Étant données deux suites de nombres proportionnels
on pow^a, en désignant par m, n, p, ^, ... des nombres quelconques, différents de zéro^ introduire dans la première suite les nombres mOy nbj pCy qd^ ..., pourvu qn^on introduise comme termes correspondants dans la seconde les termes ma\ nb\ pc\ qd^ ....
Cela résulte de ce que Ton n'altère pas un rapport en multipliant ces deux termes par un même nombre.
Étant données deux suites, de nombres proportionnels
on peut introduire dans tune des suites la somme de deux ou de plusieurs de ces termes^ pourvu que ton introduise comme terme coi*r es pondant la somme des termes correspondants de Vautre suite.
Ainsi, si Ton introduit le terme a -f- ^ + ^ d^i^s la première suite, le terme correspondant de la seconde sera a' '■\- b' -\- & : en effet, si
l'on désigne par q le rapport -; » on aura
ce qui démontre la proposition, puisque les termes de la suite
a, ft, c, rf, a + * + ^» ••• s'obtiennent en multipliant par q, les termes de la suite
De même si Ton introduit dans la première suite le terme a — b [supposé différent de zéro) le terme correspondant de la seconde sera a' — V.
219. Supposons en particalier les nombres a, b proportionnels aux nombres a', 1/ : les termes de Tune des suites
sont proportionnels aux termes de l'autre.
D'ailleurs, les deux suites précédentes sont certainement formées de termes proportionnels, pourvu que deux termes de Tune soient proportionnels aux deux termes correspondants de l'autre .
Je me contenterai de remarquer, dans le cas où la démonstration est la moins facile, celui où. Ton suppose a-^-b^ a — 6 proportionnels à a' + *'» «' — *'i que Tapplication des théorèmes précédents prouve que les deux suites
sont composées de termes proportionnels.
La proposition précédente peut s'énoncer sous la forme suivante : L'une quelconque des proportions
ou de celles qu'on peut en déduire par l'interversion des extrêmes et des moyens, entraîne toutes les autres.
Il est à peine utile de dire que, en écrivant a — 6, a' — 6', on suppose a >^, a' > 6'.
220. Nombres invef^sement proportionnels. — Lorsque des nombres sont proportionnels à d'autres , on dit souvent, dans le même sens, qu'ils leur sont directement proportionnels; il va sans dire que cet adverbe peut se sous-entendre.
En supposant qu'aux nombres de la suite
a, 6, c, dj ...
correspondent les nombres de la suite,
et qu'aucun nombre des deux suites ne soit nul, on dit que les nornhres a\ b\ c', d',... sont inversement proportionnels ajix nombres
a, 6, Cy d, ..., s'ils sont proportionnels à leurs inverses, c'est-à-dire si les nombres des deux suites
sont (directement) proportionnels.
Pour qu'il en soit aitisi, il faut et il suffit que le rapport de Tun quelconque des nombres de la seconde suite au nombre correspondant de la première soit toujours le même; ces rapports sont respectivement aaly bb\ cc\ dd\ ...; on déduit de là les conclusions suivantes :
Pour que les nombres a', b\ c\ d',... soient inversement proportionnels aux nombres a, 6, c, d, ..., il faut et il suffit que le produit d'un nombre quelconque de Tune des suites par le nombre correspondant de l'autre suite soit toujours le même; s'il en est ainsi, il est clair que les nombres a, 6, c, d,... sont inversement proportionnels aux nombres a', 6', c', d',... .
Par exemple, les nombres
1,3,4,8,12,24 et les nombres
sont inversement proportionnels.
Pour que les nombres de l'une des deux suites correspondantes
a, by c, d, ... , a\ b\ c', d',...
soient inversement proportionnels aux nombres de l'autre suite, il faut et il suffit que le rapport de deux termes quelconques de l'une des deux suites soit l'inverse du rapport des deux termes correspondants de l'autre suite.
La condition est nécessaire et suffisante, car elle exprime que dans les deux suites
le rapport de deux termes quelconques de la seconde suite, par exemple *-; , est égal au rapport
des deux termes correspondants de la première, c'est-à-dire que les
nombres de la suite -, r, -, ^,... sont proportionnels aux nombres
de la suite a', b\ </, (f ... •
Je me contenterai d'énoncer la proposition suivante, dont la démonstration est immédiate.
Si les termes de la suite
et ceux de la suite
sont inversement proportionnels aux termes de la suite
€!\b\d\d!\ ..., les termes des deux premières suites sont directement proportionnels.
Exaroioes.
157. Ranger par ordre de grandeur toutes les fractions irréductibles dont les deux termes sont moindres que 7.
Ranger par ordre de grandeur toutes les fractions irréductibles dans lesquelles la somme des termes est inférieure à 7.
158. Mettre sous forme de fraction irréductible la somme des nombres :
2 1. 2. 3 1. 2. 3. 4 1. 2. 3. 4. 5 1. 2. 3. 4. 5. 6 1, 2. 3. 4. 5. 6. 7 159. Simplifier la fraction :
(gf,-!) (2»« — 1) (2«« + 1) (2" — 1)'
