FRACTIONS GÉNÉRALISÉES

rateur d'une fraction composée est égal au produit du dénomina* tear de cette fraction composée par sa valeur. Ainsi Ton a

208. On peut multiplier ou diviser, sans en changer la valeur, les deux termes d'une fraction composée par un même nombre (différent de zéro).

Cette proposition ne diffère pas de celle-ci : on ne change pas le quotient exact d'une division, quand on multiplie ou qu'on divise le dividende et le diviseur par un même nombre.

Elle permet de réduire deux ou plusieurs fractions composées au même dénominateur, en multipliant les deux termes de chacune d'elles par le produit des dénominateurs de toutes les autres (n» 184).

Ainsi les deux fractions composées ^) p sont respectivement égales

a^ a'b aux fractions -tt'' rrr Ck)mme on obtient des résultats différents en

multipliant ou en divisant (exactement) deux nombres différents par un même nombre, on voit que les deux fractions proposées seront égales ou inégales suivant que ab^ et a'b seront égaux ou inégaux. Ainsi la condition d'égalité de deux fractions composées est la même que pour deux fractions ordinaires.

209. La somme ou la différence de deux fractions composées de même dénominateur s'obtient en faisant la somme ou la différence des numérateurs et en la divisant par le dénominateur commun. Celte proposition a été énoncée sous une autre forme au n° 206.

Le produit de deux fractions composées s'obtient en divisant le produit des numérateurs par le produit des dénominateurs.

Ici encore on a affaire à une proposition qui généralise un théorème relatif k des nombres entiers {n^ 121). Je reproduis la démonstration :

Soient -1 jr les fractions dont on veut faire le produit, q et g' leurs

valeurs; on a

a = bqy

et, en multipliant,

aa' = bqVq' = [bb') X [qq') ;

Tankert. i 2

cette égalité veut dire que le produit qq' des valeurs des deux fractions s'obtient en divisant le produit de leurs numérateurs par le produit de leurs dénominateurs.

Exemple : on a

La vérification est facile et fournit une nouvelle démonstration du théorème : le premier nombre, en effet, est, par définition, le produit des deux fractions ordinaires

c'est-à-dire qu'il est égal à

Le second nombre est, par définition, le quotient de la division des deux nombres

et ce quotient est

2xS7x9 2xSx7x9, 3x6^4x8'~3x6x4x8'

Ces deux résultats sont identiques, terme à terme, sauf Tordre des facteurs.

Enfin, pour diviser une fraction composée par une fraction composée, il suffit de multiplier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

La démonstration est la même qu'au n^ 204.

Ainsi les règles de calcul pour les fractions composées sont les mêmes que pour les fractions ordinaires.

210. La théorie des fractions généralisées n'est au fond que Tàpplication d'une notation ; mais cette notation est très commode ; elle