Considérons les nombres

d'une part, et d'autre part les nombres

chaque terme de la première suite s'obtient en multipliant par 2 le

terme correspondant de la seconde suite; inversement chaque

terme de la seconde suite s'obtient en multipliant par - le terme

correspondant de la première suite.

On peut dire encore que le rapport d'un terme de la première suite au terme correspondant de la seconde suite est toujours 2, ou que le rapport d'un terme de la seconde suite au terme correspon-

dant de la première suite est toujours r« Dans ces conditions, on dit

que les nombres 6, 8, 24, 16, 12 sont proportionnels aux nombres 3, 4, 12, 8, 6.

Généralement, considérons une première suite de nombres

184 LEÇONS DÀRITHMÉTIQUE.

et une seconde suite de nombres correspondants

et supposons qu'il n*y ait pas de nombres nuls parmi eux.

Les nombres a, 6, e, (2, ... sont dits proportionnels aux nombres a', b' y c\ d\ ... si Ton a

s'il en est ainsi, on a aussi

car ces dernières fractions sont égales comme inverses des précédentes; on peut donc dire que les nombres a', b\ c' d', ... sont proportionnels aux nombres a, 6, c, d, ... .

Si Ton désigne par q la valeur de chacune des fractions égales -7 ,

V 7' df' '"' ^^ ^"^*

Ainsi chaque terme de la première suite est égal au terme correspondant de la seconde suite multiplié par q : inversement, chaque

terme de la seconde suite est égal au terme correspondant de la

première suite multiplié par -, ou divisé par y.

Réciproquement, étant données deux suites de nombres correspondants, si chaque terme de Tune des suites s'obtient en multipliant le terme correspondant de la seconde suite par un facteur qui soit toujours le même, les termes de Tune des isuites seront évidemment proportionnels aux termes de l'autre.

Cette remarque permet, connaissant deux termes correspondants de deux suites, d'écrire dans Tune des suites tels nombres que Ton voudra, et de calculer les termes correspondants de l'autre suite, de manière que les deux suites soient formées de nombres proportionnels.

Supposons, par exemple, que les nombres 3 et 2 doivent se correspondre dans la première suite et dans la seconde ; chaque nombre de la seconde suite devra être égal au nombre correspondant de la

première multiplié par-; si ron introduit dans la première suite

les nombres 6, 12, 9, 21, il faudra introduire, comme termes correspondants dans la seconde, les termes 4, 8, 6, 14.

Il est à peine utile de faire remarquer que, dans deux suites de nombres proportionnels. Tordre des termes n'importe pas, pourvu que ce soient toujours les mômes nombres dans les deux suites qui se correspondent.

Une proportion t =^ 77 montre que les nombres a, a' sont proportionnels aux nombres 6, b' ; de même aussi, puisque cette proportion

OL b .

peut s'écrire — = ~, , les nombres a, b sont proportionnels aux

nombres a', b\

216. Si Von considère deux suites de nombres proportionnels, le rapport de deux termes de la première suite est égal au rapport des deux termes correspondants de la seconde suite.

En effet, si les termes de Tune des suites

sont proportionnels aux termes de l'autre, on aura, par exemple,

d ""rf'' car cette égalité est une conséquence de Tégalité

Réciproquetnent^ si les deux suites

a, 6, c, d, ..., a\ b\ c', rf', ...

sont telles que le rapport de deux termes quelconques de Vune soit toujours égal au rapport des termes correspondants de Vautre, les termes de Vune des suites sont proportionnels aux termes de Vautre, Si Ton a, en effet,

b b' ce' d d' a a a a a a

186 LEÇOxNS D'ARITHMÉTIQUE.

on aura aussi,

et par suite

La démonstration même prouve qu'il sufRt que le rapport de chacun des termes de la première suite à Tun d*entre eux, le premier par exemple, soit égal au rapport des deux nombres correspondants dans la seconde.

217. Si les termes de deux suites sont respectivement proportionnels aux termes d'une troisième suite, ils sont proportionnels entre eux. I Supposons, par exemple, les termes de Tune des suites

a', b\ c\ rf', ..., : '' a, A, c, d, ...

proportionnels aux termes correspondants de l'autre . On aura, en désignant par q' la valeur du rapport — «

«' = fly', A' = *ç', e' = cq', d' = dg'. Supposons de même les termes de Tune des suites

proportionnels aux termes correspondants de Tautre, on aura, en

a" désignant par q'^ la valeur du rapport — ,

a" = aq'\ b" = bq\ c" = cy", d" = df, ... . Je dis que les termes de Tune des suites

sont proportionnels aux termes correspondants de Fautre. On aura, en effet,

a' aq' q'

Ce rapport esl manifeslement le même pour deux termes correspondants quelconques ; en d'aulres termes, on a

fl — *1 — il — ^— —il