partie, ou, plus brièvement, le septième
De môme qu*on dit qu'un nombre est sept fois plus grand que son septième, il convient de dire que le septième d'un nombre est sept fois plus petit que ce nombre : on rend donc une fraction sept fois plus petite en multipliant son dénominateur par 7. Mais, après cette multiplication, on peut, s'il y a lieu, simplifier le résultat; si, en particulier, le numérateur de la fraction primitive était divisible par 7, on pourrait, dans la seconde fraction, diviser en haut et en bas par 7, ce qui rétablirait le dénominateur primitif. Ainsi, en général :
On rend une fraction deux, trois ^ quatre^,., fois plus petite en multipliant son dénominateur par 2, 3, 4,..., ou^ lorsque V opération peut se faire exactement, en divisant son numérateur par 2, 3, 4,...
Soit encore à multiplier -par-; le produit est ^ — =; il est égal
au résultat que l'on obtient en répétant 4 fois la fraction -, ou
en répétant 4 fois la septième partie de ^; c'est ce qu'on exprime en
disant : multiplier un nombre par -, c'est prendre 4 fois le septième
de ce nombre. Dans cette façon de parler , on regarde ;r comme
le multiplicateur et - con^me le multiplicande.
198. Pour multiplier plusieurs fractions rangées dans un certain ordre, on fait le produit des deux premières, on multiplie le résultat par la troisième, puis le résultat par la quatrième, etc. On voit de suite que le numérateur et le dénominateur du produit sont les produits respectifs des numérateurs et des dénominateurs des fractions.
Les théorèmes démontrés aux n®» 75, 77, 78 s'étendent immédiatement aux produits de fractions. Ainsi :
Dans un produit de fractions, on peut intervertir l'ordre des facteurSy remplacer tels facteurs que l'on veut par leur produit effectué.
Ces propositions, en effet, s'appliquent aux produits de nombres entiers qui figurent en numérateur et en dénominateur. Signalons encore cette conséquence : Pour multiplier un produit de plusieurs facteurs par un nombre, il suffit de multiplier l'un des facteurs par ce nombre.
La notation des puissances s'applique aux fractions, comme aux nombres entiers; le carré, le cube, lan**"** puissance d'une fraction sont respectivement les produits de deux, de trois, de n facteurs égaux à celte fraction. Pour écrire le carré, le cube, la n**"* puissance d'une fraction, on place cette fraction entre parenthèses, et Ton place l'exposant un peu en haut : on écrira ainsi, par exemple.
On a d'ailleurs, en vertu de la définition de la multiplication,
En général, pour élever une fraction à la puissance n, il suffit (Télever à cette puissance son numérateur et son dénominateur.
199. Il nous reste à. étendre aux fractions les propositions des nû" 74, 76. Ainsi :
Pour multiplier une somme (ou une différence) par un nombre, il suffit de multipliei* par ce nombre les termes de la somme [ou de la différence) et d'ajouter {ou de retrancher) les résultats.
La démonstration est la même dans les deux cas et consiste essentiellement à supposer que les deux termes de la somme ou de la différence ont le même dénominateur.
Soit, par exemple, à multiplier par = la somme r + s. Cette
somme peut s'écrire — = — et le produit cherché sera
sous cette dernière forme , on reconnaît bien que le théorème est démontré.
La règle s'étend d'elle-même à la multiplication par une fraction quelconque d'une expression obtenue en ajoutant ou retranchant successivement des nombres quelconques rangés dans un ordre déterminé.
Inversement, puisque Ton peut intervertir l'ordre des facteurs, dans une multiplication, pour multiplier un nombre par une somme,
il suffît de multiplier ce nombre par chacun des deux termes de la somme et d'ajouter les résultats. De même pour multiplier un nombre par une différence, il suffit de multiplier ce nombre par les deux termes de la différence et de retrancher les produits.
Ces théorèmes s'expriment, sous une forme abrégée, par les formules
(ô + c) a = a (6 + c) = ai 4" ^1 {à-^c)a = a{b — c) =:ab — ac,
dans lesquelles a, b, c sont des nombres entiers ou fractionnaires. Les formules de la seconde ligne supposent que b est supérieur ou égal à. c.
Les formules établies aux u9^ 82-87, relatives à la multiplication d'une somme par une somme ou par une différence, ou d'une différence par une différence, s'étendent immédiatement aux fractions, puisqu'elles sont une conséquence immédiate des formules précédentes.
200. Des propositions précédentes résultent encore quelques propositions importantes relatives aux inégalités.
On peut multiplier, sans en changea* le sens, les deux membres d'une inégalité par wn même nombre^ entier ou f réactionnaire ^ différent de zéro.
Soit, par exemple, en désignant par a^ b, c des nombres entiers ou fractionnaires, dont le dernier n'est pas nul, l'inégalité
elle signifie qu'il existe un nombre d, différent de 0, tel que Ton ait
a = é + rf, on en conclura, en multipliant par c,
ac = ic -f- de
et comme le produit de dans lequel aucun des facteurs n'est nul est différent de zéro, on en déduit
ac > bc.
C'est ce qu'il fallait démontrer.
De même, puisque dans un produit on peut intervertir Tordre des facteurs, si on multiplie un même nombre c, autre que 0, par deux nombres différents a, i, on obtiendra deux résultats différents ca, cb
et ron aura ca > cb, ou ca < ce, suivant que Ton aura a > 6, ou b>a.
En particulier, puisque Ton ne change pas un nombre en le multipliant par 1, on Taugmentera ou on le diminuera en le multipliant par un nombre plus grand ou plus petit que 1 ; ainsi on augmente un nombre en le multipliant par une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, on le diminue en le multipliant par une fraction dont le dénominateur est plus grand que le numérateur. Plus particulièrement encore, on voit que le produit de deux fractions dans lesquelles le numérateur est plus petit que le dénominateur est plus petit que chacun des facteurs, que le carré d'une telle fraction est plus petit qu'elle, que le cube est plus petit que le carré, que, en général, les puissances d'une telle fraction vont en diminuant quand Texposant de la puissance augmente : telles sont, par
exemple, les puissances de ^,
et Ton a
puisque chaque terme de cette suite s'obtient en multipliant le
précédent par le nombre ^ plus petit que 1.
Au contraire, le produit de deux fractions dans lesquelles le
numérateur dépasse le dénominateur est plus grand que chacune
des deux fractions; le carré d'une telle fraction est plus grand
qu'elle, son cube est plus grand que son carré, etc.. ; les puissances
d'une telle fraction vont en augmentant à mesure que l'exposant de
la puissance augmente ; telles sont, par exemple, les puissances de
-, on aura
ou
201. On peut multiplier deux inégalités de même sens, membre à membre.
Ainsi les deux inégalités
où a, by a', b' sont des nombres quelconques, différents de 0, entraînent l'inégalité
aà <C bb'.
Cette proposition pourrait s'établir comme la précédente; mais on peut aussi Ten déduire.
L'inégalité a < 6 entraîne en effet l'inégalité aa' < 6a' ; de même l'inégalité d <^b' entraîne a'b<^bb\ et les deux inégalités aa'<iba\ ba! <ibb' entraînent finalement l'inégalité ao! < bb' .
Il est clair que la proposition subsiste si quelqu'un des nombres a, a' était nul. Quant aux nombres 6, b\ il est absurde de les supposer nuls, puisqu'il n'y a pas de nombres plus petits que 0.
202. Division. — Les mots division, diviser, quotient comportent chacun des sens très différents. 11 est regrettable qu'on n'ait pas créé des mots différents pour désigner des choses distinctes, mais il y a là. un usage contre lequel il semble difficile de réagir, quelque fâcheux qu'il soit.
La division a été définie au § 4 du chapitre II avec un sens très précis; c'est une opération qui comporte deux résultats, le quotient et le reste.
Nous allons maintenant définir une opération qui s'applique aux nombres entiers ou fractionnaires, qui porte le même nom, mais qui, en général, est entièrement distincte de la division définie au chapitre cité.
Étant donnés deux nombres entiers ou fractionnaires ^ appelés Vun dividende, Vautre diviseur, et dont le second n'est pas nul, on appelle division Vopération consistant à trouver un nombre appelé quotient qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende. En d'autres termes, on connaît un produit de deux facteurs (le dividende) et l'un de ces facteurs (le diviseur), on demande l'autre (le quotient).
Il est nécessaire de pouvoir distinguer cette opération et son résultat, le quotient, de l'opération du chapitre II. Cette dernière, quand une confusion sera possible, sera dite division dans le sens de la théorie des nombres entiers; le quotient de la division dans le sens de la théorie des nombres entiers sera dit quotient approché
aune unité près par défaut, ou d'une façon abrégée, quotient à une unité près ; cette dénomination sera bientôt justifiée. Le quotient, résultat de la division telle que nous venons de la définir, sera qualifié d'exact.
Si a est le dividende et b le diviseur, on désigne aussi sous le nom de rapport de a à i le quotient (exact) de la division de a par à. Le mot rapport a l'avantage sur le mot quotient de ne pas être ambigu, el il serait peut-être légitime d'en proposer l'emploi à l'exclusion du mot quotient (exact). Je me conformerai à l'usage en employant Tun et l'autre mot.
203. Cas où le diviseur est entier. — Supposons d'abord que le dividende et le diviseur soient entiers ; diviser un nombre (entier) par 7, par exemple, c'est trouver un nombre qui, multiplié par 7, reproduise le dividende. Si le dividende est un nombre entier divisible par 7, le nombre cherché s'obtiendra en divisant ce dividende par 7, au sens de la théorie des nombres entiers; ce sera le quotient de cette division [n^ 115). Alors les deux sens du mot division coïncident, au moins si l'on fait abstraction de la considération du reste^ qui dans ce cas est nul ; les deux sens du mot quotient n'en font plus qu'un ; il n'en est plus ainsi quand le dividende, supposé toujours entier, n'est pas un multiple du diviseur. Supposons qu'on veuille diviser 12 par 7 ; nous avons appris au n" 195 à trouver le résultat :
c est la fraction— , puisque, en multipliant cette fraction par 7, on
obtient 12 comme produit. Ainsi :
Le quotient exact de la division d'un nombre entier par un autre nombre entier est une fraction dont le dividende est le numérateur , et dont le diviseur est le dénominateur.
Cette règle s'applique encore quand le dividende est divisible par le diviseur, et pour le dire en passant, c'est la justification de la notation, toute pareille à celle des fractions, employée pour désigner le quotient d'une division dans le sens de la théorie des nombres entiers, quand cette division peut se faire exactement (n** 116).
Quand la division ne peut pas se faire exactement, au sens de la
théorie des nombres entiers, comme dans l'exemple — * le quotient,
au sens de la théorie des nombres entiers, est le plus grand entier
contenu dans le quotient exact -=-; comme on l'a vu au n® 193, c'est
la valeur approchée à. une unité près par défaut de cette fraction.
d'où la dénomination de quotient à une unité près, ou encore, avec la même signification, de partie entière du quotient.
II convient peut-être à ce propos de signaler la notation E (--^ 1, qui
n*est guère employée que dans TArithmétique supérieure, pour désigner cette partie entière du quotient, ou, si Ton veut, le quotient dans le sens de la théorie des nombres entiers. En général, si a est un nombre quelconque, Ë (a) désigne le plus grand nombre entier inférieur ou égal à a.
Remarquons encore que c*est ici, non dans la théorie des nombres entiers, que le mot diviser est employé dans son vrai sens : diviser en parties égales; la notation des fractions permet de diviser un nombre entier quelconque en autant de parties égales que Ton veut. Le nombre 12 peut être regardé comme la somme de 7 parties dont
chacune est égale à. la fraction -;=- : cette fraction, comme on Ta dit
au n® 195, est la septième partie de 12.
Cette signification du mot diviser se conserve quand, le diviseur étant entier, le dividende est quelconque.
Soit, par exemple, à. diviser - par 7, le résultat est - — =, comme
on Ta vu au n® 197, et il suffit de se reporter aux raisonnements de ce même numéro pour énoncer la règle suivante :
Pour diviser une fraction par un nombre entier ^ on multiplie son dénominateur par ce nombre, ou, si V opérât ion peut se faire exactement, on divise son numérateur par ce nombre.
H est à peine utile de dire que le cas où le dividende est entier rentre dans le cas où il est fractionnaire, en lui donnant un dénominateur égal à un.
. 204. Cas général. — Supposons que le dividende et le diviseur soient quelconques.
Soit, par exemple, à diviser - par -; le quotient cherché sera
car en multipliant ce nombre par = , on trouve
comme on le voit en divisant haut et bas par 7x4 = 4x7, dans la fraction qui figure au premier membre. Il n'y a certainement pas
d'autre nombre tel que, en le multipliant par -,.on retrouve ~,
puisque, en multipliant deux nombres différents par un même nombre, on trouve des résultats différents. Cette même observation aurait pu être faite dans les cas particuliers, précédemment étudiés.
On voit que le résultat a été obtenu en multipliant la fraction -
par 7t c'est-à-dire par une fraction qui se déduit du diviseur - en
mettant le numérateur à. la place du dénominateur et le dénomina-
leur à la place du numérateur; comme Ton dit, la fraction ■- est la
fraction -renversée; on dit encore que j est Vinverse de -; en général,
deux nombres sont dits inverses quand leur produit est égal à Tunité ;
7 4 c'est le cas des fractions -, -•
Règle. — Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur renversée [ou par Cinverse du diviseur).
Cette règle comprend comme cas particuliers lesrèglesprécédentes.
12 7 Ainsi le quotient de 12 par 7, ou de — par -, s'obtient en multi-
pliant Y par -, ce qui donne ;^—^ = y ; le quotient de g par 7, ou
par j, s'obtient en multipliant - par =, ce qui donne ^—-. Signalons
encore le cas où le numérateur de la fraction diviseur serait 1 , le
quotient de - par j s'obtient en multipliant - par 7; c'est ^-^.
Si Ton rapproche ces résultats de ceux qui ont été obtenus aux n" 194-197, on voit que l'opération qui consiste à multiplier un nombre par une fraction peut se faire en deux fois.
Par exemple, multiplier un nombre par - revient à. le multiplier
par 4 et à le diviser par 7, c'est-à-dire à. prendre le septième de quatre fois ce nombre, ou encore à le diviser par 7 et à le multiplier
par 4, c'est-à-dire à prendre quatre fois le septième de ce nombre. On a par exemple
205. On ne change pas le quotient (exact) de la division de deux nombres entiers ou fractionnaires en les multipliant par un même nombre.
Cette proposition a déjà, été établie au n^ 120, dans le cas d'une division qui se fait exactement. La démonstration repose uniquement sur ce que le dividende est le produit du diviseur par le quotient; elle subsiste dans le cas général; je la reprends toutefois ci-dessous :
Soient les deux nombres u» = et soit - leur rapport; on a, par
défmition,
multipliant les deux membres de cette égalité par un même nombre I par exemple, on aura
et cette égalité prouve bien que - est aussi le quotient de la division
de -Xq par =Xq- — Au surplus, il suffît d'effectuer ce quotient
qui est
comme il résulte de simplifications faciles, pour vérifier l'exactitude de la proposition.
Puisque la division se ramène à une multiplication, on peut évidemment énoncer le théorème suivant :
On ne change pas le quotient (exact) de la division de deux nombres entiers ou fractionnaires en les divisant (exactement) par un même nombre*
FRACTIONS GÉNÉRAUSÉES. 175
206. On peut indifféremment diviser un nombre successivement par plusieurs autres, ou le diviser par leur produit :
On peut reprendre ici la démonstration du n° 104, dans le cas où les divisions se font exactement, ou déduire la proposition de la règle qui ramène la division à une multiplication.
En raison de cette môme règle, il suffira d'énoncer les théorèmes suivants.
Pour diviser une somme ou une différence par un nombre, il suffit de diviser les termes de cette somme ou de cette différence par ce nombre et d'ajouter ou de retrancher les résultats.
On peut, sans en changer le sens, diviser les deux membres d'une inégalité par un même nombre.
Si on a deux fractions inégales et si on les renverse, on obtient deux fractions inégales, la plus grande devient la plus petite.
Cette proposition devient évidente, si Ton suppose les deux fractions réduites au même dénominateur; après qu'on les a renversées, elles ont môme numérateur et c'est celle qui a le plus petit dénominateur qui est alors la plus grande.
Si Ton renverse une fraction plus petite que l'unité, on obtient une fraction plus grande que l'unité.
On augmente ou on diminue un nombre en le divisant par une fraction, suivant que cette fraction est plus petite ou plus grande que l'unité.
Si on divise un même nombre par deux fractions, le plus grand quotient correspondra à la plus petite fraction, puisque diviser par une fraction, c'est multiplier par la fraction renversée.
§ 4. — Fractions g'énérallsées.
207. Le symbole d'une fraction - peut être regardé comme le symbole de la division de 3 par 7. Cette manière d'écrire, réservée jusqu'ici aux nombres entiers qui figurent au numérateur et au dénominateur, il est naturel de l'étendre aux fractions.
En désignant par a et 6 des nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, on désigne par le symbole - le quotient (exact) de la division de a par b ou, comme Ton dit aussi, le rapport de a à 6.
On donne encore le nom de fraction à un tel symbole : c'est une fraction composée ou généralisée. On donne encore le nom de numé-
rateur et de dénominateur aux nombres a et 6, que Ton peut appeler tout aussi bien dividende et diviseur ; nous réservons le nom de fraction ordinaire aux fractions dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.
Quand le numérateur et le dénominateur d'une fraction composée ne sont pas représentés par des lettres uniques, mais sont donnés comme des fractions ordinaires, il est nécessaire de n'employer la notation précédente qu'avec quelques précautions, qui se traduisent par l'emploi convenable de parenthèses, et quelquefois par l'emploi d'une plus grosse barre horizontale pour indiquer le signe de la division ;
sont des fractions composées; la première représente le quotient
de - par-, la seconde celui de- par 4, la troisième celui de 4 par -.
Les parenthèses veulent dire que la fraction qu'elles enferment doit être regardée comme un seul nombre, que ce nombre soit regardé comme dividende ou comme diviseur. Enfm, quand on indique des opérations à effectuer sur de pareilles fractions, il faut prendre soin de placer la barre, qui est spécialement un symbole de division, la grosse barre si l'on veut, sur la même ligne que le signe d'opération ; ainsi on écrira
pour désigner le nombre obtenu en retranchant la seconde fraction de la première et en ajoutant la troisième au résultat.
On appelle valeur d'une fraction composée la fraction ordinaire qui lui est égale; ainsi les valeurs des fractions composées que l'on a écrites plus haut sont respectivement '
En se reportant à la définition de la division, on voit que le numé-
