TZ^ ^» V

2 3 4 5 2n "In + X

Cette notion de limite, que Ton rencontre ici pour la première fois en Arithmétique, est très importante.

239. Remarquons que, si Ton réduit en fractions décimales deux

fractions différentes -, r-,, en poursuivant Topération indéfiniment,

on finira nécessairement par trouver des fractions décimales différentes : en d'autres termes, il est impossible que , en cherchant

i. La différenco peut être A — am o^ ^n — A suivant que a» est plus petit ou plus grand que A.

pour les deux fractions les valeurs approchées par défaut à jr,

, ..., — , ... près, on tombe sur la même suite a^ a,, ..., a , ....

En effet, si ces deux fractions conduisaient à cette même suite, elles

devraient être comprises toutes deux entre a^ et a^ -| -\ leur différence devrait donc être inférieure à — , quel que fût n, et cela esl

impossible, puisqu'on peut prendre n assez grand pour que — ^ soit

plus petit que la différence entre -r^^Tf

§ 3. — Fractions décimales périodiques.

240. Fractions décimales périodiques. — Nous avons vu que deux cas peuvent se présenter, quand on cherche les fractions décimales

approchées de la fraction ordinaire - par défaut à 0,1 ; 0,01 ;

0,001; ... près : l'opération peut se terminer; c'est ce qui arrive quand il existe une puissance de 10 telle que, en multipliant a par cette puissance, le produit soit divisible par b ; dans le cas contraire, elle peut être poursuivie indéfmiment.

Il nous reste à faire quelques observations sur la façon dont se suivent les chiffres dans les valeurs approchées, observations qui sont d'ailleurs plus curieuses au point de vue théorique qu'elles ne sont utiles dans la pratique.

On peut se borner au cas où le numérateur de la fraction est plus petit que le dénominateur ; s'il était plus grand, on substituerait à ce numérateur le reste de sa division (au sens de la théorie des nombres entiers) par le dénominateur; en continuant l'opération, on trouverait évidemment les mêmes chiffres décimaux.

Considérons, par exemple, la fraction jz ; on est bien dans le cas

où l'opération ne se termine pas, puisque cette fraction est irréductible et que son dénominateur 14 = 2x7, décomposé en facteurs premiers, contient un facteur premier 7, autre que 2 ou 5 ; en lui