FRACTIONS DÉCIMALES, OPÉRATIONS
troisième ... ordre les nombres—., 77—, tttt:::» •.•• t)ès lors, on peut
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dire que chaque chiffre décimal représente des unités dix fois plus fortes que le chiffre décimal écrit immédiatement à sa droite, et que le chiffre des unités simples représente, lui aussi, des unités dix fois plus fortes que le chiffre décimal qui le suit, dont il est séparé par une virgule.
222. Réduction au même dénominateur, — Égalité, inégalité, — Nous ferons d'abord les observations suivantes : Deux fractions décimales qui, écrites sous la forme de fractions ordinaires, ont le même dénominateur, ont le môme nombre de chiffres décimaux quand on les écrit avec la notation décimale. Si on considère une fraction décimale écrite sous la forme d'une fraction ordinaire, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par une même puissance de 10, ce qui revient à placer un même nombre de zéros à droite du numérateur et du dénominateur, ou, dans la notation décimale, à placer ces zéros à droite des chiffres décimaux sans déplacer la virgule ; ainsi on a
"'^^* - iOOO ~ 100000 -^^'^^*"^''
donc :
On n'altère pas une fraction décimale, écrite avec la notation décimale^ en plaçant des zéi'os à la droite des chiffres décimaux, sans déplacer la virgule; on ne f altère pas non plus en suppnmant des zéros placés à droite de la partie décimale.
D'après cela, on réduira au même dénominateur deux fractions décimales écrites avec la notation décimale en plaçant assez de zéros à la droite de la partie décimale de celle des fractions qui a le moins de chiffres décimaux pour qu'elle en acquière autant que l'autre.
Si l'on se donne, par exemple, les deux fractions 12,371 et 0,00897, on remplacera la première par 12,37100; les deux fractions
ont le même dénominateur.
Étant données autant de fractions décimales que Von voudra, o?i les réduii*a au même dénominateur en plaçant assez de zéros à la droite des chiffres décimaux de celles qui en ont le moins pour que toutes dtient le même nombre de chiffres décimaux,
223. Quand deux fractions ont le même dénominateur, on reconnaît de suite à l'inspection des numérateurs si elles sont égales ou non,
et, dans ce dernier cas, quelle est la plus grande. L'application de cette règle aux fractions décimales fournit les théorèmes suivants.
Pour que deux fractions décimales, écrites avec la notation décimale, soient égales, il faut et il suffit que les chiffres avec lesquels elles sont écrites soient les mêmes et occupent les mêmes places relativement à la virgule, sauf les zéros placés à droite des chiffres décimaux significatifs, zéros dont il n'y a pas lieu de tenir compte.
En d'autres termes et en ne tenant pas compte des zéros qu'on peut placer à droite de la partie décimale, on ne peut écrire un nombre avec la notation décimale que d'une seule façon.
Deux fractions décimales étant données, on reconnaît que la première est plus grande que la seconde si la partie entière est plus grande, ou si, les parties entières étant égales, le premier chiffre décimal que l'on rencontre en allant de gauche à droite et qui diffère du chiffre décimal de même rang dans la seconde fraction est plus fort que ce dernier. Ainsi l'on a
parce que Ton a
On peut faire sur les nombres décimaux une observation toute pareille à celle qui a été faite pour les nombres entiers quand on a traité de la numération (n^39). Chaque chiffre exprime des unités composées, simples ou décimales, d'un certain ordre; une unité de cet ordre est plus grande que le nombre formé par Tensemble des chiffres qui suivent le chiffre que Ton considère, en supposant que chacun de ces chiffres conserve la signification qu'il avait dans le nombre proposé.
Ainsi, dans le nombre 357,8214 le chiffre 2 représente des centièmes, le chiffre 5 représente des dizaines; un centième ou 0,01 est plus grand que 0,0014 ; 10 ou une dizaine est plus grand que 7,8214. On a, en effet,
OQ. 100 ^ 14 100000 78214
10000-^10000' 10000 '"'^lOOOO'
224. Addition et soustraction. — On ramène les fractions écrites
FRACTIONS DÉCJMALES, OPÉRATIONS. 199
dans la notation décimale à avoir ]e même nombre de chiffres décimaux ; elles peuvent être regardées alors comme ayant le même dénominateur; en employant la notation des fractions ordinaires, il faudrait, pour ajouter ou retrancher les fractions, ajouter ou retrancher les numérateurs : l'opération faite, on aurait ensuite èi revenir à la notation décimale, en séparant à la somme ou à la différence autant de chiffres décimaux qu'il y en avait dans chacun des nombres. Pour ajouter ou retrancher les numérateurs, on les disposerait comme il a été expliqué dans la théorie de Taddition ou de la soustraction des nombres entiers, et puisque les chiffres décimaux dans les fractions données sont partout en même nombre, on voit que les virgules, si on les avait conservées , seraient toutes dans une même colonne verticale, les unes au-dessous des autres, et que, dans la somme ou la différence, la virgule devrait être placée dans le prolongement de la même colonne verticale : le plus simple sera donc de conserver ces virgules dans les nombres donnés, que Ton écrira les uns au-dessous des autres, de manière que les virgules soient dans une même colonne verticale, ainsi que les chiffres qui, dans les différents nombres, occupent le même rang, soit à droite, soit à gauche, par rapport à la virgule, de faire Taddition ou la soustraction, comme pour les nombres entiers, sans tenir compte des virgules, et, enfin, de placer, au total ou à la différence, la virgule sous les virgules des nombres à ajouter ou à retrancher. On voit que, au moins pour Taddition, Tadjonction de zéros à droite des chiffres décimaux est inutile, puisque ces zéros n'interviennent pas dans Taddition. Pour la soustraction, on peut aussi bien se dispenser d'écrire ces zéros, mais il faut faire l'opération comme s'ils existaient.
On a donné ci-dessous un exemple d'addition et un exemple de soustraction pour des nombres décimaux :
225. Multiplication. — Pour multiplier deux fractions décimales écrites avec la notation décimale, on fait la multiplication comme pour les nombres entiers, sans tenir compte de la virgule, on sépare ensuite à la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans le multiplicande et le multiplicateur.
SOO LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.
Soient, par exemple, les deux fractions décimales 37,82 et 2,387; on peut les écrire
leur produit est
on l'obtiendra donc en multipliant 3782 par 2387 et en séparant 2 -f- 3 = 5 chiffres décimaux à droite ; on dispose l'opération comme ci-dessous :
Lorsque Tun des facteurs est un nombre entier, on doit séparer dans le produit autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans Tautre facteur.
Observons en particulier le cas où le multiplicateur est Tun des nombres 10, 100, 1000, ... . On peut alors appliquer la remarque du n9 194 relative au cas où Ton a à multiplier une fraction par un nombre entier qui divise exactement le dénominateur de cette fraction.
Soit, par exemple, à multiplier par 100 la fraction 2,87145; on peut écrire cette fraction
pour la multiplier par 100, il suffit d'en diviser le dénominateur par 100, ce qui se fera en supprimant deux zéros et donnera la fraction
lôëûr - ^^^'^^^ •
en récrivant avec la notation décimale, elle sera écrite avec les mêmes chiffres, mais avec deux chiffres décimaux de moins que la fraction donnée 2,87145 ; elle s'en déduira donc en avançant la virgule de deux rangs vers la droite. Ainsi :
