FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES
appliquant la règle du n** 231 , on est amené à faire ropération figurée ci-dessous :
On a trouvé comme dividendes partiels successifs 130, 40, 120, 80, 100, 20, 60, 40 ; à partir de ce dernier, qui a été déjà obtenu, il est clair que les opérations vont se reproduire exactement comme elles se sont produites à partir du moment où on a obtenu une première fois ce dividende partiel, c'est-à-dire qu'on retrouvera dans le même ordre les dividendes partiels 120, 80, 100, 20, 60, 40, et, au quotient, les chiffres 2, 8, 5, 7, 1, 4, et ainsi de suite indéfiniment. Cette circonstance pouvait être prévue, car les dividendes partiels proviennent des restes partiels par Tadjonction d'un zéro : or ces restes sont nécessairement plus petits que 14 et différents de zéro; ils ne peuvent donc être que les nombres 1, 2, 3, ..., 12, 13; au bout de 13 opérations partielles au plus, on devait donc retomber, soit sur un reste déjà obtenu, soit sur le numérateur même de la fraction dont on est parti ; à partir de ce moment, les opérations partielles se reproduiront périodiquement toujours les mêmes, et Ton n'aura aucune peine à écrire la fraction décimale approchée par défaut de la fraction donnée, avec autant de chiffres que Ton voudra.'
Si, dans l'exemple précédent, on veut 12 chiffres décimaux, on écrira :
241. On appelle fraction décimale périodique un symbole écrit comme une fraction décimale ordinaire, mais où Ton imagine une suite indéfinie de chiffres décimaux qui, è. partir de Tun d'entre eux, se reproduisent périodiquement, toujours les mêmes et dans le même ordre.
L'ensemble des chiffres qui se reproduisent est ce qu'on appelle la période de là fraction décimale périodique.
Si Ton considère la fraction décimale périodique
où les chiffres 2, 8, 5, 7, 1 , 4 se reproduisent indéfmiment, on dit qu'elle
est engendrée par la fraction —, ou que la fraction — en est \d^ fraction génératrice^ c'est-à-dire qu'on est conduit à ce symbole en cher-
13 1 1 1 chant les valeurs approchées de — à —, —, |^,... près, par
défaut, et en imaginant que les opérations soient continuées indéfiniment. La période de cette fraction décimale périodique est le nombre 285714; en prenant les n premiers chiffres décimaux, on a la fraction
décimale approchée de — à — ;; près. Cette valeur approchée, quand
n croît indéfiniment, a 77 pour limite.
Les fractions décimales périodiques se divisent en deux classes : les fractions décimales périodiques ^2m;>Ie«, pour lesquelles la période commence immédiatement après la virgule : telle la fraction périodique
à période 36, et les fractions périodiques mixtes^ où la période ne
commence pas de suite après la virgule; telle est la fraction décimale
périodique engendrée par la fraction jy. Dans une fraction périodique
mixte, les chiffres placés entre la virgule et la période sont ditsiirégulters. Leur ensemble forme la partie irrégulière de la fraction périodique mixte.
Toute fraction décimale périodique a-t-elle une fraction génératrice?
Si elle en a une, elle n'en a qu'une, puisque {n9 239) deux fractions
FRACTIONS DÉCLMALES PÉRIODIQUES. 215
différentes engendrent nécessairement des suites différentes de fraclions décimales approchées par défaut à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près. 242. C!onsidérons d'abord le cas d'une fraction décimale périodique simple, dont la partie entière soit nulle, par exemple, la fraction décimale périodique 0,363636, ... •
La fraction ordinaire à termes entiers -r sera sûrement la fraction
génératrice de la fraction décimale périodique 0,363636..., si, en
réduisant la fraction -, on trouve comme partie entière 0 (ce qui
oblige à supposer a <; i), comme premiers chiffres décimaux 3 et 6, puis comme reste le nombre a lui-même, de façon à retomber ensuite, au quotient, sur les mêmes chiffres 3 et 6. Puisque, pour calculer deux chiffres décimaux, on a dû ajouter deux zéros à droite de a, cela revient à dire que le quotient, au sens de la théorie des nombres entiers, de la division de a X 100 par b est 36 et le reste a; on a donc, s'il en est ainsi :
aXl00 = 6x36-f-a;
en retranchant a des deux membres de cette égalité , on obtient :
et réciproquement cette dernière égalité ou la suivante
entraîne la première.
Si donc on prend pour - une quelconque des fractions égales
à — , on aura a X 100 = 6 X 36 -f a, et comme a est plus petit que
6, puisque 36 est plus petit que 99, on voit que, en divisant a x 100 par i, au sens de la théorie des nombres entiers^ on aura pour quotient 36 et pour reste a.
Ainsi ÔQ est la fraction génératrice de la fraction décimale périodique simple 0,363636.
Notre raisonnement est en défaut pour la seule fraction décimale périodique simple 0,99999... ; puisque, alors, en essayant de former
une fraction génératrice ^ comme tout à Theure, on aurait a = 6.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Toute fraction décimale périodique simple dans laquelle tous les chiffres de la période ne sont pas des 9 admet une fraction génératrice dont le numérateur est formé par la période^ et le dénominateur composé d'autant de 9 qu'il y a de chiffi^es dans la période.
243. Si Ton appliquait cette règle à la fraction décimale périodique simple 0,999..., on trouverait 1 comme résultat, et il convient de remarquer que 1 est la limite de la suite indéfinie formée par les nombres 0,9; 0,99; 0,999; ... , puisque les différences entre 1 et les nombres de cette suite sont respectivement 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ...
Il est aisé de déduire de là, en répétant le raisonnement du u'' 239, que
la fraction décimale périodique 0,9999... n*a pas de fraction génératrice.
Si cette fraction génératrice existait, elle devrait être comprise entre 0,9
et 0,9 + 0,1 = J, entre 0,99 et 0,99 + 0,04 = 1, entre 0,999 et
0,999 + 0,004=1, etc.; sa différence avec 4 devrait être moindre que
— , — , et, en cénéral, moindre que — - , quel que fût n ; or, cela
est impossible, puisque Ton peut prendre n assez grand pour que — ^ soit
moindre que la différence entre 4 et la fraction génératrice que l'on suppose exister.
244. Laissons de côté ce cas exceptionnel. Nous avons supposé que la partie entière de la fraction décimale périodique simple était 0 ; il est clair que s'il en est autrement, il suffira d'ajouter cette partie entière à la fraction formée par la règle que Ton vient de donner pour avoir la fraction génératrice de la fraction décimale périodique donnée : considérons, par exemple, la fraction décimale périodique
375,363636...; elle sera engendrée par le nombre fractionnaire
car si on réduit cette fraction en fraction décimale, on trouvera pour partie entière 375 et pour reste correspondant 36, en sorte que les chiffres décimaux seront les mêmes que ceux qui proviennent de la
réduction en fraction décimale de la fraction ^, c'est-à-dire 3636...,
FRACTJONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES. 217
245. Considérons maintenant une fraction décimale périodique mixte dont la partie entière soit nulle, par exemple la fraction
dans laquelle la période est 36 et la partie irrégulière 375 ; la fraction
engendrerait la fraction décimale 375,363636...; c'est-à-dire que ses valeurs approchées à 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... près, par défaut, seraient respectivement
les valeurs approchées à 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; ... près, par défaut, de la fraction ordinaire
seraient donc (n* 232)
en d'autres termes, la fraction ordinaire
est la fraction génératrice de la fraction décimale périodique mixte 0,373363636... ; on peut l'écrire
d'où la règle suivante.
Le dénominateur de la fraction génératnce d'une fraction décimale périodique mixte dans laquelle la partie entière est 0 s'obtient en faisant suivre d'autant de zéi*os qu'il y a de chiffres irréguliers un mmbre foi'mé doutant de 9 qu'il y a de chiffres à la péHode; son numérateur s'obtient en retranchant la partie irrégulière du nombre formé en faisant suivre cette partie irrégulière de la période, ou^ ce ^ui revient au même^ en ajoutant à la période le produit de la partie ^régulière par un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres à la période.
246. Cette règle comporte naturellement la même exception que
la règle relative aux fractions périodiques simples, d'où elle a été
déduite : les chiffres de la période ne doivent pas être tous des 9. Si
on rappliquait dans ce cas, par exemple à la fraction 0,47999..., on
47 X 9 +9 trouverait comme résultat : on a utilisé, pour former
le numérateur, la seconde forme indiquée dans la règle; on a d'ailleurs
et Ton voit sans peine que 0,48 est la limite de la suite indéfinie
on en conclut d'ailleurs que la fraction décimale périodique mixte 0,47999... n'a pas de fraction génératrice.
247. Enfin, dans le cas où Ton aurait affaire à une fraction décimale périodique mixte qui ne rentrerait pas dans le cas d'exception, mais pour laquelle la partie entière ne serait pas 0, il sufQrait pour avoir sa fraction génératrice d'ajouter cette partie entière à la fraction formée par la règle précédente.
248. Considérons la fraction génératrice d'une fraction décimale pério-
dique simple, par exemple la fraction — qui engendre la fraction déci-
maie périodique 0,363636... Celte fraction génératrice ne sera pas, en général, irréductible. Mais son dénominateur étant premier à 10, restera premier à 10 quand on le réduira à sa plus simple expression. Donc une fraction ordinaire irréductible qui engendre une fraction décimale périodique simple a son dénominateur premier à 2 et à 5. Considérons maintenant la fraction génératrice d*une fraction pério-
dique mixte, par exemple la fraction — — , qui engendre la frac-
yyuuo
lion périodique mixte
Son numérateur ne peut être terminé par un 0 ; il faudrait pour cela que le dernier chiffre de la période fût égal au dernier chiffre irrégulier; ce dernier chiffre irrégulier aurait donc pu être pris pour le premier chiffre de la période que, ainsi, on aurait dû faire commencer plus tôt. Le numérateur n étant pas terminé par un 0 est premier h l'un, au moins, des facteurs 2 ou 5 ; mais ce facteur figure au dénominateur, supposé décomposé en facteurs premiers, îl une puissance égale au nombre de zéros, c'est-à-dire
