CONVERSION EN FRACTION DÉCIMALE

seulement dans le second cas, la partie entière comporte deux chiffres de plus que dans le premier. La proposition est donc démontrée.

233. L'opération que nous avons décrite au n^ 230, et qui permet

d'obtenir, au moyen d'une division poursuivie aussi loin qu on le

veut, les chiffres successifs des fractions décimales qui approchent

ail 1 d'une fraction ordinaire t à rrr, —, rrrrrrr, ... près, est ce que nous

appellerons, d'une façon un peu impropre, la conversion de celte fraction ordinaire en fraction décimale : cette expression n'est vraiment correcte que dans le cas, sur lequel nous insisterons tout à l'heure, où l'on parvient ainsi à une fraction décimale égale à la fraction proposée; nous la conserverons, même quand il n'en est pas ainsi, pour la commodité du langage.

234. Supposons que la fraction ordinaire- se trouve être égale à

une fraction décimale, et que cette fraction décimale ait n chiffres déci-

maux; en calculant les valeurs approchées de -, par défaut, à — près,

comme il a été expliqué, on tombera nécessairement sur la fraction

a décimale égale à r, et l'on en sera prévenu par ce fait que le reste

de la division partielle qui correspond au n**"® chiffre décimal est nul. L'opération, comme on dit, est terminée; si on voulait la continuer, on ne trouverait désormais, comme chiffres du quotient,

et comme restes partiels, que des zéros. Si la fraction - n'est égale à

aucune fraction décimale, l'opération pourra se continuer indéfiniment, on ne trouvera jamais un reste nul.

235. Il convient de savoir reconnaître sur la fraction -r elle-même

s'il existe ou non une fraction décimale qui lui soit égale.

a Supposons la fraction - irréductible, et supposons que cette fraction soit égale à une fraction décimale de n chiffres décimaux, dont le dernier ne soit pas un zéro; alors, en vertu même de la façon dont on fait l'opération, le nombre a, quand on a placé à sa droite n zéros, doit être divisible par b et les nombres obtenus en plaçant à la droite de a moins de n zéros ne doivent pas être divisibles par b ; en d'autres termes, 10** est la plus petite puissance de 10 telle que a XlO" soit divisible par b. Pour que a X 10" soit divisible par è, comme

208 LEÇONS D'ARITHMÉTJQUE.

b est premier à a, il faut et il suffit que b divise 10" ou 2" X 5" ; ou encore que 6, décomposé en facteurs premiers, ne contienne pas d'autre facteur premier que 2 et 5 et que le plus grand des exposants dont sont affectés ces facteurs premiers soit au plus égal à n.

Inversement, la plus petite puissance de 10 telle que son produit par a soit divisible par b aura un exposant n égal au plus haut exposant des facteurs 2 et 5 dans &, décomposé en facteurs premiers.

La condition nécessaire et suffisante pour que la fraction irréel ductible ^ soit égale à une fraction décimale, est que le dénominateur b

de cette fraction, décomposé en facteurs premiers y n'admette pas d'autre

facteur que 2 et^\ le nombre des chiffres décimaux du nombre décimal

a égal à - est égal au plus haut des exposants dont sont affectés ces

facteurs 2 et S dans b.

La même proposition s'établit directement. Trouver un nombre

décimal égal à la fraction -, c'est trouver un nombre entier A et un

exposant n, tels que Ton ait

^'"lO"' ou

axlO^^AX*.

Pour que cela soit possible, il faut et il suffit qu'il y ait une puissance de 10 telle que son produit par a soit divisible par 6. Chaque puissance de 10 qui jouit de cette propriété fournit un

nombre décimal égal è. 7, nombre qui a autant de chiffres décimaux

qu'il y a d'unités dans l'exposant de cette puissance. Ces nombres

décimaux, égaux entre eux, ne peuvent différer que par les zéros qui

les terminent; celui d'entre eux qui n'est terminé par aucun zéro

provient donc de la plus petite puissance de 10 qui, multipliée

par a, soit divisible par b. Si b est premier à o, les conclusions sont

les mêmes que tout à l'heure.

On trouve ainsi