CONVERSION EN FRACTION DÉCIMALE

les deux premiers chiflFros du quotient, et le reste correspondant qui est 2 ; pour continuer l'opération, il faut abaisser un zéro, ce qui donne 20, diviser 20 par 7, ce qui donne comme quotient 2 et comme reste 6; la valeur approchée à 0,01 près est 4,42. Pour obtenir la valeur approchée èi 0,001 près, on devra diviser 31000 par 7; mais

on a déjà trois chiflfres du quotient et le reste correspondant, etc

On adopte pour les calculs la disposition suivante (le diviseur n'ayant qu'un chifTre, on n'a pas écrit les produits de ce diviseur par les divers chiffres du quotient; on s'est contenté d'écrire les restes) :

231. On conclut de là la règle et les remarques que voici. Pour obtenir la valeur approchée d'une fraction ordinaire avec un certain nombre de chiffres décimaux, on divise le numérateur par le dénominateur au sens de la théorie des nombres entiers; le quotient fournit la partie entière de la fraction décimale cherchée, ou la valeur approchée de la fraction donnée à une unité près; on met une virgule à la suite du quotient trouvé, un zéro à la suite du reste, et l'on continue la division, ce qui donne au quotient le premier chiffre décimal cherché; à la suite du nouveau reste on place un zéro, et on continue la division, on a au quotient le second chiffre décimal cherché ; on continue ainsi en plaçant chaque fois un zéro à la suite du reste, jusqu'à ce que l'on ait le nombre de chiffres voulu : la fraction décimale écrite au quotient est la valeur approchée que l'on cherche, sa différence avec la fraction donnée est égale au produit d'une unité décimale de l'ordre du dernier chiffre décimal écrit au quotient par une fraction ordinaire moindre que un, dont le dénominateur est le dénominateur de la fraction proposée, et le numérateur le dernier reste de la division.

Quand on a la valeur approchée (par défaut) avec n chiffres décimaux, il sufnt de conserver dans cette fraction décimale un, deux, trois, ... chiffres décimaux pour avoir la valeur approchée de la

fraction donnée, par défaut, à —, j^, , ... près. En forçant le

1 U 1 Uu 1 vUO

206 LEÇONS D'ARITHxMÉTlQUE.

dernier chiffre de ces valeurs approchées, on obtient les valeurs

1 1 1 approchées, par excès, à ^, j^, ^|^ , ... près.

Cette conséquence, que nous avons déduite de l'opération même,

31 1 pouvait se prévoir. Par exemple, si la valeur approchée ^^ "^ ^ "77«

près est 4,428571, il est clair que le nombre -=- étant supérieur (ou

égal) à 4,428571 sera a fortioin supérieur (ou égal) à 4,428; mais

il est inférieur à 4,429 puisqu'il est inférieur à 4,428572. Ainsi

4,428 et 4,429 sont bien les valeurs approchées par défaut et par

excès de y à j^ près.

L'observation qui précède s'applique aux nombres décimaux euxmêmes : quand on a un tel nombre, on obtient immédiatement sa

valeur approchée par défaut à —, jrrr, ttw7|T, -.. près, en gardant

seulement un, deux, trois, ... chiffres décimaux ; on en déduit immédiatement les valeurs approchées par excès.

232. Voici encore une observation analogue aux précédentes et qui se déduit immédiatement de l'opération même.

Ayant la valeur approchée d'une fraction j avec n chiffres décimaux, on obtient la valeur approchée de cette fraction multipliée par 10, 100, 1000, ... , avec n — 1, n — 2, n — 3, ... chiffres décimaux en avançant simplement la virgule de un, deux, trois, ... rangs vers la droite ; en avançant la virgule de n rangs, on obtient la valeur approchée à une unité près par défaut de la fraction multipliée par 10'*. Inversement en partant toujours de la même valeur approchée avec n chiffres et en reculant la virgule de un, deux, trois, ... rangs vers la gauche, on obtient la valeur approchée de la fraction divisée par 10, 100, 1000, ... , avec n-j- 1, n-f-2, n -[- 3, ... chiffres décimaux.

La première partie du théorème implique évidemment la seconde;

c'est la seule dont nous nous occuperons; il suffit, par exemple, de

se reporter à l'opération du numéro précédent pour reconnaître que,

si on cherche les valeurs approchées successives des fractions -=-

et — =— , on trouvera exactement les mêmes chiffres au quotient, les mêmes nombres comme restes partiels, et dans le même ordre;