Le problème est le suivant : Étant donnée une fraction
ordinaire, trouver la plus grande fraction décimale d'un nombre donné
de chiffres décimaux, qui ne dépasse pas la fraction donnée,
a Soit, en désignant par a et i des nombres entiers, r la fraction
donnée; cherchons le plus grand nombre décimal de n chiffres
décimaux qui ne dépasse pas ^ ; en mettant ce nombre décimal sous
la forme d'une fraction ordinaire, on pourra le représenter par — ;;,
son numérateur K étant entier; cet entier K est déterminé par les inégalités
10" ~" 6 10" qui ne font que traduire Ténoncé ; on en conclut
K^|xlO"<K+ 1,
et ces dernières inégalités montrent que K est la partie entière de
a X 10" la fraction r — , ou, si Ton veut, le quotient de la division de
a X 10" par 6, au sens de la théorie des nombres entiers.
Règle. — Pour trouver le plus grand nombre décimal de n chiflTres décimaux qui soit inférieur ou égal k une fraction donnée, on multiplie cette fraction par 10", on cherche la partie entière du produit, et, à droite de cette partie entière, on sépare n chiffres décimaux.
Considérons la suite des fractions décimales de n chiffres décimaux, on peut les écrire
CONVERSION EN FRACTION DÉCIMALE. 2(fj
elles forment une progression arithmétique; chacune^ d'elles
s'obtient en ajoutant — ^ à la précédente. La fraction j est égale
à Tune d'elles — , ou bien tombe entre deux consécutive», — et
: dans le premier cas, t différera des fractions décimales de
n chiffres, autres que — , d'au moins — ; dans le second cas, sa
différence avec — ou — ■ — sera moindre que — : sa différence
avec les autres fractions décimales de n chiffres décimaux sera
supérieure à — ;;. Dans les deux cas, parmi les fractions décimales
de n chiffres qui ne dépassent pas -, c'est — ;j qui s'en approche le
plus.
La fraction — est dite la valeur approchée de - à — près, par 10" ô 10"
défaut; quand elle est écrite avec la notation décimale, on l'appelle
OL
encore valeur approchée de 7 avec n chiffres décimaux. La fraction
est dite la valeur approchée de - à — près, par excès.
Le quotient de la division de a X 10" par 6, au sens de la théorie des nombres entiers, est K; si la division se fait exactement, la
fraction ordinaire 7 aura été transformée exactement en fraction
décimale; dans le cas contraire, soit r le reste : on aura
et en regardant les deux membres de cette égalité comme les numérateurs de fractions dont le dénominateur serait 10" X A, on voit que Ton aura
axlO" Kxô , r
i04 LEÇONS D'ARITHMÉTIQUE.
OU, après des simplifications évidentes,
a K on a ainsi l'expression de la différence entre - et — ; c'est le pro-
duit de — par une fraction - plus petite que Tunité.
31 1 S8it, par exemple, à chercher la valeur approchée de — à rrr^ ou
0,000001 près, par défaut. On devra diviser 31 X W = 31000000 par 7 au sens de la théorie des nombres entiers; le quotient est 4428571, le reste est 3; la valeur approchée s'obtient en divisant 4428571 par 1000000, c'est-à-dire en séparant six chiffres décimaux; on a d'ailleurs, en vertu de la division,
31000000 = 4428571 X 7 -|- 3, d'où, en divisant (exactement) par 1000000 X 7,
égalité qui montre que la différence entre ~ et 4,428571 est égale
aux trois septièmes de un millionième (n* 197).
