Nous allons montrer maintenant qu'une longueur qui est
mesurée par une fraction peut être mesurée par une infinité d'autres
fractions.
Considérons, par exemple, la fraction m <iuî mesure la longueur RS,
quand on prend AB pour unité de longueur. Divisons l'unité AB en 5 X 3 parties égales, au lieu de la diviser seulement en S parties égales; chacune des anciennes parties contiendra 3 des nouvelles parties; la longueur RS qui contenait 7 des anciennes parties en contiendra donc 7 fois 3 des nouvelles; en d'autres termes, elle
7x3 pourra être mesurée par la fraction -\ le raisonnement est
général, et l'on peut énoncer le théorème suivant :.
Deux fractions dont la seconde s'obtient en multipliant par unméme nombre entier le numérateur et le dénominateur de la première y mesurent la mime longueur»
178. Il est maintenant aisé de trouver la condition nécessaire et sufBsante pour que deux fractions mesurent la même longueur
Soient -i ^ ces deux fractions, en désignant par a, 6, a\ b' des
nombres entiers. D*après le raisonnement précédent, les deux fractions
a X 6' a! Xb
mesurent respectivement les mêmes longueurs que les fractions
7, —; elles expriment les mesures de ces longueurs, quand on divise b b
Tunité de longueur en 6 X ^' parties égales, au lieu de la diviser en b ou en b' parties égales; mais elles ont maintenant le même dénominateur ; elles ne peuvent donc mesurer la même longueur que si leurs numérateurs sont égaux, que si Ton a cr X 6' = a' X J.
Ainsi : la condition nécessaire et suffisante pour que detix fractions mesurent la même longueur consiste en ce que le produit du numérateur de la première par le dénominateur de la seconde soit égal au produit du numérateur de la seconde par le dénominateur de la première.
Pour qu'une fraction mesure la même longueur qu'un nombre entier donnée il faut et il suffit que son numérateur soit égal au produit de son dénominateur par ce nombre.
On fera rentrer la seconde condition dans la première en convenant de regarder tout nombre entier comme une fraction, dont le dénominateur serait 1 et dont le numérateur serait le nombre entier considéré.
§ 2. — Deuxième définition des Inactions. Ég:alité. Réduction au même dénominateur.
179. Nous allons maintenant faire abstraction de Torigine concrète des fractions et nous adopterons les définitions suivantes que les explications qui précèdent justifient amplement :
Une fraction est l'ensemble de deux nombres entiers, appelés Fun numérateur^ Vautre dénominateur , qui jouent des rôles différents. Cet ensemble est appelé lui-même un nombre; il est soumis à des règles de calcul qui seront bientôt expliquées. Le numérateur et le dénominateur sont les deux termes de la fraction.
On écrit le numérateur au-dessus du dénominateur en les séparant par une barre.
Le numérateur peut être un nombre entier quelconque, le dénominateur un nombre entier quelconque autre que 0.
11 est clair que toutes les défmitions relatives à Tégalité et aux
opérations à effectuer sur les nouveaux nombres doivent être reprises l'une après l'autre.
180. Égalité. — Par définition, une fraction dont le dénominateur est 1 est égale à son numérateur; elle est ainsi égale à un nombre entier.
Deux fractions sont égales si le produit du numérateur de la première par le dénominateur de la seconde est égal au produit du numérateur de la seconde par le dénominateur de la première ; autrement elles sont inégales.
Pour justifier cette définition abstraite de Tégalité, il faut montrer que deux fractions égales à une troisième fraction sont égales entre elles. Cette proposition, à la vérité, est évidente au point de vue concret, puisque les trois fractions mesurent la même longueur; il est bien aisé de la vérifier sans faire intervenir aucune notion étrangère à la pure Arithmétique.
Soient, en supposant que a, i, a', 6', a'\ b" soient des nombres
entiers dont aucun n'est nul, ~» 7-. deux fractions égales à la fraction
r-. On a, d'après la définition de l'égalité,
en multipliant en croix ces deux égalités, on obtient ou
Les deux nombres entiers a'&, ab' donnent le même produit quand on les multiplie par a^^b'^ ; ils sont donc égaux. C'est dire que les deux
fractions -, 77- sont égales.
La démonstration subsiste quand b'^ est égal à 1 ; c'est-à-dire que deux fractions égales à un nombre entier sont égales entre elles.
Pour qu'une fraction soit égale à une autre fraction dont le numérateur est nul, il faut et il suffit que son numérateur soit aussi nui.
En effet, si dans l'égalité ab^ == a'b, qui exprime en général que les
fractions t 9 -j- sont égales, on suppose a = 0, ah' devient nul et pour
qaea'6 soit aussi nul, puisque b est essentiellement différent de zéro, il faut que al soit nul.
Toutes les fractions à numérateur nul doivent donc être regardées
comme égales; l'une d'elles est la fraction - dont le dénominateur
est 1, et qui doit, d'après ce qu'on a dit plus haut, être regardée comme égale à son numérateur 0 :
• Toute fraction à numérateur nul est égale à 0.
181. Fn multipliant les deux termes d'une fraction par un même nombre entier^ autre que zéro, on obtient une fraction égale.
Soit -la fraction donnée, je dis que, en désignant par m un nombre entier quelconque, autre que zéro, on a
a am
cette égalité, en effet, veut dire que l'on a abm = bam, ce qui est évident.
Lorsque les deux termes d'une fraction sont divisibles par un même nombre entier, en les divisant par ce nombre^ on obtient une fraction égale.
En efifet, par le théorème précédent, la première fraction est égale à la seconde.
Considérons une fraction dont le numérateur a soit divisible par le dénominateur b ; soit q le quotient de la division de a par b ; on
aura a = bq^ la fraction t'= -j- ^^^ aussi égale, d'après le théorème
précédent, à j-> et par conséquent à y. en vertu d'une convention
antérieure. Ainsi :
Lorsque le numérateur d'une fraction est divisible par le dénominateur, cette fraction est égale au quotient de la division du numérateur par le dénominateur.
Par conséquent, la notation des fractions contient comme cas particulier la notation expliquée au n^ 116 pour représenter une division, quand celle-ci peut s'effectuer exactement.
Puisque, une fraction étant donnée, il y a une infinité de fractions qui lui sont égales, il est naturel de chercher parmi ces fractions celle qui est la plus simple de toutes, celle dont les termes sont les plus petits possibles.
182. Le précédent théorème permet de simplifier une fraction, en
divisant les deux termes par un diviseur commun. Par exemple, on
peut remplacer - par 7.
On appelle fraction irréductible toute fraction dans laquelle les deux tenues sont premiers entre eux. Observons, en passant, que d'après cette déûnition, le numérateur d'une fraction irréductible ne peut jamais être nul; une fraction irréductible n'est jamais nulle. Toute fraction non nulle est égale à une fraction irréductible ; pour obtenir celle-ci, il sufQt de diviser les deux termes de la fraction donnée par leur plus grand commun diviseur, puisque (n* 140) les quotients sont premiers entre eux.
Par exemple, le plus grand commun diviseur entre 172 et 360 est 4;
par conséquent la fraction r^ est égale à la fraction irréductible rr .
183. Toute fraction égale à une fraction irréductible a ses deux
termes équimultiples des tei^mes de cette dernière; c'est-à-dire que
les termes de la première fraction s'obtiennent en multipliant les
termes de la seconde par un même nombre.
a fl' Soient, en effet, les deux fractions égales j-j p; supposons la
première fraction - irréductible, c'est-à-dire a premier à b ; l'égalité
ab'=za'b montre que a doit diviser le produit a'6, puisqu'il divise le nombre égal ab^ ; il est premier avec b, donc il divise a' ; appelons q le quotient, on aura a'=zaq^ et par conséquent ab'^=aqb\ les deux produits égaux ab\ aqb resteront égaux après la suppression du facteur commun a, qui n'est pas nul; on a donc b'=^bq. Les deux égalités
a'^=aqy b' = bqy
expriment que les deux termes de la fraction, a\b\ sont des équimultiples de a et de 6. On voit, en particulier, qu'il ne peut exister
de fraction égale à la fraction irréductible 7 et dont les termes soient
plus petits.
Si la fraction p était aussi irréductible, il faudrait, pour qu'elle
fût égale k ^1 que q fût égal à 1 : deux fractions irréductibles ne
peuvent être égales sans être égales terme à terme. Nous appellerons nombre fractionnaire toute fraction égale à une
fraction irréductible dont le dénominateur n'est pas 1 ; un nombre fractionnaire ne peut être égal à un entier.
184. Réduction au même dénominateur. — Des fractions étant données, on peut se proposer de trouver des fractions qui leur soient respectivement égales et qui aient toutes le même dénominateur.
Soient les fractions
On parviendra évidemment au résultat en multipliant les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs des autres : on obtiendra ainsi les fractions
^ qui sont respectivement égales aux précédentes et qui ont le même dénominateur. On peut les écrire
185. La solution que nous venons d'indiquer n'est pas la seule ; il y en a une infinité d'autres, et parmi toutes ces solutions il y en a une plus simple que toutes les autres.
Supposons les fractions données irréductibles et cherchons comment des fractions qui leur sont égales respectivement peuvent avoir le même dénominateur. Nous pouvons raisonner sur les fractions précédentes
qui sont irréductibles. Soit M un nombre qui puisse servir de dénominateur commun à des fractions respectivement égales à celles-là.
Toute fraction égale à la fraction irréductible t a son dénominateur
multiple de 4 ; ainsi M doit être un multiple de 4 ; pour la même raison il doit être un multiple du dénominateur de chacune des frac-
tions-7» «> 77;; c'est donc un multiple commun des dénominateurs
de ces fractions : réciproquement tout multiple commun M de ces
dénominateurs répond à la question : il existe, en effet, une fraction
égale à - et dont le dénominateur est M ; on l'obtient en divisant M
par 4 et en multipliant les deux termes de - par le quotient : on
obtiendra de même des fractions ayant M pour dénominateur et
respectiyement égales à g» — •
Si, par exemple, on prend pour M le nombre 72, qui est un commun multiple de 4, 8, 12, on obtient les fractions cherchées en multipliant
les deux termes de 7 par -r- = 18, les deux termes de ^r par -rr- = 9,
S 72 les deux termes de — par -- = 6 ; on trouve ainsi
Le procédé que Ton vient d'exposer fournit évidemment toutes les solutions possibles : la solution la plus simple s'obtiendra en prenant pour le dénominateur commun M le plus petit commun multiple des dénominateurs des fractions données, qui sera ici 24 : on
3 7 5 multipliera alors les deux termes de 79 gf j^ respectivement par
-r = 6, -TT = 3, r:? = 2, et Ton obtiendra les fractions
X fractions
et dont le dénominateur est le plus petit possible. Considérons une autre solution du problème et soient
