qui s'étend entre le point marqué 0 et le point considéré.

Toute longueur égale à Tune de celles que Ton peut former ainsi est mesurée par le même nombre ; Tunité de longueur elle-même est mesurée par le nombre 1 . Parmi ces longueurs, on peut, si Ton veut, ranger la longueur nulle^ celle d'une droite (fictive) dont Torigine et Textrémité coïncideraient, et qui serait mesurée par le nombre 0. 11 est bien évident qu'on ne peut pas mesurer ainsi toutes les longueurs; on ne pourra pas mesurer la longueur d'une droite qui aurait son origine au point 0 et son extrémité entre deux quelconques des points marqués par les nombres 0, 1,2, 3, 4...

172. Pour mesurer une longueur qui ne contient pas l'unité un nombre exact de fois, on peut essayer de procéder de la façon suivante :

On divisera l'unité de longueur AB en un certain nombre entier de parties égales, en 5 parties par exemple ; et l'on appellera une quelconque de ces parties un cinquième de l'unité de longueur : il peut se faire que la longueur considérée RS contienne cette partie

de l'unité exactement un nombre entier de fois, n! ! ! ! 'i ^1^1 P*^ exemple 7 fois : on dira alors qu'elle contient

exactement 7 fois le cinquième de l'unité : il faut pour la mesurer deux nombres entiers, ici 5 et 7 ; l'un exprime en combien de parties on a divisé l'unité de longueur, l'autre combien la longueur considérée contient de ces parties : ces deux nombres entiers jouent, comme on le voit, un rôle très différent : pour les distinguer l'un de l'autre, on leur donne des noms différents, on les écrit h des places différentes, on les énonce de façons différentes.

Le nombre entier qui exprime en combien de parties égales on a divisé l'unité de longueur s'appelle dénominateur \ le nombre entier qui exprime combien de parties contient la longueur considérée s'appelle numérateur; on écrit le numérateur au-dessus du dénominateur, en les séparant par une barre : dans l'exemple précédent, on écrira

on énonce d'abord le numérateur, puis le dénominateur, en les séparant par le mot sur (sept sur cinq); ou bien on énonce le numérateur, puis le dénominateur en le faisant suivre de la terminaison iéme (sept cinquièmes) ; cette dernière façon de s'exprimer rappelle parfaitement les opérations que nous venons de décrire.

Elle comporte des exceptions quand le dénominateur est 2, 3, .ou 4; on énonce alors le numérateur et on le fait suivre, suivant les

PREMiËHC DÉFINITION DES FRACTIONS. 145

cas, des mots demi, tiers, quart : ainsi, on dira trois demis, deux tiers,

3 2 5 cinq quarts pour énoncer les symboles 5, -, t-

Enfin, Tensemble des deux nombres entiers (numérateur et déno* ininateur) écrits ou énoncés ainsi de manière à distinguer leurs rôles respectifs est une fraction.

Les fractions sont regardées comme des nombres ; dans l'exemple

précédent, la fraction - est la mesure de la longueur RS(*).

173. Reprenons cet exemple, pour expliquer une interprétation un peu différente.

La longueur RS peut être regardée comme obtenue en plaçant bout à bout, eu ligne droite, sept fois la cinquième partie de AB ; il importe de remarquer qu'elle peut être obtenue, tout aussi bien, en plaçant bout à bout, en ligne droite, sept fois AB, ce qui donne la longueur XY, et en prenant ensuite la cinquième partie de XY.

Al I I I I iB

Ri I I 1 I I I iS

En effet, par définition, XY contient sept fois AB ou bien sept fois

cinq des parties de AB, ou encore cinq fois sept des parties de AB ;

mais sept parties de AB, c'est RS; donc XY contient cinq fois RS ; en

d'autres termes, RS est le cinquième de XY.

Par conséquent, le nombre ^ peut être regardé comme méstftant

une longueur RS obtenue, soit en prenant sept fois le cinquième de

Tunité de longueur (c'est le premier sens), soit en prenant le

cinquième de sept fois l'unité de longueur (c'est le second sens).

Ce résultat est général. Si a et & sont deux nombres entiers, la

a fraction - peut être regardée comme mesurant une longueur obtenue

soit en prenant a fois la A'*"* partie de l'unité de longueur, soit en

prenant la A'*"* partie de a fois l'unité de longueur. Le lecteur

rapprochera ce raisonnement de celui du n® 119. -

1. La notation ■?■ a déjà été employée an n« 116, pour exprimer le quotient de la ^^y^^n

du nombre entier a par le nombre entier b quand cette division peut se faire exactement. Le lecteur peut faire un instant abstraction 4^ .Ço qui a été dit alprs, !§ concordanco ^ àpa^ notations lui apparaîtra bientôt. « -. ^ .

Takmkry. { 0

174. Revenons maintenant à la première signification attribuée au mot fraction.

Les longueurs que Ton peut mesurer au moyen de fractions sont celles que Ton peut obtenir en divisant Tunité de longueur en un certain nombre entier de parties égales et en portant, Tune au bout de Tautre, plusieurs de ces parties. A la vérité, on n'obtient pas ainsi toutes les longueurs : c'est là un point sur lequel nous aurons à revenir. Mais il convient de remarquer de suite que si on divise Tunité de longueur en un assez grand nombre entier b de parties égales, chacune de ces parties deviendra très petite. Si, en désignant par a un nombre entier, la longueur à mesurer contient a de ces parties et n'en contient pas a + ^i ^^l® sera comprise entre deux longueurs, mesurées respectivement par les fractions

V ~ir'

et Terreur commise en substituant Tune ou l'autre de ces longueurs

à la longueur considérée sera moindre que l'une quelconque des b

parties de l'unité; elle pourra être aussi petite qu'on voudra, pourvu

fl a + 1 que b soit assez grand. Les deux fractions -, — - — sont dites des

mesures approchées, la première par défaut, la seconde par excès,

de la longueur considérée, à -r près.

Dans, la pratique, lorsque Terreur ainsi commise n'est pas appréciable avec nos instruments de mesure, il n'y a aucune raison d'en tenir compte : pratiquement les nombres entiers et les fractions suffisent à mesurer toutes les longueurs. D'ailleurs, pour le moment, nous ne considérons que des longueurs qui puissent être mesurées par des nombres entiers, ou par des fractions : ces longueurs sont dites commensurables à l'unité.

175. Une longueur qui peut être mesurée par un nombre entier ne peut évidemment être mesurée que par ce seul nombre entier. Il en est tout autrement quand on introduit les fractions : il existe une infinité de fractions qui mesurent la même longueur, et cela, lors même que cette longueur peut aussi être mesurée par un nombre entier.

Tout d'abord, il est clair que deux fractions qui ont même dénomî-

4 5 Bateur, pi -i par exemple, et des numérateurs différents ne peuvent